Mecánica de medios continuos para ingenieros

Xavier Oliver es catedrático de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la Escola Tècnica Superior d'Enginyers de Camins, Canals i Ports de Barcelona (ETSECCPB) de la UPC. Su actividad docente le ha llevado a impartir numerosos cursos de grado y de posgrado sobre mecánica de medios continuos, análisis estructural y métodos numéricos en mecánica de sólidos. Su actividad científica se desarrolla en el Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en la Ingeniería de la UPC, en líneas de investigación en torno a la mecánica computacional, y se ha visto reflejada en más de un centenar de publicaciones sobre teoría de ecuaciones constitutivas, simulación numérica en mecánica de sólidos y análisis estructural. Xavier Oliver Carlos Agelet de Saracíbar ISBN 978-84-8301-582-7 9 788483 015827 Mecánica de medios continuos para ingenieros pretende ser una herramienta para la formación de los ingenieros en la mecánica de medios continuos, que mantiene un equilibrio adecuado entre la rigurosidad de su planteamiento y la claridad de los principios físicos tratados. El contenido del texto está claramente dividido en dos partes, que se presentan secuencialmente. En la primera (capítulos 1 a 5), se introducen los aspectos fundamentales y descriptivos comunes a todos los medios continuos (movimiento, deformación, tensión y ecuaciones de conservación-balance). En la segunda (capítulos 6 a 11), se estudian familias específicas de medios continuos, como son los sólidos y los fluidos, en un planteamiento que se inicia con la correspondiente ecuación constitutiva y concluye con las formulaciones clásicas de la mecánica de sólidos (elásticos-lineales y elastoplásticos) y de la mecánica de fluidos (régimen laminar). Finalmente, se realiza una breve incursión en los principios variacionales (principios de los trabajos virtuales y de minimización de la energía potencial). Esta estructura permite la utilización del texto con propósitos docentes, tanto en un único curso, de unas 100 horas lectivas, como en dos cursos diferenciados: el primero, basado en los primeros cinco capítulos y dedicado a la introducción de los fundamentos de la mecánica de medios continuos, y el segundo, dedicado específicamente a la mecánica de sólidos y la mecánica de fluidos. POLITEXT Xavier Oliver Olivella Carlos Agelet de Saracíbar Bosch Mecánica de medios continuos para ingenieros 92 POLITEXT / INGENIERÍA CIVIL Mecánica de medios continuos para ingenieros Carlos Agelet de Saracíbar es profesor titular de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras en la ETSECCPB y está adscrito al Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en la Ingeniería de la UPC. Ha desarrollado sus principales actividades de docencia e investigación en las áreas de mecánica de medios continuos y mecánica computacional no lineal de sólidos, en especial en la formulación numérica de modelos constitutivos inelásticos, modelos en grandes deformaciones, modelos de contacto friccional y modelos termomecánicos acoplados con cambios de fase. Es autor de más de setenta publicaciones, monografías y artículos en revistas científicas y actas de congresos de carácter internacional. UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA EDICIONS UPC POLITEXT 92 Mecánica de medios continuos para ingenieros POLITEXT Xavier Oliver Olivella Carlos Agelet de Saracíbar Bosch Mecánica de medios continuos para ingenieros Compilación: Eduardo Vieira Chaves Eduardo Car EDICIONS UPC Primera edición: septiembre de 2000 Segunda edición: enero de 2002 Reimpresión: febrero de 2010 Diseño de la cubierta: Manuel Andreu © Los autores, 2000 © Edicions UPC, 2000 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 1-3, 08034 Barcelona Tel.: 934 137 540 Fax: 934 137 541 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: [email protected] Producción: EDUGRAF S.L. Diputación, 343 08009 Barcelona Depósito legal: B-35650-2005 ISBN: 978-84-9880-217-7 Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org http://www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. Índice 1 Descripción del movimiento 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 2 Definición de medio continuo Ecuaciones de movimiento Descripciones del movimiento Derivadas temporales: local, material, convectiva Velocidad y aceleración Estacionariedad Trayectoria Línea de corriente Tubo de corriente Línea de traza Superficie material Superficie de control Volumen material Volumen de control 1 1 5 7 9 12 13 15 17 18 20 22 23 24 Descripción de la deformación 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 Introducción Tensor gradiente de deformación Desplazamientos Tensores de deformación Variación de las distancias: Estiramiento. Alargamiento unitario Variación de ángulos Interpretación física de los tensores de deformación Descomposición polar Variación de volumen Variación del área Deformación infinitesimal Deformación volumétrica Velocidad de deformación Derivadas materiales de los tensores de deformación y otras magnitudes 25 25 28 30 33 36 38 42 44 46 47 56 58 62 2.15 Movimientos y deformaciones en coordenadas cilíndricas y esféricas 3 Ecuaciones de compatibilidad 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4 Introducción Ejemplo preliminar: Ecuaciones de compatibilidad de un campo vectorial potencial Condiciones de compatibilidad para las deformaciones infinitesimales Integración del campo de deformaciones infinitesimales Ecuaciones de compatibilidad e integración del tensor velocidad de deformación 71 72 74 77 82 Tensión 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 5 65 Fuerzas másicas y superficiales Postulados de Cauchy Tensor de tensiones Propiedades del tensor de tensiones Tensor de tensiones en coordenadas curvilineas ortogonales Círculo de Mohr en 3 dimensiones Círculo de Mohr en 2 dimensiones Círculos de Mohr para casos particulares 83 86 88 96 103 105 110 122 Ecuaciones de conservación-balance 5.1 5.2 5.3 5.4 Postulados de conservación-balance Flujo por transporte de masa o flujo colectivo Derivada local y derivada material de una integral de volumen Conservación de la masa. Ecuación de continuidad 125 125 129 134 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 6 Ecuación de balance. Teorema del transporte de Reynolds Expresión general de las ecuaciones de balance Balance de la cantidad de movimiento Balance del momento de la cantidad de movimiento (momento angular) Potencia Balance de la energía Procesos reversibles e irreversibles Segundo principio de la termodinámica. Entropía Ecuaciones de la mecánica de medios continuos. Ecuaciones constitutivas 136 138 141 143 146 151 157 159 166 Elasticidad lineal 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 Hipótesis de la Teoría de la Elasticidad Lineal Ecuación constitutiva elástica lineal. Ley de Hooke generalizada Isotropía - Constantes de Lamé- Ley de Hooke para elasticidad lineal isótropa Ley de Hooke en componentes esféricas y desviadoras Limitaciones en los valores de las propiedades elásticas Planteamiento del problema elástico lineal Resolución del problema elástico lineal Unicidad de la solución del problema elástico lineal Principio de Saint-Venant Termoelasticidad lineal. Tensiones y deformaciones térmicas Analogías térmicas Principio de superposición en termoelasticidad lineal Ley de Hooke en función de los “vectores” de tensión y deformación 169 171 174 176 178 180 185 188 193 195 198 208 212 7 Elasticidad lineal plana 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 8 8.7 8.8 226 Introducción Nociones previas Espacio de tensiones principales Modelos reológicos de fricción Comportamiento fenomenológico elastoplástico Teoría incremental de la plasticidad en una dimensión Plasticidad en tres dimensiones Superficies de fluencia. Criterios de fallo 233 233 237 242 251 253 260 261 Ecuaciones constitutivas en fluidos 9.1 9.2 9.3 9.4 10 215 215 219 222 223 Plasticidad 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 9 Introducción Estado de tensión plana Deformación plana El problema elástico lineal en elasticidad bidimensional Problemas asimilables a elasticidad bidimensional Curvas representativas de los estados planos de tensión Concepto de presión Ecuaciones constitutivas en mecánica de fluidos Ecuaciones constitutivas (mecánicas) en fluidos viscosos Ecuaciones constitutivas (mecánicas) en fluidos newtonianos 273 276 277 277 Mecánica de fluidos 10.1 Ecuaciones del problema de mecánica de fluidos 285 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 11 Hidrostática. Fluidos en reposo Dinámica de fluidos:fluidos perfectos barotrópicos Dinámica de fluidos:fluidos viscosos (newtonianos) Condiciones de contorno en la mecánica de fluidos Flujo laminar y flujo turbulento 287 293 303 309 313 Principios variacionales 11.1 Preliminares 11.2 Principio (Teorema) de los trabajos virtuales 11.3 Energía potencial. Principio de minimización de la energía potencial 317 323 328 Bibliografía 331 3UHVHQWDFLyQ (VWHWH[WRQDFHFRQODYRFDFLyQGHVHUXQDKHUUDPLHQWDSDUDODIRUPDFLyQGH ORVLQJHQLHURVHQODPHFiQLFDGHPHGLRVFRQWLQXRV'HKHFKRHVHOIUXWRGHOD H[SHULHQFLDGHPXFKRVDxRVHQODHQVHxDQ]DGHGLFKDGLVFLSOLQDHQOD(VFXHOD GH,QJHQLHURVGH&DPLQRVGHOD8QLYHUVLWDW3ROLWpFQLFDGH&DWDOXQ\DWDQWRHQ FXUVRV GH JUDGR WLWXODFLRQHV GH ,QJHQLHUtD GH &DPLQRV &DQDOHV \ 3XHUWRV H ,QJHQLHUtD*HROyJLFD FRPRGHSRVWJUDGR FXUVRVGH0iVWHU\GH'RFWRUDGR  $ GLIHUHQFLD GH RWURV WH[WRV GH LQWURGXFFLyQ D OD PHFiQLFD GH PHGLRV FRQWLQXRV HO TXH DTXt VH SUHVHQWD HVWi HVSHFtILFDPHQWH RULHQWDGR D OD LQJHQLHUtDLQWHQWDQGRPDQWHQHUXQDGHFXDGRHTXLOLEULRHQWUHODULJXURVLGDGGH OD IRUPXODFLyQ PDWHPiWLFD XWLOL]DGD \ OD FODULGDG GH ORV SULQFLSLRV ItVLFRV WUDWDGRV DXQTXH SRQLHQGR HQ WRGR PRPHQWR OR SULPHUR DO VHUYLFLR GH OR VHJXQGR (Q HVWH VHQWLGR HQ ODV LPSUHVFLQGLEOHV RSHUDFLRQHV YHFWRULDOHV \ WHQVRULDOHV VH XWLOL]DQ VLPXOWiQHDPHQWH WDQWR OD QRWDFLyQ LQGLFLDO GH PiV XWLOLGDGSDUDODGHPRVWUDFLyQPDWHPiWLFDULJXURVD FRPRODQRWDFLyQFRPSDFWD HQ OD TXH VH YLVOXPEUD FRQ PiV FODULGDG OD ItVLFD GHO SUREOHPD  DXQTXH D PHGLGDTXHVHDYDQ]DHQHOWH[WRH[LVWHXQDFODUDWHQGHQFLDKDFLDODQRWDFLyQ FRPSDFWD HQ XQLQWHQWR GH IRFDOL]DU OD DWHQFLyQ GHO OHFWRU HQ OD FRPSRQHQWH ItVLFDGHODPHFiQLFDGHPHGLRVFRQWLQXRV (OFRQWHQLGRGHOWH[WRHVWiFODUDPHQWHGLYLGLGRHQGRVSDUWHVTXHVHSUHVHQWDQ VHFXHQFLDOPHQWH (Q OD SULPHUD SDUWH FDStWXORV  D   VH LQWURGXFHQ ORV DVSHFWRVIXQGDPHQWDOHV\GHVFULSWLYRVFRPXQHVDWRGRVORVPHGLRVFRQWLQXRV PRYLPLHQWRGHIRUPDFLyQWHQVLyQ\HFXDFLRQHVGHFRQVHUYDFLyQEDODQFH (Q OD VHJXQGD FDStWXORV  D   VH HVWXGLDQ IDPLOLDV HVSHFtILFDV GH PHGLRV FRQWLQXRV FRPR VRQ ORV VyOLGRV \ ORV IOXLGRV HQ XQ SODQWHDPLHQWR TXH FRPLHQ]D FRQ OD FRUUHVSRQGLHQWH HFXDFLyQ FRQVWLWXWLYD \ WHUPLQD FRQ ODV IRUPXODFLRQHV FOiVLFDV GH OD PHFiQLFD GH VyOLGRV HOiVWLFRVOLQHDOHV \ HODVWR SOiVWLFRV  \ GH OD PHFiQLFD GH IOXLGRV UpJLPHQ ODPLQDU  )LQDOPHQWH VH KDFH XQD EUHYH LQFXUVLyQ HQ ORV SULQFLSLRV YDULDFLRQDOHV SULQFLSLR GH ODV WUDEDMRV YLUWXDOHV \ GH PLQLPL]DFLyQ GH OD HQHUJtD SRWHQFLDO  FRPR LQJUHGLHQWHV GH SDUWLGD HQ OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV GH PHFiQLFD GH PHGLRV FRQWLQXRV PHGLDQWH PpWRGRV QXPpULFRV (VWD HVWUXFWXUD SHUPLWH OD XWLOL]DFLyQ GHO WH[WR FRQ SURSyVLWRV GRFHQWHV WDQWR HQ XQ ~QLFR FXUVR GH DOUHGHGRU GH  KRUDV OHFWLYDVFRPRHQGRVFXUVRVGLIHUHQFLDGRVHOSULPHUREDVDGRHQORVSULPHURV FLQFRFDStWXORV\GHGLFDGRDODLQWURGXFFLyQGHORVIXQGDPHQWRVGHODPHFiQLFD GHPHGLRVFRQWLQXRV\HOVHJXQGRHVSHFtILFDPHQWHGHGLFDGRDODPHFiQLFDGH VyOLGRV\ODPHFiQLFDGHIOXLGRV )LQDOPHQWH ORV DXWRUHV TXLHUHQ H[SUHVDU VX DJUDGHFLPLHQWR DO ,QJHQLHUR (GXDUGR 9LHLUD &KDYHV \ DO 'U (GXDUGR &DU SRU HO  HVPHUDGR WUDEDMR GH FRPSLODFLyQGHXQDSULPHUDYHUVLyQGHHVWHWH[WRDSDUWLUGHODVQRWDVGHFODVH\ SHUVRQDOHV GH ORV DXWRUHV $VLPLVPR GHVHDQ DJUDGHFHU DO 3URIHVRU 5DPyQ &RGLQDVXVRSRUWXQDVVXJHUHQFLDV\FRUUHFFLRQHVVREUHODVSULPHUDVYHUVLRQHV GHOWH[WR %DUFHORQD6HSWLHPEUHGH ;DYLHU2OLYHU2OLYHOOD \ &DUORV$JHOHWGH6DUDFtEDU%RVFK 1 Descripción del movimiento 1.1 Definición de medio continuo Se entiende por Medio Continuo un conjunto infinito de partículas (que forman parte, por ejemplo, de un sólido, de un fluido o de un gas) que va a ser estudiado macroscópicamente, es decir, sin considerar las posibles discontinuidades existentes en el nivel microscópico (nivel atómico o molecular). En consecuencia, se admite que no hay discontinuidades entre las partículas y que la descripción matemática de este medio y de sus propiedades se puede realizar mediante funciones continuas. 1.2 Ecuaciones del movimiento La descripción más elemental del movimiento del Medio Continuo puede llevarse a cabo mediante funciones matemáticas que describan la posición de cada partícula a lo largo del tiempo. En general, se requiere que éstas funciones y sus derivadas sean continuas. Se supone que el medio continuo está formado por infinitas partículas (puntos materiales) que ocupan diferentes posiciones del espacio físico durante su movimiento a lo largo del tiempo (ver Figura 1-1). Se define como configuración del medio continuo en el instante t, que se denota por Ω t , el lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el espacio los puntos materiales (partículas) del medio continuo en dicho instante. Definiciones: Punto espacial: Punto fijo en el espacio. Punto material: Una partícula. Puede ocupar distintos puntos espaciales en su movimiento a lo largo del tiempo. Configuración: Lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el espacio las partículas del medio continuo para un cierto instante t. N O T A En general se tomará el instante t 0 = 0 como instante de referencia. A un cierto instante t = t 0 del intervalo de tiempo de interés se le denomina instante de referencia y a la configuración en dicho instante Ω 0 se la denomina configuración inicial, material o de referencia. 2 1 Descripción del movimiento N O T A C I Ó N Se utilizarán indistintamente las notaciones ( X , Y , Z ) Consideremos ahora el sistema de coordenadas cartesianas ( X , Y , Z ) de la Figura 1-1 y la correspondiente base ortonormal (eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 ) . En la configuración de referencia Ω 0 el vector de posición X de una partícula que ocupa un punto P en el espacio (en el instante de referencia) viene dado por: y ( X 1 , X 2 , X 3 ) para designar al sistema de coordenadas cartesianas. N O T A C I Ó N X = X 1eˆ 1 + X 2 eˆ 2 + X 3 eˆ 3 = X i eˆ i i =3 P Ω0 ê 3 X Ω0 t0 Ωt t t Ωt x – Configuración de referencia – Instante de referencia – Configuración actual – Instante actual P’ not ∑= X ieˆ i = X ieˆ i i 1 k =3 ∑= aik bkj k 1 i =3 j =3 i =1 j =1 ê1 ê 2 X 2 ,Y not = aik bkj ∑∑ aij bij X1, X not = a ij bij N O T A C I Ó N Se distingue aquí entre el vector (ente físico) X y su vector de componentes [X]. Frecuentemente se obviará esta distinción N O T A C I Ó N Siempre que sea posible, se denotará con letras mayúsculas a las variables que se refieran a la configuración de referencia Ω 0 y con letras minúsculas a las variables referidas a la configuración actual Ωt t = t0 X3, Z En el resto de este texto se utilizará la notación de Einstein o de índices repetidos. Toda repetición de un índice en un mismo monomio de una expresión algebraica supone el sumatorio respecto a dicho índice. Ejemplos: (1.1) Figura 1-1 – Configuraciones del medio continuo donde a las componentes ( X 1 , X 2 , X 3 ) se las denomina coordenadas materiales (de la partícula). ⎧X1 ⎫ [X] = ⎪⎨ X 2 ⎪⎬ ⎪X ⎪ ⎩ 3⎭ def = coordenadas materiales (1.2) En la configuración actual Ω t , la partícula situada originalmente en el punto material P (ver Figura 1-1) ocupa el punto espacial P' y su vector de posición x viene dado por: x = x1eˆ 1 + x 2 eˆ 2 + x 3 eˆ 3 = xi eˆ i (1.3) donde a ( x1 , x 2 , x 3 ) se las denomina coordenadas espaciales de la partícula en el instante de tiempo t . ⎧ x1 ⎫ [x] = ⎪⎨ x 2 ⎪⎬ ⎪x ⎪ ⎩ 3⎭ def = coordenada s espaciales (1.4) 3 1 Descripción del movimiento El movimiento de las partículas del medio continuo puede describirse ahora por la evolución de sus coordenadas espaciales (o de su vector de posición) a lo largo del tiempo. Matemáticamente esto requiere conocer una función que para cada partícula (identificada por una etiqueta) proporcione sus coordenadas espaciales xi (o su vector de posición espacial x ) en los sucesivos instantes de tiempo. Como etiqueta que caracteriza unívocamente a cada partícula pueden elegirse sus coordenadas materiales X i obteniéndose las ecuaciones del movimiento: not N O T A C I Ó N x = ϕ (partícula, t ) = ϕ(X, t ) = x(X, t ) Con un cierto abuso de la notación se va a confundir frecuentemente la función con su imagen. Así las ecuaciones de movimiento se escribirán a menudo como x = x ( X, t ) y que proporcionan las coordenadas espaciales en función de las materiales, y las ecuaciones del movimiento inversas: sus inversas como X = X(x, t ) . que proporcionan las coordenadas materiales en función de las espaciales. (1.5) xi = ϕ i (X 1 , X 2 , X 3 , t ) i ∈ {1,2,3} not X = ϕ −1 (x, t ) = X( x, t ) X i = ϕi −1 (x1 , x2 , x3 , t ) (1.6) i ∈ {1,2,3} Observación 1-1 Hay diferentes alternativas para elegir la etiqueta que caracteriza una partícula, aunque la opción de tomar sus coordenadas materiales es la más común. Cuando las ecuaciones del movimiento vienen dadas en función de las coordenadas materiales como etiqueta (como en la ecuación (1.5)), se hablará de las ecuaciones de movimiento en forma canónica. Existen ciertas restricciones matemáticas para garantizar la existencia de ϕ y de ϕ −1 así como su correcto significado físico. Estas restricciones son: • • • • ϕ(X,0) = X puesto que, por definición, X es el vector de posición en el instante de referencia t = 0 (condición de consistencia). ϕ ∈ C 1 ( la función ϕ es continua y con derivadas continuas en cada punto e instante). ϕ es biunívoca (para garantizar que dos partículas no ocupan simultáneamente el mismo punto del espacio y que una partícula no ocupa simultáneamente dos puntos distintos del espacio). ⎡ ∂ ϕ(X, t )⎤ ⎥ ⎣ ∂X ⎦ El Jacobiano de la transformación J = det ⎢ not = ∂ϕ(X, t ) >0. ∂X La interpretación física de esta condición (que se estudiará más adelante) es que todo volumen diferencial ha de ser siempre positivo, o utilizando el principio de conservación de la masa (que se verá más adelante), la densidad de las partículas ha de ser siempre positiva. 4 1 Descripción del movimiento R E C O R D A T O R I O Se define el operador de dos índices Delta de Kronecker not = δ ij como: ⎧0 i ≠ j δ ij = ⎨ ⎩1 i = j El tensor unidad 1 de segundo orden se define entonces como Observación 1-2 En el instante de referencia t = 0 resulta x(X, t ) t =0 = X . En consecuencia x = X , y = Y , z = Z son las ecuaciones del movimiento en el instante de referencia y el Jacobiano en dicho instante resulta ser: J (X,0) = ⎡ ∂x ⎤ ∂ ( xyz ) = det ⎢ i ⎥ = det δ ij = det 1 = 1 ∂( XYZ ) ⎣⎢ ∂X j ⎦⎥ [ ] [1]ij = δ ij Observación 1-3 La expresión x = ϕ(X, t ) , particularizada para un valor fijo de las coordenadas materiales X , proporciona la ecuación de la trayectoria de la partícula (ver Figura 1-2). tn t1 X3, Z t0 (X 1 , X 2 , X 3 ) ê 3 ê1 ê 2 trayectoria X 2 ,Y X1, X Figura 1-2 – Trayectoria de una partícula Ejemplo 1-1 – La descripción espacial del movimiento de un medio continuo viene dada por: ⎧ x1 = X 1 e 2 t ⎧ x = X e 2t ⎪⎪ ⎪⎪ ≡ ⎨ y = Y e −2 t x(X , t ) ≡ ⎨ x 2 = X 2 e −2 t ⎪ ⎪ 2t 2t ⎪⎩ z = 5 X t + Z e ⎪⎩ x3 = 5 X 1 t + X 3 e Obtener las ecuaciones del movimiento inversas. El determinante del Jacobiano resulta: 1 Descripción del movimiento J= ∂x i ∂X j ∂x1 ∂X 1 ∂x = 2 ∂X 1 ∂x 3 ∂X 1 ∂x1 ∂X 2 ∂x 2 ∂X 2 ∂x 3 ∂X 2 ∂x1 ∂X 3 e 2 t ∂x 2 = 0 ∂X 3 5t ∂x 3 ∂X 3 0 e −2 t 0 5 0 0 = e 2t ≠ 0 e 2t La condición suficiente (aunque no necesaria) para que la función x = ϕ( X, t ) sea biunívoca (que exista la inversa) es que el determinante del Jacobiano de la función no sea nulo. Además puesto que el Jacobiano es positivo, el movimiento tiene sentido físico. Por lo tanto, la inversa de la descripción espacial dada existe y viene dada por: ⎤ x1e −2 t ⎧X1 ⎫ ⎡ ⎥ ⎢ ⎪ ⎪ −1 2t X = ϕ (x, t ) ≡ ⎨ X 2 ⎬ = ⎢ x2 e ⎥ ⎪ X ⎪ ⎢ x e −2 t − 5tx e − 4 t ⎥ 1 ⎩ 3⎭ ⎣ 3 ⎦ 1.3 Descripciones del movimiento La descripción matemática de las propiedades de las partículas del medio continuo puede hacerse mediante dos formas alternativas: la descripción material (generalmente utilizada en Mecánica de Sólidos) y la descripción espacial (utilizada generalmente en Mecánica de Fluidos). Ambas descripciones se diferencian esencialmente por el tipo de argumento (coordenadas materiales o coordenadas espaciales) que aparece en las funciones matemáticas que describen las propiedades del medio continuo. 1.3.1 Descripción material N O T A La literatura sobre el tema suele referirse también a la descripción material como descripción lagrangeana . En la descripción material se describe cierta propiedad (por ejemplo la densidad ρ ) mediante cierta función ρ (•, t ): R 3 × R + → R + donde el argumento (•) en ρ (•, t ) son las coordenadas materiales. Es decir: ρ = ρ (X, t ) = ρ (X 1 , X 2 , X 3 , t ) (1.7) Obsérvese que si se fijan los tres argumentos X ≡ ( X 1 , X 3 , X 3 ) de la ecuación (1.7) se está siguiendo a una partícula determinada (ver Figura 1-3a), de ahí proviene la denominación de descripción material 1.3.2 Descripción espacial N O T A Suele denominarse también a la descripción espacial como descripción euleriana. En la descripción espacial la atención se centra en un punto del espacio. Se describe la propiedad como una función ρ(•, t ): R 3 × R + → R + del punto del espacio y del tiempo: ρ = ρ(x, t ) = ρ(x1 , x 2 , x 3 , t ) (1.8) de tal forma que al asignar un cierto valor al argumento x en ρ = ρ(x, t ) se obtiene la evolución de la densidad para las distintas partículas que van pasando 6 1 Descripción del movimiento por dicho punto del espacio a lo largo del tiempo (ver Figura 1-3b). Por otro lado, al fijar el argumento tiempo en la ecuación (1.8) se obtiene una distribución instantánea (como una fotografía) de la propiedad en el espacio. Es evidente que las ecuaciones del movimiento directas e inversas permiten pasar de una descripción a otra de la forma: ρ (x, t ) = ρ (x ( X , t ), t ) = ρ (X , t ) ρ (X, t ) = ρ (X ( x, t ), t ) = ρ (x, t ) (1.9) b) a) (X X3, Z * (x , y , z ) ,Y * ,Z * ) * X 3, Z t =2 t =0 * * t =0 t =1 t =2 t =1 X 2 ,Y X1, X X1, X Figura 1-3– Descripción material y espacial de una propiedad Ejemplo 1-2 – Sean las siguientes ecuaciones del movimiento: ⎧ x = X − Yt ⎪ x = x (X , t ) ≡ ⎨ y = Xt + Y ⎪ z = − Xt + Z ⎩ Obtener la descripción espacial de la propiedad descrita materialmente mediante ρ (X,Y,Z,t ) = X +Y + Z 1+t2 Las ecuaciones del movimiento están dadas en forma canónica, ya que en la ⎧x = X ⎪ configuración de referencia Ω 0 se obtiene: x = X(X,0 ) = ⎨ y = Y ⎪z = Z ⎩ El Jacobiano resulta: J = ∂x i ∂X j ∂x ∂X ∂y = ∂X ∂z ∂X ∂x ∂Y ∂y ∂Y ∂z ∂Y ∂x ∂Z 1 −t 0 ∂y 1 0 =1+ t 2 ≠ 0 = t ∂Z −t 0 1 ∂z ∂Z y las ecuaciones del movimiento inversas están dadas por: 7 1 Descripción del movimiento ⎧ x + yt ⎪X = 1+ t2 ⎪ y − xt ⎪ X( x, t ) ≡ ⎨Y = 1+ t2 ⎪ ⎪ z + zt 2 + xt + yt 2 ⎪Z = 1+ t2 ⎩ Si ahora se considera la descripción material de la propiedad X +Y +Z ρ (X,Y,Z,t) = es posible hallar su descripción espacial sustituyendo en 1+ t2 ella las ecuaciones del movimiento inversas. Es decir: ρ (X,Y,Z,t ) ≡ x + yt + y + z + zt 2 + yt 2 (1 + t ) 2 2 = ρ (x,y,z,t ) 1.4 Derivadas temporales: local, material, convectiva La consideración de las distintas descripciones (material y espacial) de las propiedades del medio continuo lleva a diversas definiciones de las derivadas temporales de dichas propiedades. Consideremos una cierta propiedad y sus descripciones material y espacial: Γ(X, t ) = γ (x, t ) (1.10) donde el paso de la descripción espacial a la material y viceversa se hace a través de las ecuaciones del movimiento (1.5) y (1.6). Definiciones: N O T A C I Ó N La notación ∂(•, t ) se ∂t entiende en el sentido clásico de derivada parcial respecto a la variable t . Derivada local: La variación de la propiedad respecto al tiempo en un punto fijo del espacio. Si se dispone de la descripción espacial de la propiedad, γ (x, t ) , dicha derivada local puede escribirse matemáticamente como: not derivada local = ∂γ ( x, t ) ∂t Derivada material: La variación de la propiedad respecto al tiempo siguiendo una partícula (punto material) específica del medio continuo. Si se dispone de la descripción material de la propiedad, Γ( X, t ) , dicha derivada material puede describirse matemáticamente como: not derivada material = ∂Γ( X , t ) d Γ= ∂t dt 8 1 Descripción del movimiento Sin embargo, si se parte de la descripción espacial de la propiedad γ ( x, t ) y se consideran implícitas en la misma las ecuaciones del movimiento: γ ( x, t ) = γ ( x( X, t ), t ) = Γ( X, t ) (1.11) puede obtenerse la derivada material (siguiendo a una partícula) a partir de la descripción espacial, como: not derivada material = N O T A C I Ó N En la literatura se utiliza frecuentemente (•) como Dt (•) . alternativa a d dt la notación D ∂Γ(X, t ) d γ (x(X, t ), t ) = ∂t dt (1.12) Desarrollando la ecuación (1.12) se obtiene: dγ(x(X, t ), t ) ∂γ( x, t ) ∂γ ∂x i ∂γ (x, t ) ∂γ ∂x = + = + ⋅ ∂t ∂x i ∂t ∂t ∂x  ∂t dt (1.13) v (x,t ) donde se ha considerado la definición de la velocidad como la derivada respecto al tiempo de las ecuaciones de movimiento (1.5), ∂x( X, t ) = V ( X(x, t ), t ) = v( x, t ) ∂t (1.14) La obtención de la derivada material a partir de la descripción espacial puede generalizarse para cualquier propiedad χ (x, t ) (de carácter escalar, vectorial o tensorial): N O T A C I Ó N Se considera aquí la forma simbólica del operador Nabla espacial: ∇≡ ∂ eˆ i ∂x i d χ ( x, t ) dt    derivada material = ∂χ ( x, t ) ∂t    derivada local + v ( x, t ) ⋅ ∇χ ( x, t )  (1.15) derivada convectiva Observación 1-4 La ecuación (1.15) define implícitamente la derivada convectiva v ⋅ ∇(• ) como la diferencia entre las derivadas material y local de la propiedad. El término convección se aplica en Mecánica de Medios Continuos a fenómenos relacionados con el transporte de masa (o de partículas). Obsérvese que si no hay convección ( v = 0 ) la derivada convectiva desaparece y las derivadas local y material coinciden. Ejemplo 1-3 – Dada la siguiente ecuación del movimiento ⎧ x = X + Yt + Zt ⎪ ⎨ y = Y + 2 Zt ⎪ z = Z + 3 Xt ⎩ y la descripción espacial de una propiedad material. ρ(x, t ) = 3 x + 2 y + 3t , calcular su derivada La descripción material de la propiedad se obtiene reemplazando las ecuaciones del movimiento en la expresión espacial: ρ (X,Y,Z,t ) = 3(X + Yt + Zt ) + 2(Y + 2 Zt ) + 3t = 3 X + 3Yt + 7 Zt + 2Y + 3t 1 Descripción del movimiento 9 La derivada material puede obtenerse en primera instancia como la derivada respecto al tiempo en la descripción material, es decir: ∂ρ = 3Y + 7Z + 3 ∂t Otra alternativa para el cálculo de la derivada material es utilizar el concepto de derivada material de la descripción espacial de la propiedad: ∂ρ =3 ∂t dρ ∂ρ = + v ⋅ ∇ρ dt ∂t ∂x v= = (Y + Z, 2 Z, 3 X )T ∂t ∇ρ = {3,2,0}T Reemplazando en la expresión del operador derivada material se tiene: dρ = 3 + 3Y + 7 Z dt Obsérvese que las expresiones de la derivada material de la propiedad obtenidas a partir de la descripción material, ∂ρ , o de la descripción espacial, ∂t dρ , coinciden. dt 1.5 Velocidad y aceleración Definición: Velocidad: Derivada temporal de las ecuaciones del movimiento. La descripción material de la velocidad viene dada, en consecuencia, por: ∂x(X, t ) ∂t ∂x i (X, t ) Vi (X, t ) = ∂t V (X, t ) = i ∈{1, 2,3} (1.16) y si se dispone de las ecuaciones inversas del movimiento X = ϕ −1 (x, t ) es posible obtener la descripción espacial de la velocidad como: v (x, t ) = V ( X( x, t ), t ) (1.17) Definición: Aceleración: Derivada material del campo de velocidades. Si se tiene la velocidad descrita en forma material, se puede hallar la descripción material de la aceleración como: 10 1 Descripción del movimiento ∂V (X, t ) ∂t ∂Vi (X, t ) A i (X, t ) = ∂t A (X, t ) = (1.18) y a través de las ecuaciones inversas del movimiento X = ϕ −1 (x, t ) , se puede pasar a la descripción espacial a(x, t ) = A(X(x, t ), t ). Como alternativa, si se dispone de la descripción espacial de la velocidad, puede obtenerse directamente la descripción espacial de la aceleración aplicando la ecuación (1.15) para obtener la derivada material de v(x, t ) : a(x, t ) = dv (x, t ) ∂v(x, t ) = + v (x, t ) ⋅ ∇v(x, t ) ∂t dt (1.19) Ejemplo 1-4 – Considérese un sólido, ver Figura 1-4, que gira con velocidad angular ω constante y que tiene como ecuación del movimiento: ⎧ x = R sin(ωt + φ) ⎨ ⎩ y = R cos (ωt + φ) Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento descritas en forma material y espacial. t =0 Y P t R φ P’ ωt R Figura 1-4 X Las ecuaciones del movimiento pueden reescribirse como: x = R sin(ωt + φ) = R sin(ωt )cos φ + R cos (ωt ) sinφ y = R cos(ωt + φ) = R cos (ωt ) cos φ − R sin(ωt ) sinφ ⎧ X = R sinφ , las formas canónicas de la ecuación del ⎩Y = R cosφ y, ya que para t = 0 ⇒ ⎨ movimiento y de su inversa quedan: ⎧ x = X cos (ωt ) + Y sin(ωt ) ⎨ ⎩ y = − X sin (ωt ) + Y cos (ωt ) ⎧ X = x cos (ωt ) − y sin(ωt ) ⎨ ⎩Y = x sin(ωt ) + y cos(ωt ) a.1) Velocidad en descripción material ∂x ⎧ = − X ω sin(ωt ) + Y ω cos (ωt ) Vx = ⎪ ∂x(X, t ) ⎪ ∂t ≡⎨ V (X, t ) = ∂t ⎪V = ∂y = − X ω cos (ωt ) − Y ω sin(ωt ) ⎪⎩ y ∂t 1 Descripción del movimiento 11 a.2) Velocidad en descripción espacial Sustituyendo los valores x e y dados en la forma canónica vista anteriormente, es posible obtener la forma espacial de la velocidad como: ⎫ ∂x ⎧ ⎪⎪v x = ∂t = ω y ⎪⎪ ⎧ ω y ⎫ v(x, t ) = ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ v = ∂y = − ω x ⎪ ⎩− ω x ⎭ y ⎪⎩ ⎪⎭ ∂t b.1) Aceleración en descripción material: A (X, t ) = ∂V (X, t ) ∂t ⎫ ⎧ ∂v x 2 2 ⎪⎪ ∂t = − Xω cos(ωt ) − Yω sin(ωt )⎪⎪ 2 ⎧ X cos(ωt ) + Ysin(ωt ) ⎫ A (X , t ) = ⎨ ⎬ ⎬=−ω ⎨ ⎩− Xsin(ωt ) + Y cos(ωt )⎭ ⎪ ∂v y = Xω 2 sin(ωt ) − Yω 2 cos(ωt ) ⎪ ⎪⎩ ∂t ⎪⎭ b.2) Aceleración en descripción espacial: Sustituyendo las ecuaciones del movimiento inversas en la ecuación anterior: ⎧⎪a x = −ω 2 x ⎫⎪ 2 ⎬ ⎪⎩a y = −ω y ⎪⎭ a(x, t ) = A( X( x, t ), t ) ≡ ⎨ Esta misma expresión podría ser obtenida si se considera la expresión de la velocidad v (x, t ) y la expresión de la derivada material en (1.15): dv(x, t ) ∂v(x, t ) = + v (x, t ) ⋅ ∇v(x, t ) = a(x, t ) = dt ∂t ⎡∂⎤ ⎢ ∂x ⎥ ω y ⎫ ⎧ ∂ = ⎨ ⎬ + [ωy − ωx ] ⎢ ∂ ⎥ [ωy − ωx ] = ∂t ⎩− ωx ⎭ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ∂y ⎥⎦ ∂ ⎤ ⎡∂ ⎢ ∂x (ωy ) ∂x (− ωx )⎥ ⎧⎪− ω 2 x ⎫⎪ ⎧0⎫ = ⎨ ⎬ + [ωy − ωx ] ⎢ ∂ ⎥= ⎨ ⎬ ∂ ⎩0⎭ ⎢ (ωy ) (− ωx )⎥ ⎪⎩− ω 2 y ⎪⎭ ∂y ⎦⎥ ⎣⎢ ∂y Obsérvese que el resultado obtenido por los dos procedimientos es idéntico. 12 1 Descripción del movimiento 1.6 Estacionariedad Definición: Una propiedad es estacionaria cuando su descripción espacial no depende del tiempo. De acuerdo con la definición anterior y con el concepto de derivada local, toda propiedad estacionaria tiene su derivada local nula. Por ejemplo, si la velocidad para un cierto movimiento es estacionaria, puede ser descrita espacialmente como: v(x, t ) = v (x ) ⇔ ∂v(x, t ) =0 ∂t (1.20) Observación 1-5 La independencia del tiempo de la descripción espacial (estacionariedad) supone que para un mismo punto del espacio la propiedad en cuestión no varía a lo largo del tiempo. Esto no implica que, para una misma partícula, la propiedad no varíe con el tiempo (la descripción material puede depender del tiempo). Por ejemplo, si la velocidad v (x, t ) es estacionaria ⇒ v (x, t ) ≡ v(x ) = v(x( X, t ) ) = V ( X, t ) luego la descripción material de la velocidad depende del tiempo. Para un caso de densidad estacionaria (ver Figura 1-5) ocurrirá que para dos partículas de etiquetas X 1 y X 2 que varían su densidad a lo largo del tiempo, al pasar por un mismo punto espacial x (en dos instantes distintos t1 y t 2 ) tomarán el mismo valor de la densidad ( ρ (X1 , t1 ) = ρ (X 2 , t 2 ) = ρ(x ) . Es decir, para un observador situado en el exterior del medio, la densidad en el punto fijo del espacio x será siempre la misma Y X 1 ρ(x ) x X 2 X Figura 1-5– Movimiento con densidad estacionaria 1 Descripción del movimiento 13 Ejemplo 1-5 – En el Ejemplo 1-4 se tiene un campo de velocidades cuya ω y⎫ ⎬ . Es decir, se trata de un caso en que la ⎩−ωx ⎭ ⎧ descripción espacial es: v(x ) ≡ ⎨ descripción espacial de la velocidad no depende del tiempo y la velocidad es estacionaria. Es evidente que esto no implica que la velocidad de las partículas (que tienen un movimiento de rotación uniforme respecto al origen, con velocidad angular ω ) no dependa del tiempo (ver Figura 1-6). La dirección del vector velocidad para una misma partícula es tangente a su trayectoria circular y va variando a lo largo del tiempo. t0 P Y φ v0 R ωt t P’ R vt X Figura 1-6 La aceleración (derivada material de la velocidad) aparece por el cambio de la dirección del vector velocidad de las partículas y es conocida como aceleración centrípeta: a(x ) = dv(x ) ∂v (x ) = + v(x ) ⋅ ∇v(x ) = v(x ) ⋅ ∇v (x ) ∂t dt 1.7 Trayectoria Definición: Trayectoria: Lugar geométrico de las posiciones que ocupa una partícula en el espacio a lo largo del tiempo. La ecuación paramétrica en función del tiempo de una trayectoria se obtiene particularizando las ecuaciones del movimiento para una determinada partícula (identificada por sus coordenadas materiales X * , ver Figura 1-7): x(t ) = ϕ(X, t ) X = X* (1.21) Dadas las ecuaciones del movimiento x = ϕ(X, t ), por cada punto del espacio pasa una trayectoria caracterizada por el valor de la etiqueta (coordenadas materiales) X . Las ecuaciones del movimiento definen entonces una familia de curvas cuyos elementos son las trayectorias de las diversas partículas. 14 1 Descripción del movimiento Y t t0 X* x X Figura 1-7 – Trayectoria de una partícula 1.7.1 Ecuación diferencial de las trayectorias Dado el campo de velocidades en descripción espacial v(x, t ) , es posible obtener la familia de trayectorias planteando el sistema de ecuaciones diferenciales que impone que, en cada punto del espacio x , el vector velocidad sea la derivada respecto al tiempo de la ecuación paramétrica de las trayectorias dada por la ecuación (1.21). ⎧ dx(t ) ⎪⎪ dt = v (x(t ), t ) Encontrar x(t ) := ⎨ ⎪ dx i (t ) = v (x(t ), t ) i ∈{1,2,3} i ⎪⎩ dt (1.22) La solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (1.22) dependerá de tres constantes de integración (C1 , C 2 , C 3 ) : ⎧x = φ(C1, C 2, C 3, t ) ⎨ ⎩ xi = φ i (C1 , C 2 , C3 , t ) i ∈{1,2,3} (1.23) Las expresiones (1.23) constituyen una familia de curvas en el espacio parametrizada por las constantes (C1 , C 2 , C3 ) . Asignando un valor determinado a dichas constantes se obtiene un miembro de la familia que es la trayectoria de una partícula caracterizada por la etiqueta (C1 , C 2 , C3 ) . Para obtener las ecuaciones en forma canónica se impone la condición de consistencia en la configuración de referencia: x(t ) t =0 = X ⇒ X = φ(C1, C 2, C 3 ,0) ⇒ C i = χ i ( X) i ∈{1,2,3} (1.24) y substituyendo en la ecuación (1.23) se obtiene la forma canónica de la ecuación de las trayectorias: x = φ(C1 (X ), C 2 (X ), C3 (X ), t ) = ϕ(X, t ) Ejemplo 1-6 – Considérese el campo de velocidades del Ejemplo 1-5: ⎧ ω y⎫ ⎬ ⎩− ω x ⎭ v(x, t ) = ⎨ Obtener la ecuación de las trayectorias. (1.25) 1 Descripción del movimiento 15 Utilizando la expresión (1.22), se puede escribir: ⎧ dx(t ) = v x (x, t ) = ωy ⎪⎪ dx(t ) = v(x, t ) ⇒ ⎨ dt dt ⎪ dy (t ) = v (x, t ) = −ωx y ⎪⎩ dt El sistema anterior de ecuaciones diferenciales es un sistema de variables cruzadas. Si se deriva la segunda ecuación y se substituye el resultado en la primera se obtiene: d 2 y (t ) dx (t ) = −ω = − ω2 y (t ) ⇒ y´´ + ω2 y = 0 dt 2 dt Ecuación característica: r 2 + ω2 = 0 Soluciones características: rj = ± i ω Solución : y (t ) = Parte Real {C1e j ∈{1,2} } + C 2 e − iwt = C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt ) dy = − ωx que resulta en La solución para x (t ) se obtiene a partir de dt 1 dy , obteniéndose así: x=− ω dt ⎧ x(C1 , C 2 , t ) = C1 sin(ωt ) − C 2 cos (ωt ) ⎨ ⎩ y (C1 , C 2 , t ) = C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt ) iwt Las anteriores ecuaciones proporcionan las expresiones de las trayectorias en forma no canónica. La forma canónica se obtiene considerando la condición inicial: x(C1 , C 2 ,0 ) = X es decir: ⎧ x (C1 , C2 ,0) = −C2 = X ⎨ ⎩ y (C1 , C2 ,0) = C1 = Y Así, las ecuaciones del movimiento, o ecuación de las trayectorias, en forma canónica son: ⎧ x = Y sin(ωt ) + X cos (ωt ) ⎨ ⎩ y = Y cos (ωt ) − X sin(ωt ) 1.8 Línea de corriente N O T A Dado un campo vectorial se definen sus envolventes como la familia de curvas cuyo vector tangente, en cada punto, coincide en dirección y sentido con el correspondiente vector de dicho campo vectorial. Definición: Líneas de corriente: Aquella familia de curvas que, para cada instante de tiempo, son las envolventes del campo de velocidades. De acuerdo con su definición, la tangente en cada punto de una línea de corriente tiene la misma dirección y sentido (aunque no necesariamente la misma magnitud) que el vector de velocidad en dicho punto del espacio. 16 1 Descripción del movimiento Y tiempo - t 0 v tiempo - t1 Y X X Figura 1-8– Líneas de corriente Observación 1-6 En el caso más general el campo de velocidades (descripción espacial) será distinto para cada instante de tiempo ( v ≡ v( x, t ) ). Cabrá hablar, en consecuencia, de una familia distinta de líneas de corriente para cada instante de tiempo (ver Figura 1-8). 1.8.1 Ecuación diferencial de las líneas de corriente Considérese un instante de tiempo dado t * y la descripción espacial del campo de velocidades en dicho instante v( x, t * ) . Sea x(λ ) la ecuación de una línea de corriente parametrizada en función de un cierto parámetro λ . El vector tangente a la línea de corriente queda definido, para cada valor de λ por dx(λ ) y la condición de tangencia del campo de velocidades puede escribirse dλ como: N O T A Se supone que el valor del parámetro λ se elige de tal forma que en cada punto x del dx(λ ) no espacio, dλ solamente tiene la dirección del vector v(x, t ) sino que coincide con el mismo. ⎧ dx ( λ ) * ⎪⎪ dλ = v x(λ ), t Encontrar x( λ ) := ⎨ ⎪ dx i (λ ) = v x (λ ), t * i ⎪⎩ dλ ( ) ( ) (1.26) i ∈ {1,2,3} La ecuaciones (1.26) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden cuya solución para cada instante de tiempo t * , que dependerá de tres constantes de integración ( C1' , C 2' , C3' ), proporciona la expresión paramétrica de las líneas de corriente: ⎧⎪x = φ(C1' , C 2' , C 3' , λ, t * ) ⎨ ⎪⎩ xi = φ i (C1' , C 2' , C 3' , λ, t * ) i ∈{1,2,3} (1.27) Cada tripleta de constantes de integración ( C1' , C 2' , C3' ) identifica una línea de corriente cuyos puntos se obtienen a su vez asignando valores al parámetro λ . Para cada instante de tiempo t * se obtiene una nueva familia de líneas de corriente. 1 Descripción del movimiento 17 Observación 1-7 Si se tiene un campo de velocidades estacionario ( ⇒ v (x, t ) ≡ v ( x ) ), las trayectorias y líneas de corriente coinciden. La justificación de este hecho se puede hacer desde dos ópticas distintas: • La no aparición del tiempo en el campo de velocidades en las ecuaciones (1.22) y (1.26) motiva que las ecuaciones diferenciales que definen las trayectorias y las que definen las líneas de corriente solo difieran en la denominación del parámetro de integración ( t o λ respectivamente). La solución de ambos sistemas debe ser, por consiguiente, la misma salvo por el nombre del parámetro utilizado en los dos tipos de curvas. • Desde un punto de vista más físico: a) Si el campo de velocidades es estacionario sus envolventes (las líneas de corriente) no varían con el tiempo; b) una determinada partícula recorre el espacio manteniendo su trayectoria en la dirección tangente al campo de velocidades que va encontrando a lo largo del tiempo; c) por consiguiente, si una trayectoria empieza en un punto de cierta línea de corriente, se mantiene sobre la misma a lo largo del tiempo. 1.9 Tubo de Corriente Definición: Tubo de corriente: Superficie constituida por un haz de líneas de corriente que pasan por los puntos de una línea cerrada, fija en el espacio y que no constituye una línea de corriente. En casos no estacionarios, aunque la línea cerrada no varía, el tubo de corriente y las líneas de corriente sí lo hacen. Por el contrario, para el caso estacionario el tubo de corriente permanece fijo en el espacio a lo largo del tiempo. 1.9.1 Ecuación del tubo de corriente Las líneas de corriente constituyen una familia de curvas del tipo: x = f (C1 , C 2 , C3 , λ, t ) (1.28) El problema consiste en determinar para cada instante de tiempo, qué curvas de la familia de curvas de las líneas de corriente pasan por una línea cerrada y fija en el espacio Γ, cuya expresión matemática parametrizada en función de un parámetro s es: Γ := x = g (s ) (1.29) 18 1 Descripción del movimiento Para ello se impone la condición de pertenencia de un mismo punto a las dos curvas, en términos de los parámetros λ* y s * : ( ) ( g s * = f C1 , C 2 , C3 , λ* , t ) (1.30) Con lo cual se obtiene un sistema de tres ecuaciones del cual se puede despejar, por ejemplo, s * , λ* , C 3 , esto es: s * = s * (C1 , C 2 , t ) λ* = λ* (C1 , C 2 , t ) (1.31) C 3 = C 3 (C1 , C 2 , t ) Sustituyendo (1.31) en (1.30) se obtiene: x = f (C1 , C2 , C3 (C1 , C 2 , t ), λ (C1 , C2 , t ), t ) = h (C1 , C2 , t ) (1.32) que constituye la expresión parametrizada (en función de los parámetros C1 ,C 2 ) del tubo de corriente, para cada instante t (ver Figura 1-9). t s =1 s=0 Z λ = 0,1,2... * * s ;λ Y X Figura 1-9 – Tubo de Corriente 1.10 Línea de traza Definición: Línea de traza, relativa a un punto fijo en el espacio x * denominado punto de vertido y a un intervalo de tiempo denominado tiempo de vertido [t i , t f ], es el lugar geométrico de las posiciones que ocupan en un instante t , todas las partículas que han pasado por x * en un instante τ ∈ [t i , t ] ∩ [t i , t f ]. La anterior definición corresponde al concepto físico de la línea de color (traza) que se observaría en el medio en el instante t , si se vertiese un colorante en el punto de vertido x * durante el intervalo de tiempo [t i , t f ] (ver Figura 1-10). 19 1 Descripción del movimiento (x , y * * τ = ti , z * ) punto de vertido τ = t1 z τ = t2 τ =tf t y x Figura 1-10 – Línea de traza 1.10.1 Ecuación de la línea de traza Para determinar la ecuación de la línea de traza es necesario identificar las partículas que pasan por el punto x * en los correspondientes instantes τ . Partiendo de las ecuaciones del movimiento dadas por (1.5) y (1.6) se trata de determinar cuál es la etiqueta de la partícula que en el instante de tiempo τ pasa por el punto de vertido. Para ello se plantea: x * = x(X, τ ) xi* = xi (X, τ ) ⎫⎪ ⎬ ⇒ X = f (τ ) i ∈1, 2,3⎪⎭ (1.33) Sustituyendo (1.33) en las ecuaciones del movimiento (1.5) se obtiene: x = ϕ (f (τ ), t ) = g( τ, t ) [ τ ∈ [ti , t ]∩ ti , t f ] (1.34) La expresión (1.34) constituye, para cada instante t , la expresión paramétrica (en términos del parámetro τ ) de un segmento curvilíneo en el espacio que es la línea de traza en dicho instante. Ejemplo 1-7 – Sea un movimiento definido por las siguientes ecuaciones del movimiento: x = (X + Y ) t 2 + X cos t y = (X + Y )cos t − X Obtener la ecuación de la línea de traza asociada al punto de vertido x * = (0,1) para el periodo de vertido [t 0 ,+∞) . Las coordenadas materiales de la partícula que han pasado por el punto de vertido en el instante τ están dadas por: ⎧ −τ2 = X ⎪ 2 2 0=(X +Y) τ2 + X cos τ ⎫ ⎪ τ +cos τ ⎬⇒⎨ 1=(X +Y)cos τ− X ⎭ ⎪ τ2 +cosτ ⎪Y = τ2 +cos2τ ⎩ Por lo tanto la etiqueta de las partículas que han pasado por el punto de vertido desde el instante de inicio de vertido t 0 hasta el instante actual t queda definida por: 20 1 Descripción del movimiento ⎫ − τ2 2 2 ⎪ τ + cos τ ⎪ ⎬ τ ∈ [t 0 , t ] ∩ [t 0 , ∞] = [t 0 , t ] τ 2 + cos τ ⎪ Y= 2 τ + cos 2 τ ⎪⎭ X= De aquí substituyendo en las ecuaciones del movimiento se obtienen las ecuaciones de la línea de traza: ⎧ cos τ − τ2 2 ⎪⎪ x = 2 cos 2 t + 2 cos 2 cos t τ + τ τ + τ x = g( τ, t ) ≡ ⎨ 2 cos τ −τ ⎪y = cos t − 2 τ 2 + cos 2 τ τ + cos 2 τ ⎩⎪ τ ∈ [t 0 , t ] Observación 1-8 En un problema estacionario las líneas de traza son segmentos de las trayectorias (o de las líneas de corriente). La justificación se basa en el hecho de que en el caso estacionario la trayectoria sigue la envolvente del campo de velocidades que permanece constante con el tiempo. Si se considera un punto de vertido, x* , todas las partículas que pasan por él seguirán porciones (segmentos) de la misma trayectoria. 1.11 Superficie material Definición: Superficie material: Superficie móvil en el espacio constituida siempre por las mismas partículas (puntos materiales). En la configuración de referencia Ω 0 la superficie Σ 0 podrá definirse en términos de una función de las coordenadas materiales F ( X , Y , Z ) como: Σ 0 := { X , Y , Z | F (X,Y,Z ) = 0} Observación 1-9 La función F ( X , Y , Z ) no depende del tiempo, lo que garantiza que las partículas, identificadas por su etiqueta, que cumplen la ecuación F ( X , Y , Z ) = 0 son siempre las mismas de acuerdo con la definición de superficie material. (1.35) 1 Descripción del movimiento Z 21 Σ 0 := { X F ( X , Y , Z ) = 0} t =0 Σ t := { x ϕ(X , t ) f (x, y, z, t ) = 0} Σ0 t Σt Y X Figura 1-11 – Superficie material La descripción espacial de la superficie se obtendrá a partir de la descripción espacial de F ( X( x, t ) = f ( x, y, z , t ) : Σ t := {x, y , z | f (x, y , z,t ) = 0} Observación 1-10 La función f ( x, y, z , t ) depende explícitamente del tiempo, lo que establece que los puntos del espacio que estarán sobre la superficie varían con el tiempo. Esta dependencia del tiempo de la descripción espacial de la superficie, le confiere su carácter de superficie móvil en el espacio (ver Figura 1-11). Observación 1-11 Condición necesaria y suficiente para que una superficie móvil en el espacio, definida implícitamente por una función f ( x, y , z, t ) = 0 , sea material (esté constituida siempre por las mismas partículas) es que la derivada material de f ( x, y , z, t ) sea nula: df ( x, t ) ∂f = + v ⋅ ∇f = 0 ∂t dt ∀x ∈ Σ t ∀t La condición es necesaria puesto que si la superficie es material, su descripción material no depende del tiempo ( F ≡ F (X ) ) y por consiguiente, su descripción espacial tiene derivada material nula. La condición de suficiencia se fundamenta en que, si la derivada material de f ( x, t ) es nula, la correspondiente descripción material no depende del tiempo ( F ≡ F (X) ) y por consiguiente, el conjunto de partículas (identificadas por su coordenadas materiales) que cumplen la condición F ( X ) = 0 es siempre el mismo. (1.36) 22 1 Descripción del movimiento Ejemplo 1-8 – En la teoría de oleaje se impone la condición de que la superficie libre del fluido que está en contacto con la atmósfera sea una superficie material. Es decir, esta restricción supone que la superficie libre está formada siempre por las mismas partículas (hipótesis razonable sobre todo en aguas profundas). Si se supone que z = η(x , y , t ) define la altura de la superficie del mar respecto a un nivel de referencia, la superficie libre del agua vendrá definida por: f (x , y , z , t ) ≡ z − η(x, y , t ) = 0 . z superficie libre y x z = η (x, y, t ) =cota de la superficie libre Figura 1-12 df = 0 se escribe como: dt ∂f ∂η =− ∂t ∂t ⎡ ∂f ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ∂x ⎥ ∂f ∂f ∂f ⎢ ∂f ⎥ = vx + vy + vz v ⋅ ∇f = v x v y v z ⎢ ⎥ ∂ ∂x ∂y ∂z ⎢ y ⎥ ⎢ ∂f ⎥ ⎢ ∂z ⎥ ⎣ ⎦ La condición [ ] ∂η ∂η ∂η df ∂f = + v ⋅ ∇f = − − vx − vy + vz = 0 ⇒ ∂t ∂x ∂y dt ∂t ∂η ∂η ∂η vz = + vx +vy ∂t ∂x ∂y Es decir, la condición de superficie material se traduce en una condición sobre la componente vertical del campo de velocidades. 1.12 Superficie de control Definición: Superficie de control: Una superficie fija en el espacio. Su descripción matemática viene dada por: Σ := { x | f (x, y, z ) = 0} (1.37) 1 Descripción del movimiento 23 Es evidente que una superficie de control es atravesada por las distintas partículas del medio continuo a lo largo del tiempo (ver Figura 1-13) Σ Z Y X Figura 1-13 – Superficie de control 1.13 Volumen material Definición: Volumen material: Es un volumen limitado por una superficie material cerrada. N O T A Se entiende la función F (X) definida de tal forma que F ( X) < 0 corresponde a puntos del interior de V0 La descripción matemática del volumen material V (ver Figura 1-14) viene dada por: V0 := { X | F (X ) ≤ 0} (1.38) en la descripción material, y por: Vt := { x | f (x, t ) ≤ 0} (1.39) en la descripción espacial, siendo F ( X) = f (x( X, t ), t ) la función que describe la superficie material que lo encierra. Observación 1-12 Un volumen material está constituido siempre por las mismas partículas. La justificación se hace por reducción al absurdo: si una cierta partícula pudiese entrar o salir del volumen material, se incorporaría en su movimiento a la superficie material (al menos por un instante de tiempo). Esto sería contrario al hecho de que la superficie, por ser material, está formada siempre por las mismas partículas. 24 1 Descripción del movimiento t=0 t V0 f (x, t ) = 0 Vt Y X Figura 1-14– Volumen material 1.14 Volumen de control Definición: Volumen de control: Conjunto de puntos del espacio situados en el interior de una superficie de control cerrada. N O T A Se entiende la función f (x) definida de tal Se trata de un volumen fijo en el espacio que es atravesado por las partículas del medio durante su movimiento. Su descripción matemática es: V := { x | forma que f (x) < 0 corresponde a puntos del interior de V f (x ) ≤ 0} z (1.40) V f (x ) = 0 y x Figura 1-15 – Volumen de control 2 Descripción de la deformación 2.1 Introducción Definición Deformación: en el contexto más general, el concepto deformación se refiere al estudio no ya del movimiento absoluto de las partículas tal como se hizo en el capítulo 1, sino del movimiento relativo con respecto a una partícula determinada, de las partículas situadas en un entorno diferencial de aquella. 2.2 Tensor gradiente de deformación Consideremos en el medio continuo en movimiento de la Figura 2-1 una partícula P en la configuración de referencia Ω 0 , y que ocupa el punto del espacio P ' en la configuración actual Ω t , y una partícula Q situada en un entorno diferencial de P y cuyas posiciones relativa respecto a ésta en los instante de referencia y actual vienen dadas por dX y dx respectivamente. t0 X 3 , x3 X Q P´ Ω0 Ωt x ê 3 X 1 , x1 t P dX ê 1 ϕ(X , t ) ê 2 dx Q´ X 2 , x2 Figura 2-1 Sean not ⎧ ⎪x = ϕ(X, t ) = x(X, t ) ⎨ not ⎪ x = ϕ (X , X , X , t ) = x ( X , X , X , t ) i i 1 2 3 1 2 3 ⎩ i (2.1) i ∈ {1,2,3} 26 2 Descripción de la deformación las ecuaciones del movimiento. Diferenciando (2.1) con respecto a las coordenadas materiales X resulta: Ecuación fundamenta l → de la deformació n ∂x i ⎧ ⎪dx i = ∂X dX j j ⎪  ⎨ F ij ⎪ ⎪ = ⋅ d x F d X ⎩ i, j ∈{1,2,3} (2.2) La ecuación (2.2) define el tensor gradiente material de la deformación F( X, t ) : N O T A C I Ó N Se considera aquí la forma simbólica del operador Nabla material: ∂ ∇≡ ê i ∂X i aplicada a la expresión del producto tensorial o abierto: [a ⊗ b]ij = ai b j not = [a b ]ij = ⎧ not ⎪⎪F = x ⊗ ∇ Tensor gradiente material → ⎨ ∂xi de la deformació n i, j ∈{1,2,3} ⎪Fij = ∂X j ⎪⎩ (2.3) Las componentes explícitas del tensor F vienen dadas por: ⎡ ∂x1 ⎢ ⎢ ∂X 1 ⎡ x1 ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ⎢ ∂x 2 [F] = x ⊗ ∇ = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢ ⎥=⎢ ∂X ∂X ∂X 3 ⎦ ∂X ⎢ 1 x 3 ⎦⎥ ⎣12 ⎣⎢ ⎢ ∂x 3 T [x] ∇ ⎢⎣ ∂X 1 [ ] ∂x1 ∂X 2 ∂x 2 ∂X 2 ∂x 3 ∂X 2 ∂x1 ⎤ ⎥ ∂X 3 ⎥ ∂x 2 ⎥ ∂X 3 ⎥ ⎥ ∂x 3 ⎥ ∂X 3 ⎥⎦ (2.4) Observación 2-1 El tensor gradiente de la deformación F(X, t ) contiene la información del movimiento relativo, a lo largo del tiempo t , de todas las partículas materiales en el entorno diferencial de una dada, identificada por sus coordenadas materiales X . En efecto, la ecuación (2.2) proporciona la evolución del vector de posición relativo dx en función de la correspondiente posición relativa dX en el instante de referencia. En este sentido, si se conoce el valor de F( X, t ) se dispone de la información asociada al concepto general de deformación definida en la sección 2.1 2.2.1 Tensor gradiente de la deformación inverso Considerando ahora las ecuaciones de movimiento inversas: not ⎧ −1 ⎪X = ϕ (x, t ) = X(x, t ) ⎨ not ⎪ X = ϕ −1 (x , x , x , t ) = X (x , x , x , t ) i i 1 1 2 3 2 3 ⎩ i i ∈ {1,2,3} y diferenciando (2.5) con respecto a las coordenadas espaciales xi , resulta: (2.5) 27 2 Descripción de la deformación ∂X i ⎧ ⎪dX i = ∂x dx j i, j ∈{1,2,3} j ⎪⎪  ⎨ F−1 ⎪ ij ⎪ −1 ⎪⎩dX = F ⋅ dx (2.6) Al tensor definido por al ecuación (2.6) se le denomina tensor gradiente espacial de la deformación o tensor gradiente (material) de la deformación inverso y viene caracterizado por: ⎧ −1 not ⎪⎪F = X ⊗ ∇ Tensor gradiente espacial → ⎨ −1 ∂X i de la deformació n i, j ∈{1,2,3} ⎪Fij = ∂x j ⎪⎩ N O T A C I Ó N Se considera aquí la forma simbólica del operador Nabla espacial ∇≡ ∂ ê i . ∂x i Obsérvese la diferencia de notación entre dicho operador espacial ( ∇ ) y el operador Nabla material ( ∇ ). (2.7) Las componentes explícitas del tensor F −1 vienen dadas por: [F ] −1 ⎡ ∂X 1 ⎢ ⎢ ∂x1 ⎡ X1 ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ⎢ ∂X 2 = [X ⊗ ∇ ] = ⎢⎢ X 2 ⎥⎥ ⎢ ⎥=⎢ ∂x x1 ∂x 2 ∂x3 ⎦ ⎣ ∂   ⎢ 1 ⎢⎣ X 3 ⎥⎦  ∂   T ⎢ X3 [∇ ] [X] ⎢⎣ ∂x1 ∂X 1 ∂x 2 ∂X 2 ∂x 2 ∂X 3 ∂x 2 ∂X 1 ⎤ ⎥ ∂x3 ⎥ ∂X 2 ⎥ ∂x3 ⎥ ⎥ ∂X 3 ⎥ ∂x3 ⎥⎦ (2.8) Observación 2-2 R E C O R D A T O R I O Se define el operador de dos índices Delta de Kronecker δ ij como: ⎧1 si i = j δ ij = ⎨ ⎩0 si i ≠ j El tensor unidad de 2º orden 1 viene definido por: [1]ij = δ ij . El tensor gradiente espacial de la deformación, denotado en (2.6) y (2.7) mediante F −1 , es efectivamente el inverso del tensor gradiente (material) de la deformación F . La comprobación es inmediata puesto que: ∂x i ∂X k ∂x i not = = δ ij ∂X k ∂x j ∂x j   F −1 ik F ⇒ F ⋅ F −1 = 1 kj ∂X i ∂x k ∂X i not = = δ ij ∂x k ∂X j ∂X j   F−1 F ik ⇒ F −1 ⋅ F = 1 kj Ejemplo 2-1 – Para un determinado instante, el movimiento de un medio continuo viene definido por: x1 = X 1 − AX 3 , x 2 = X 2 − AX 3 , x 3 = − AX 1 + AX 2 + X 3 . Obtener el tensor gradiente material de la deformación F(X) en dicho instante. A partir de las ecuaciones de movimiento inversas obtener el tensor gradiente espacial de la deformación F −1 ( x) . Con los resultados obtenidos comprobar que F ⋅ F −1 = 1 . 28 2 Descripción de la deformación a) Tensor gradiente material de la deformación: [] F = x ⊗ ∇ ≡ [x] ⋅ ∇ T X 1 − AX 3 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⋅⎡ ∂ , =⎢ X 2 − AX 3 ⎥ ⎢ ∂X ⎢⎣− AX 1 + AX 2 + X 3 ⎥⎦ ⎣ 1 ⎡ 1 0 − A⎤ = ⎢⎢ 0 1 − A⎥⎥ ⎢⎣− A A 1 ⎥⎦ ∂ , ∂X 2 ∂ ⎤ ⎥= ∂X 3 ⎦ b) Ecuaciones de movimiento inversas: De la inversión algebraica de las ecuaciones de movimiento se obtiene: ⎧ X 1 = (1 + A 2 ) x1 − A 2 x 2 + A x 3 ⎪⎪ X( x, t ) ≡ ⎨ X 2 = A 2 x1 + (1 − A 2 ) x 2 + A x3 ⎪X = A x − A x + x 1 2 3 ⎪⎩ 3 c) Tensor gradiente espacial de la deformación: F −1 = X ⊗ ∇ ≡ [X]⋅ [∇ ] T ⎡(1 + A 2 ) x1 − A 2 x 2 + A x3 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ∂ , = ⎢ A 2 x1 + (1 − A 2 ) x 2 + A x3 ⎥ ⋅ ⎢ ∂x1 ⎢ ⎥ ⎣ A x1 − A x 2 + x 3 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡1 + A 2 − A 2 ⎢ 1 − A2 = ⎢ A2 ⎢ A −A ⎣ ∂ , ∂x 2 ∂ ⎤ ⎥= ∂x3 ⎦ A⎤ ⎥ A⎥ 1 ⎥⎦ d) Comprobación: F⋅F −1 2 − A2 ⎡ 1 0 − A⎤ ⎡1 + A ⎢ 1 − A2 ≡ ⎢ 0 1 − A⎥ ⋅ ⎢ A 2 ⎢ ⎥ −A ⎣⎢− A A 1 ⎥⎦ ⎢⎣ A A⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎥ A⎥ = ⎢0 1 0⎥ ≡ 1 ⎢ ⎥ 1 ⎥⎦ ⎣⎢0 0 1⎦⎥ 2.3 Desplazamientos Definición: Desplazamiento: diferencia entre los vectores de posición de una misma partícula en las configuraciones actual y de referencia. El desplazamiento de una partícula P en un instante determinado viene definido por el vector u que une los puntos del espacio P (posición inicial) y P ′ (posición en el instante actual t ) de la partícula (ver Figura 2-2). El desplazamiento de todas las partículas del medio continuo define el campo vectorial de desplazamientos que, como toda propiedad del medio continuo, podrá describirse en forma material U( X, t ) o espacial, u(x, t ) : ⎧U( X, t ) = x( X, t ) − X ⎨ ⎩U i ( X, t ) = x i (X, t ) − X i i ∈{1,2,3} (2.9) 2 Descripción de la deformación ⎧u (x, t ) = x − X( x, t ) ⎨ ⎩u i (x, t ) = xi − X i (x, t ) t0 P t P′ Ωt Ω0 X 3 , x3 (2.10) i ∈{1,2,3} u 29 x X ê 3 X 2 , x2 ê 2 ê 1 X 1 , x1 Figura 2-2 – Desplazamientos 2.3.1 Tensores gradiente material y espacial de los desplazamientos La derivación del vector desplazamiento U i en la ecuación (2.9) con respecto a las coordenadas materiales lleva a: def ∂U i ∂x ∂X i = Fij − δ ij = J ij = i − ∂X j ∂X j ∂X j   Fij δij (2.11) que define el tensor gradiente material de los desplazamientos como: def ⎧ Tensor gradiente ⎪⎪J ( X, t ) = U( X, t ) ⊗ ∇ = F − 1 material de los → ⎨ ∂U i = Fij − δ ij i, j ∈{1,2,3} ⎪ J ij = desplazami entos ∂X j ⎪⎩ ∂U i ⎧ ⎪dU i = ∂X dX j = J ij dX j j ⎨ ⎪dU = J ⋅ dX ⎩ i, j ∈{1, 2,3} (2.12) (2.13) De forma similar, diferenciando la expresión de u i en la ecuación (2.10), con respecto a las coordenadas espaciales se obtiene: def ∂u i ∂xi ∂X i − = δ ij − Fij−1 = jij = ∂x j ∂x j ∂x j (2.14)   δij Fij−1 que define el tensor gradiente espacial de los desplazamientos como: def ⎧ −1 Tensor gradiente ⎪⎪ j(x, t ) = u (x, t ) ⊗ ∇ = 1 − F espacial de los → ⎨ ∂u i = δ ij − Fij−1 i, j ∈{1,2,3} ⎪ j ij = desplazami entos x ∂ ⎪⎩ j (2.15) 30 2 Descripción de la deformación ∂u i ⎧ ⎪du i = ∂x dx j = jij dx j j ⎨ ⎪du = j ⋅ dx ⎩ i, j ∈{1,2,3} (2.16) 2.4 Tensores de deformación Consideremos ahora una partícula del medio continuo, que ocupa el punto del espacio P en la configuración material, y otra partícula Q de su entorno diferencial separada de la anterior por el segmento dX (de longitud dS = dX ⋅ dX ) siendo dx (de longitud ds = dx ⋅ dx ) su homólogo en la configuración actual (ver Figura 2-3). Ambos vectores diferenciales están relacionados por el tensor gradiente de la deformación F( X, t ) mediante las ecuaciones (2.2) ó (2.6): ⎧⎪dx = F ⋅ dX ⎨ ⎪⎩dxi = Fij dX j dX = F -1⋅ dx dX i = Fij−1 dx (2.17) j F(X, t ) t t0 Q′ X 3 , x3 Q dX ê 3 dS P X ds dx P′ x O ê 1 X 2 , x2 ê 2 X 1 , x1 Figura 2-3 Puede escribirse entonces: (ds )2 = dx ⋅ dx = [dx]T ⋅ [dx ] = [F ⋅ dX ]T ⋅ [F ⋅ dX]= dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX (ds )2 = dxk dxk = Fki dX i Fkj dX j = dX i Fki Fkj dX j = dX i FikT Fkj dX j (2.18) y, alternativamente, N O T A C I Ó N Se utiliza la convención: [(•) ] not −1 T = (•) −T (dS )2 = dX ⋅ dX = [dX ]T ⋅ [dX ] = [F −1 ⋅ dx] ⋅ [F −1 ⋅ dx ] = dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx (dS )2 = dX k dX k = Fki−1 dxi Fkj−1 dx j = dxi Fki−1 Fkj−1dx j = dxi Fik−T Fkj−1dx j T not (2.19) 2.4.1 Tensor material de deformación (tensor de deformación de Green-Lagrange) Restando las expresiones (2.18) y (2.19) se obtiene: 31 2 Descripción de la deformación (ds )2 − (dS )2 = dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX − dX ⋅ dX = dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX − dX ⋅ 1 ⋅ dX = = d X ⋅ ( F T ⋅ F − 1) ⋅ d X = 2 d X ⋅ E ⋅ d X  (2.20) def = 2E La ecuación (2.20) define implícitamente el denominado tensor material de deformación o tensor de deformación de Green-Lagrange como: 1 ⎧ Tensor material E( X, t ) = (F T ⋅ F − 1) ⎪⎪ 2 de deformació n →⎨ ⎪E ( X, t ) = 1 ( F F − δ ) i, j ∈{1,2,3} (Green - Lagrange) ij ki kj ij 2 ⎩⎪ (2.21) Observación 2-3 El tensor material de deformación E es simétrico. La demostración se obtiene directamente de la ecuación (2.21) observando que: 1 T 1 T ⎧ T 1 T T T T T ⎪E = (F ⋅ F − 1) = (F ⋅ (F ) − 1 ) = (F ⋅ F − 1) = E 2 2 2 ⎨ ⎪E ij = E ji i, j ∈{1,2,3} ⎩ 2.4.2 Tensor espacial de deformación (tensor de deformación de Almansi) Restando de forma alternativa las expresiones (2.18) y (2.19) se obtiene: (ds )2 − (dS )2 = dx ⋅ dx − dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx = dx ⋅ 1 ⋅ dx − dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx −T −1 ) d 2d d 1 = dx ⋅ ( − ⋅ F F   ⋅ x = x⋅e⋅ x (2.22) def = 2e La ecuación (2.22) define implícitamente el denominado tensor espacial de deformación o tensor de deformación de Almansi como: ⎧e( x, t ) = 1 (1 − F −T ⋅ F −1 ) Tensor espacial ⎪⎪ 2 de deformación → ⎨ ⎪e (x, t ) = 1 (δ − F −1 F −1 ) i, j ∈{1, 2,3} (Almansi) ij ki kj ⎪⎩ ij 2 (2.23) 32 2 Descripción de la deformación Observación 2-4 El tensor espacial de deformación e es simétrico. La demostración se obtiene directamente de la ecuación (2.23) observando que: 1 T ⎧ T 1 −T −1 T −1 T −T T ⎪e = 2 (1 − F ⋅ F ) = 2 (1 − (F ) ⋅ (F ) ) = ⎪ 1 ⎪ −T −1 ⎨ = (1 − F ⋅ F ) = e 2 ⎪ ⎪eij = e ji i, j ∈{1,2,3} ⎪ ⎩ Observación 2-5 Los tensores material E y espacial e de deformación son tensores distintos y no se trata de la descripción material y espacial de un mismo tensor de deformación. Las expresiones (2.20) y (2.22): (ds )2 − (dS )2 = 2 dX ⋅ E ⋅ dX = 2 dx ⋅ e ⋅ dx lo ponen de manifiesto puesto que ambos tensores vienen afectados por distintos vectores ( dX y dx respectivamente). El tensor de deformación de Green-Lagrange viene descrito naturalmente en descripción material ( E( X, t ) ). En la ecuación (2.20) actúa sobre el elemento dX (definido en la configuración material) y de ahí su denominación de tensor material de deformación. Sin embargo, como toda propiedad de medio continuo puede describirse, si es necesario, también en forma espacial ( E(x, t ) ) mediante la adecuada substitución de las ecuaciones de movimiento. Con el tensor de deformación de Almansi ocurre lo contrario: viene descrito naturalmente en forma espacial y en la ecuación (2.22) actúa sobre el vector diferencial (definido en la configuración espacial) dx y de ahí su denominación de tensor espacial de deformación. También puede ser descrito, si es conveniente, en forma material ( e( X, t ) ). Ejemplo 2-2 – Para el movimiento del Ejemplo 2-1, obtener los tensores material y espacial de deformación. 1 2 a) Tensor material de deformación: E = (F T ⋅ F − 1) = ⎡ A2 − A2 0 − A⎤ ⎡ 1 0 − A⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎫ ⎧⎡ 1 1 ⎪⎢ 1 ⎢ ⎪ 1 = ⎨⎢ 0 A ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ 0 1 − A⎥⎥ − ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎬ = ⎢− A 2 A2 2⎪ 2 ⎪ ⎢− 2 A 0 ⎩⎣⎢− A − A 1 ⎦⎥ ⎣⎢− A A 1 ⎦⎥ ⎣⎢0 0 1⎦⎥ ⎭ ⎣ − 2 A⎤ ⎥ 0 ⎥ 2 A 2 ⎥⎦ 33 2 Descripción de la deformación 1 2 b) Tensor espacial de deformación: e = (1 − F −T ⋅ F −1 ) = ⎧⎡1 0 0⎤ ⎡1 + A 2 A2 ⎪ 1 ⎢ = ⎨⎢⎢0 1 0⎥⎥ − ⎢ − A 2 1 − A 2 2⎪ ⎢0 0 1⎥⎦ ⎢ A A ⎣ ⎩⎣ ⎡− 3 A 2 − 2 A 4 1⎢ 2 = ⎢ A + 2 A4 2 ⎢ − 2 A − 2 A3 ⎣ A ⎤ ⎡1 + A 2 − A 2 ⎥ ⎢ 1 − A2 − A⎥ ⋅ ⎢ A 2 1 ⎥⎦ ⎢⎣ A −A A2 + 2 A4 A2 − 2 A4 2 A3 A⎤ ⎫ ⎥⎪ A⎥ ⎬ = 1 ⎥⎦ ⎪ ⎭ − 2 A − 2 A3 ⎤ ⎥ 2 A3 ⎥ − 2 A 2 ⎥⎦ (Obsérvese que E ≠ e ). 2.4.3 Expresión de los tensores de deformación en términos de los (gradientes de los) desplazamientos Substituyendo las expresiones (2.12) ( F = 1 + J ) y (2.15) ( F −1 = 1 − j ) en las ecuaciones (2.21) y (2.23) se obtienen las expresiones de los tensores de deformación en función del gradiente material, J ( X, t ) , y espacial, j( x, t ) , de los desplazamientos: [ ] [ ] 1 1 ⎧ T T T ⎪E = 2 (1 + J ) ⋅ (1 + J ) − 1 = 2 J + J + J ⋅ J ⎪ E( X, t ) → ⎨ ⎡ ∂U j ∂U k ∂U k ⎤ ⎪E ij = 1 ⎢ ∂U i + + ⎥ i, j ∈{1, 2,3} ⎪ 2 ⎢⎣ ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j ⎥⎦ ⎩ [ ] [ (2.24) ] 1 ⎧ 1 T T T ⎪e = 2 1 − (1 − j ) ⋅ (1 − j) = 2 j + j − j ⋅ j ⎪ e ( x, t ) → ⎨ ⎤ ⎡ ∂u ⎪eij = 1 ⎢ ∂u i + j − ∂u k ∂u k ⎥ i, j ∈{1, 2,3} ⎪ 2 ⎣⎢ ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j ⎦⎥ ⎩ (2.25) 2.5 Variación de las distancias: Estiramiento. Alargamiento unitario Consideremos ahora una partícula P en la configuración de referencia y otra partícula Q , situada en un entorno diferencial de P, ver Figura 2-4. Las correspondientes posiciones en la configuración actual vienen dadas por los puntos del espacio P ' y Q ' de tal forma que las distancia entre ambas partículas en la configuración de referencia, dS , se transforma en ds en el instante actual. Sean T y t sendos vectores unitarios en las direcciones PQ y P ′Q ′ , respectivamente. 34 2 Descripción de la deformación Definición: Estiramiento: en el punto material P (o en el punto espacial P ′ ) en la dirección material T (o en la dirección espacial t ) es la longitud del segmento diferencial deformado P ′Q ′ por unidad de longitud del segmento diferencial original PQ . t0 X3 P t dX dS Q P´ T X dx ds x Q´ t X2 X1 Figura 2-4 – Estiramiento y alargamiento unitario La traducción a lenguaje matemático de la anterior definición es: def Estiramien to N O T A C I Ó N Frecuentemente se prescindirá de los subíndices (•) T o (•) t al referirse a los estiramientos o alargamientos unitarios. Téngase bien presente, sin embargo, que siempre están asociados a una dirección determinada. = λT = λt = P´Q´ ds = PQ dS (0 < λ < ∞ ) (2.26) Definición: Alargamiento unitario: en el punto material P (o en el punto espacial P ′ ) en la dirección material T (o en la dirección espacial t ) es el incremento de longitud del segmento diferencial deformado P`Q` por unidad de longitud del segmento diferencial original PQ . y la correspondiente definición matemática: def Alargamiento unitario = εT = εt = Δ PQ PQ = ds − dS dS (2.27) Las ecuaciones (2.26) y (2.27) permite relacionar inmediatamente los valores del alargamiento unitario y del estiramiento para un mismo punto y dirección como: ε= ds − dS ds = −1 = λ −1 dS dS  λ ( ⇒ −1 < ε < ∞) (2.28) 2 Descripción de la deformación 35 Observación 2-6 • Si λ = 1 (ε = 0) ⇒ ds = dS : Las partículas P y Q pueden haberse movido relativamente con el tiempo, pero sin aumentar ni disminuir la distancia entre ellas. • Si λ > 1 (ε > 0) ⇒ ds > dS : La distancia entre las partículas P y Q se ha alargado con la deformación del medio. • Si λ < 1 (ε < 0) ⇒ ds < dS : La distancia entre las partículas P y Q se ha acortado con la deformación del medio. 2.5.1 Estiramientos, alargamientos unitarios y los tensores de deformación Considerando las ecuaciones (2.20) y (2.22) y las expresiones geométricas dX = T dS y dx = t ds , ver Figura 2-4, se puede escribir: 2 ⎧(ds )2 − (dS )2 = 2 d X ⋅ E ⋅ d X = 2(dS ) T ⋅ E ⋅ T ⎪⎪ dS T dS T ⎨ 2 2 2 ⎪(ds ) − (dS ) = 2 dx ⋅ e ⋅ dx = 2(ds ) t ⋅ e ⋅ t ds t ds t ⎩⎪ (2.29) y dividiendo ambas ecuaciones por (dS ) 2 y (ds ) 2 , respectivamente, se obtiene: 2 ds ( ) − 1 = λ2 − 1 = 2 T ⋅ E ⋅ T ⇒ dS  λ 2 1− ( dS ) = 1 − (1 / λ) 2 = 2 t ⋅ e ⋅ t ⇒ ds  1/ λ ⎧⎪λ = 1 + 2 T ⋅ E ⋅ T ⎨ ⎪⎩ε = λ − 1 = 1 + 2 T ⋅ E ⋅ T − 1 (2.30) 1 ⎧ ⎪λ = 1− 2t⋅e⋅t ⎪ ⎨ 1 ⎪ε = λ − 1 = −1 ⎪ 1− 2t ⋅e ⋅ t ⎩ (2.31) expresiones que permiten calcular el alargamiento unitario y el estiramiento según una dirección (material, T o espacial, t ) determinada. Observación 2-7 Los tensores material y espacial de deformación E( X, t ) y e( x, t ) contienen información sobre los estiramientos (y los alargamientos unitarios) para cualquier dirección en un entorno diferencial de un partícula dada, tal como ponen de manifiesto las ecuaciones (2.30) y (2.31). 36 2 Descripción de la deformación Ejemplo 2-3 – El tensor espacial de deformación para un cierto movimiento es: ⎡ 0 0 − te tz ⎤ ⎢ ⎥ 0 0 e(x, t ) = ⎢ 0 ⎥ ⎢− te tz 0 t (2e tz − e t ) ⎥ ⎣ ⎦ Calcular la longitud, en el instante t = 0 del segmento que en el instante t = 2 es rectilíneo y une los puntos a ≡ (0,0,0) y b ≡ (1,1,1) . Se conoce la forma y posición geométrica del segmento material en el instante t = 2 . En el instante t = 0 (instante de referencia) el segmento no es necesariamente rectilíneo y no se conocen las posiciones de sus extremos A y B (ver Figura 2-5). Para conocer su longitud hay que aplicar la ecuación (2.31): λ= 1 1− 2t ⋅e⋅t = t=0 z ds dS ⇒ dS = 1 ds λ t =2 z B ds dS t b(1,1,1) A a(0,0,0) y y x x Figura 2-5 para un vector de dirección en la configuración espacial t de valor: t= 1 3 [1, 1, 1]T obteniéndose: ⎡ 0 0 − te tz ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ 0 t ⋅e⋅t = [1 1 1]⋅ ⎢ 0 0 ⎥ ⋅ ⎢1⎥ 3 tz tz t ⎢− te 0 t ( 2e − e )⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎣ 1 1 ⇒ λ= ⇒ λ t =2 = = 2 4 1 + te t 1 + e2 3 3 B b1 b 1 1 1 3 ⇒ ⇒ l AB = ∫ dS = ∫ ds = ∫ ds = l ab = A aλ a λ λ λ lab 1 1 1 = − te t 3 3 3 3 + 4e 2 l AB = 3 + 4e 2 2.6 Variación de ángulos Consideremos ahora una partícula P y otras dos partículas Q y R , situadas en un entorno diferencial de P en la configuración material, ver Figura 2-6, y las 37 2 Descripción de la deformación mismas partículas ocupando las posiciones espaciales P ' , Q ' y R ' . Se plantea ahora la relación entre los ángulos que forman los correspondientes segmentos diferenciales en la configuración de referencia (ángulo Θ ), y en la configuración actual (ángulo θ ). A partir de las ecuaciones (2.2)y (2.6), aplicadas a los vectores diferenciales que separan las partículas puede escribirse, ⎧⎪dx (1) = F ⋅ dX (1) ⎨ (2 ) ⎪⎩dx = F ⋅ dX (2 ) ⎧⎪dX (1) = F −1 ⋅ dx (1) ⇒ ⎨ () ⎪⎩dX 2 = F −1 ⋅ dx (2 ) (2.32) y por la propia definición de los vectores unitarios T (1) , T (2 ) , t (1 ) y t (2 ) que definen las correspondientes direcciones en la Figura 2-6: ⎧⎪dX (1) = dS (1) T (1) ⎨ (2 ) ⎪⎩dX = dS (2 ) T (2 ) ⎧⎪dx (1) = ds (1) t (1) ⎨ (2 ) ⎪⎩dx = ds (2 ) t (2 ) (2.33) t t0 T (2 ) X3 R dS (2 ) P Θ dS (1) Q X t (2 ) R´ ds (2 ) θ P´ ds (1 ) Q´ T (1) x t (1 ) X2 X1 Figura 2-6 y, finalmente, por la definición (2.26) de los correspondientes estiramientos: ⎧ (1) 1 (1 ) ⎪⎪dS = λ(1) ds ⎧⎪ds (1) = λ(1 ) dS (1) ⎨ (2 ) (2 ) (2 ) ⇒ ⎨ ⎪⎩ds = λ dS ⎪dS (2 ) = 1 ds (2 ) λ(2 ) ⎩⎪ (2.34) Planteando ahora el producto escalar de los vectores dx (1) ⋅ dx (2 ) : [ ] ⋅ [dx ( ) ]= ds (1) ds (2 ) cos θ = dx (1 ) ⋅ dx (2 ) cos θ = dx (1 ) ⋅ dx (2 ) = dx (1) [ = F ⋅ dX (1 ) T 2 ] ⋅ [F ⋅ dX ( ) ]= dX ( ) ⋅ (F ⋅F )⋅ dX ( ) = T 2 1 T 2 2E+1 1 1 = dS (1) T (1 ) ⋅ (2E + 1) ⋅ T (2 ) dS (2 ) = (1) ds (1) T (1 ) ⋅ ( 2E + 1) ⋅ T (2 ) (2 ) ds (2 ) = λ λ 1 1 = ds (1 )ds (2 ) (1) (2 ) T (1) ⋅ ( 2E + 1) ⋅ T (2 ) λ λ y comparando los términos inicial y final de la ecuación (2.35) se obtiene: (2.35) 38 2 Descripción de la deformación cos θ = T (1) ⋅ (1 + 2E) ⋅ T (2 ) λ(1) λ(2 ) (2.36) donde los estiramientos λ(1) y λ(2 ) pueden obtenerse aplicando la expresión (2.30) a las direcciones T (1) y T (2 ) llegándose a: cos θ = T (1 ) ⋅ (1 + 2E) ⋅ T (2 ) 1 + 2 T (1) ⋅ E ⋅ T (1) (2.37) 1 + 2 T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) De un modo análogo, operando en la configuración de referencia, puede obtenerse el ángulo Θ entre los segmentos diferenciales dX (1) y dX ( 2) (en función de t (1) , t (2 ) y e ) como: cos Θ = t (1) ⋅ (1 − 2e ) ⋅ t (2 ) 1 − 2 t (1) ⋅ e ⋅ t (1 ) (2.38) 1 − 2 t (2 ) ⋅ e ⋅ t (2 ) Observación 2-8 De forma similar a lo comentado en la Observación 2-7 los tensores material y espacial de deformación, E( X, t ) y e( x, t ) , también contienen información sobre las variaciones de los ángulos entre segmentos diferenciales, en el entorno de una partícula, durante el proceso de deformación. Estos hechos serán la base para proporcionar una interpretación física de las componentes de los tensores de deformación en el apartado 2.7 . 2.7 Interpretación física de los tensores de deformación 2.7.1 Tensor material de deformación Considérese un segmento PQ , orientado paralelamente al eje X 1 en la configuración de referencia (ver Figura 2-7). Antes de la deformación PQ tiene una longitud conocida dS = dX . X 3 ,Z t0 dS T P dX Q T (1) = eˆ 1 X 2 ,Y X1, X Figura 2-7 (1) ⎧1⎫ ⎪ ⎪ ≡ ⎨0⎬ ⎪0⎪ ⎩ ⎭ ⎧dS ⎫ ⎪ ⎪ dX ≡ ⎨ 0 ⎬ ⎪0⎪ ⎩ ⎭ 2 Descripción de la deformación 39 Se pretende conocer la longitud de P´Q´ después de la deformación. Para ello consideremos el tensor material de deformación E dado por sus componentes: ⎡ E XX E = ⎢⎢ E XY ⎢⎣ E XZ E XY EYY EYZ E XZ ⎤ ⎡ E11 EYZ ⎥⎥ = ⎢⎢ E12 E ZZ ⎥⎦ ⎢⎣ E13 E12 E 22 E 23 E13 ⎤ E 23 ⎥⎥ E 33 ⎥⎦ (2.39) En consecuencia: T ⋅ E ⋅ T = [T] T ⎡ E11 ⋅ [E]⋅ T = [1 0 0]⋅ ⎢⎢ E12 ⎢⎣ E13 E12 E 22 E 23 E13 ⎤ ⎡1⎤ E 23 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢0⎥⎥ = E11 E 33 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ (2.40) El estiramiento en la dirección material X 1 puede obtenerse ahora sustituyendo el valor T ⋅ E ⋅ T en la expresión del estiramiento (2.30), obteniéndose: λ1 = 1 + 2 E11 . De modo análogo se pueden considerar segmentos orientados en las direcciones X 2 ≡ Y y X 3 ≡ Z y obtener los valores λ 2 y λ 3 , resultando: λ 1 = 1 + 2 E11 = 1 + 2 E XX ⇒ ε X = λ X − 1 = 1 + 2 E XX − 1 λ 2 = 1 + 2 E 22 = 1 + 2 EYY ⇒ ε Y = λ Y − 1 = 1 + 2 EYY − 1 λ 3 = 1 + 2 E 33 = 1 + 2 E ZZ ⇒ ε Z = λ Z − 1 = 1 + 2 E ZZ − 1 (2.41) Observación 2-9 En las componentes E XX , EYY y E ZZ (o E11 , E 22 y E 33 ) de la diagonal principal del tensor E (denominadas deformaciones longitudinales) está contenida la información sobre el estiramiento y los alargamientos unitarios de segmentos diferenciales inicialmente (en la configuración de referencia) orientados en direcciones X , Y y Z . • Si E XX = 0 ⇒ ε X = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección X . • Si EYY = 0 ⇒ ε Y = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección Y . • Si E ZZ = 0 ⇒ ε Z = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección Z . Consideremos ahora el ángulo entre los segmentos PQ (paralelo al eje X 1 ) y PR , (paralelo al eje X 2 ) siendo Q y R , dos partículas del entorno diferencial de P en la configuración de material y P ′, Q ′ y R ′ las respectivas posiciones π ) entre 2 los segmentos en la configuración de referencia es posible conocer el ángulo θ en la configuración espacial(ver Figura 2-8). Conocido el ángulo ( Θ = en la configuración actual, utilizando la expresión (2.37) y teniendo en cuenta la ortogonalidad de ambos ( T (1 ) ⋅ T (2 ) = 0 ) y las igualdades T (1 ) ⋅ E ⋅ T (1) = E11 , T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) = E 22 y T (1 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) = E12 , 40 2 Descripción de la deformación cos θ = T (1) ⋅ (1 + 2E)⋅ T (2 ) (1) 1+ 2 T ⋅E⋅T (1 ) 1+ 2 T (2 ) ⋅E ⋅T (2 ) = 2 E12 1 + 2 E 11 (2.42) 1 + 2 E 22 o lo que es lo mismo: θ ≡ θ xy = 2 E XY π − arcsin 2 1 + 2 E XX 1 + 2 E YY (2.43) y el incremento del ángulo final respecto a su valor inicial resulta: 2 E XY ΔΘ XY = θ xy − Θ XY = −arcsin  1 + 2 E XX 1 + 2 E YY π 2 X3, Z t0 t P Q R T (2 ) P´ π2 T (1 ) T (2 ) R´ θ = θ xy Q´ T (2.44) (1 ) ⎧1⎫ ⎪ ⎪ = ⎨0⎬ ⎪0⎪ ⎩ ⎭ ⎧0⎫ ⎪ ⎪ = ⎨1 ⎬ ⎪0⎪ ⎩ ⎭ X 2 ,Y Figura 2-8 X1, X Resultados análogos se obtienen partiendo de pares de segmentos orientados según las distintos ejes de coordenadas llegándose a: ΔΘ XY = − arcsin 2 E XY 1 + 2 EXX 1 + 2 EYY ΔΘ XZ = − arcsin 2 E XZ 1 + 2 EXX 1 + 2 EZZ ΔΘYZ = −arcsin 2 EYZ 1 + 2 EYY 1 + 2 EZZ Observación 2-10 En las componentes E XY , E XZ y EYZ (o E12 , E13 y E 23 ) del tensor E (denominadas deformaciones transversales) está contenida la información sobre la variación de los ángulos entre segmentos diferenciales inicialmente (en la configuración material) orientados en las direcciones X , Y y Z . • Si E XY = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones X e Y . • Si E XZ = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones X y Z . • Si EYZ = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones Y y Z . (2.45) 41 2 Descripción de la deformación En la Figura 2-9 se presenta la interpretación física de las componentes del tensor material de deformación sobre un paralelepípedo elemental en el entorno de una partícula P con aristas orientadas según los ejes coordenados. t F t0 dx (3 ) X3, Z S dX dX (1) P´ (3 ) P dX 1 + 2 E XX dX S´ (2) Q´ 2 θ yz dx ( ) θ xz θ xy dx (1) Q 1 + 2 EZZ dZ ê 3 X 2 ,Y R R´ 1 + 2 EYY dY ê 2 ê1 ΔΘ ΔΘ X1, X XY XZ = − arcsin = −arcsin ΔΘ = − arcsin YZ 2 E XY 1 + 2 E XX 1 + 2 EYY 2 E XZ 1 + 2 E XX 1 + 2 E ZZ 2 EYZ 1 + 2 EYY 1 + 2 E ZZ Figura 2-9 – Interpretación física del tensor material de deformación 2.7.2 Tensor espacial de deformación Argumentos parecidos a los de la sección 2.7.1 permiten interpretar a su vez las componentes del tensor espacial deformación: ⎡e xx ⎢ e ≡ ⎢e xy ⎢e xz ⎣ e xz ⎤ ⎡e11 ⎥ e yz ⎥ = ⎢⎢e12 e zz ⎥⎦ ⎢⎣e13 e xy e yy e yz e12 e 22 e23 e13 ⎤ e 23 ⎥⎥ e33 ⎥⎦ (2.46) Las componentes de la diagonal principal (deformaciones longitudinales) pueden interpretarse en función de los estiramientos y alargamientos unitarios de segmentos diferenciales orientados según los ejes coordenados en la configuración actual o deformada: λ1 = λ2 = λ3 = 1 1 − 2e11 1 1 − 2e 22 1 1 − 2e33 = = = 1 1 − 2e xx 1 1 − 2e yy 1 1 − 2e zz ⇒ εx = ⇒ εy = ⇒ εz = 1 1 − 2e xx 1 1 − 2e yy 1 1 − 2e zz −1 −1 (2.47) −1 mientras que las componentes de fuera de la diagonal principal (deformaciones transversales) contienen información sobre la variación de ángulos entre 42 2 Descripción de la deformación segmentos diferenciales orientados según los ejes coordenados en la configuración actual o deformada: Δθ xy = 2e xy π − Θ XY = − arcsin 2 1 − 2 e xx 1 − 2 e yy Δθ xz = 2e xz π − Θ XZ = − arcsin 2 1 − 2 e xx 1 − 2 e zz Δθ yz = 2e yz π − Θ YZ = − arcsin 2 1 − 2 e yy 1 − 2 e zz (2.48) El resumen de la correspondiente interpretación física se presenta en la Figura 2-10: 1 − 2e xx dx t0 F −1 S dX (3 ) P Θ XZ t (2 ) ΘYZ dX S′ R 1 − 2e zz dz Θ XY dX (1) Δθ Δθ Δθ xy xz yz = − arcsin = − arcsin = − arcsin 2e xy 1 − 2 exx R′ ê 2 x2,y x1 , x 2e xz 1 − 2exx dx ( 2 ) Q′ ê 3 ê1 1 − 2eyy dx ( 3) dx (1) P ′ 1 − 2e yy dy Q x3, z 1 − 2ezz 2e yz 1 − 2eyy 1 − 2 ezz Figura 2-10 – Interpretación física del tensor espacial de deformación 2.8 Descomposición polar R E C O R D A T O R I O Un tensor de segundo orden Q es ortogonal si se verifica: Q T ⋅ Q = Q ⋅ QT = 1 El teorema de descomposición polar del análisis tensorial establece que dado un tensor de segundo orden F tal que F > 0 , existen un tensor ortogonal Q , y dos tensores simétricos U y V : ⎫ ⎪ not ⎪⎪ T V = F⋅F ⎬ ⎪ Q = F ⋅ U −1 = V −1 ⋅ F ⎪ ⎪⎭ not U = FT ⋅ F ⇒ F =Q⋅U = V⋅Q (2.49) La descomposición (2.49) es única para cada tensor F y se denomina descomposición polar por la izquierda ( F = Q ⋅ U ) o descomposición polar por la derecha ( F = V ⋅ Q ) y a los tensores U y V tensores derecho e izquierdo de estiramiento, respectivamente. 43 2 Descripción de la deformación N O T A Para obtener la raíz cuadrada de un tensor se procede a diagonalizar el tensor, se obtiene la raíz cuadrada de los elementos de la diagonal de la matriz de componentes diagonalizada y se deshace la diagonalización. Observación 2-11 Un tensor ortogonal Q recibe el nombre de tensor de rotación y a la aplicación y = Q ⋅ x se la denomina rotación. Una rotación tiene las siguientes propiedades: • Cuando se aplica a cualquier vector x , el resultado es un vector y = Q ⋅ x del mismo módulo: y 2 T = y ⋅ y = [y ] ⋅ [y ] = [Q ⋅ x ] ⋅ [Q ⋅ x] = x ⋅ Q Q⋅x= x⋅x= x ⋅ T T 2 1 • El resultado de multiplicar (aplicar) el tensor ortogonal Q a dos vectores x (1) y x ( 2 ) con el mismo origen y que forman entre sí un ángulo α , mantiene el mismo ángulo entre las imágenes ( y (1) = Q ⋅ x (1) e y ( 2) = Q ⋅ x ( 2) ): y (1) ⋅ y ( 2 ) y (1) y ( 2 ) = x (1) ⋅ QT ⋅ Q ⋅ x ( 2 ) y (1) y ( 2 ) = x (1) ⋅ x ( 2 ) x (1) x ( 2 ) = cos α En consecuencia la aplicación (rotación) y = Q ⋅ x mantiene los ángulos y las distancias. Considerando ahora el tensor gradiente de la deformación y la relación fundamental (2.2) ( dx = F ⋅ dX ) y la descomposición polar (2.49) se obtiene: N O T A C I O N Se utiliza aquí la notación ( ) para indicar la composición de dos aplicaciones ξyϕ: deformació n    rotación  dx = F ⋅ dX = (V ⋅ Q ) ⋅ dX = V ⋅ ( Q ⋅ dX ) F(•) ≡ deformació n not (2.50) rotación (•) z = ϕ ξ (x) rotación    deformació  n dx = F ⋅ dX = (Q ⋅ U ) ⋅ dX = Q ⋅ ( U ⋅ dX ) F(•) ≡ rotación deformació n (•) Observación 2-12 Las ecuaciones (2.50) establecen que el movimiento relativo en el entorno de una partícula durante el proceso de deformación (caracterizado por el tensor F ) puede entenderse como la composición de una rotación (caracterizada por el tensor de rotación Q , que mantiene ángulos y distancias) y una deformación propiamente dicha (que modifica ángulos y distancias) caracterizada por el tensor V (ver Figura 2-11). (2.51) 44 2 Descripción de la deformación Observación 2-13 • Alternativamente las ecuaciones (2.51) permiten caracterizar el movimiento relativo en el entorno de una partícula durante el proceso de deformación como la superposición de una deformación propiamente dicha (caracterizada por el tensor U ) y una rotación (caracterizada por el tensor de rotación Q ). • Un movimiento de sólido rígido es un caso particular de deformación caracterizado por U = V = 1 y Q = F . F X3 t0 Q ⋅ dX P' Rotación P dX t dX Rotación ê 3 ê1 Deformación dx = V ⋅ Q ⋅ dX dx = Q ⋅ V ⋅ dX ê 2 X2 V ⋅ dX P' X1 F Deformación dX Figura 2-11 – Descomposición polar 2.9 Variación de volumen Consideremos una partícula P del medio continuo en la configuración de referencia, ( t = 0 ) que tiene asociado un volumen diferencial dV0 (ver Figura 212) que queda caracterizado mediante las posiciones de otras tres partículas Q , R y S de su entorno diferencial, alineadas con P según tres direcciones arbitrarias. El diferencial de volumen dVt , asociado a la misma partícula en la configuración actual (a tiempo t ), quedará asimismo caracterizado por las correspondientes puntos espaciales P ′ , Q ′ , R ′ y S ′ de la figura (cuyas posiciones configurarán un paralelepípedo que ya no está orientado según los ejes coordenados como ocurre en la configuración material). Sean dX (1) , dX ( 2) y dX (3) los vectores de posición relativos entre partículas en la configuración material, y dx (1) = F ⋅ dX (1) , dx ( 2) = F ⋅ dX ( 2) y dx (3) = F ⋅ dX (3) sus homólogos en la configuración espacial. Evidentemente se cumplen las relaciones: 45 2 Descripción de la deformación ⎧⎪dx (i ) = F ⋅ dX (i ) ⎨ (i ) (i ) ⎪⎩dx j = F jk ⋅ dX k R E C O R D A T O R I O El volumen de un paralelepípedo puede calcularse como el producto mixto (a × b) ⋅ c de los vectores-arista a , b y c que concurren en cualquiera de sus vértices. Por otra parte, el producto mixto de tres vectores es el determinante de la matriz constituida por las componentes de dichos vectores ordenadas en filas (2.52) i, j, k ∈{1,2,3} Los volúmenes asociados a la partícula en ambas configuraciones pueden escribirse como: ( ) dV0 = dX (1) × dX (2 ) ⋅ dX (3) ( dVt = dx (1) × dx (2 ) )⋅ dx (3 ) ⎡ dX 1(1) dX 2(1) dX 3(1) ⎤ ⎢ ⎥ = det ⎢dX 1(2 ) dX 2(2 ) dX 3(2 ) ⎥ = M ⎢ dX 1(3 ) dX 2(3 ) dX 3(3 ) ⎥ ⎣   ⎦ = [M ] ⎡ dx1(1) ⎢ det ⎢dx1(2 ) ⎢dx (3 ) ⎣ 1 dx 2(1) dx 3(1) ⎤ ⎥ dx 2(2 ) dx 3(2 ) ⎥ = m dx 2(3 ) dx 3(3 ) ⎥⎦   [m ] M ij = dX (ji ) mij = dx (ji ) t X 3 , x3 F S′ t0 dV0 P´ S dX (1) P (2.53) dx (3 ) R´ dx(2 ) dx(1) dX(3 ) ê 3 R dX(2 ) Q ê1 Q´ dVt ê 2 X 2 , x2 X 1 , x1 Figura 2-12 – Variación de un elemento diferencial de volumen Por otro lado, considerando las expresiones (2.52) y (2.53) puede escribirse: mij = dx (ji ) = F jk dX k(i ) = F jk M ik = M ik FkjT ⇒ m = M ⋅ FT (2.54) y, en consecuencia: N O T A Se utilizan aquí las expresiones: A⋅B = A B y AT = A ⎫ ⎪⎪ ⎬⇒ 0 ⎪ dVt = dV ( x( X, t ), t ) = F ( X, t ) dV ( X,0) = F t dV 0 ⎪⎭ dVt = m = M ⋅ F T = M F T = F M = F dV 0  dV dVt = F t dV0 (2.55) 46 2 Descripción de la deformación 2.10 Variación del área Consideremos ahora el diferencial de área dA asociado a una partícula P en la configuración de referencia y su variación a lo largo del tiempo. Para definir dicho diferencial de área, consideraremos dos partículas Q y R del entorno diferencial de P , cuyas posiciones relativas respecto a la misma son dX (1) y dX (2 ) (ver Figura 2-13). Consideremos también una partícula auxiliar cualquiera S y su vector de posición relativo dX (3) . Asociado al escalar diferencial de área, dA , definiremos el vector diferencial de área dA = dA N cuyo módulo es dA y cuya dirección es la de la normal N . En la configuración actual, en el tiempo t , la partícula ocupará un punto espacial P ′ , y tendrá asociado un diferencial de área da que, a su vez, define un vector diferencial de área da = da n , donde n es la correspondiente normal. Consideremos también las posiciones de las demás partículas Q ′ y R ′ y S ′ y sus vectores de posición relativos dx (1) , dx (2 ) y dx (3 ) . n t0 X 3 , x3 N . dA dX(1) dh P´ dX(3 ) 2 ( ) P dX R ê 3 da = n da S´ dx (3) dx ( 2) F dA = N dA S dH . t dx (1) ê 2 da Q´ X 2 , x2 ê1 Q R´ X 1 , x1 Figura 2-13 – Variación del área Los volúmenes dV0 y dVt de los respectivos paralelepípedos podrán calcularse como: (3 ) ⋅ dA = d (3 ) ⋅ dA = d ⋅ d (3 ) dV0 = dH dA = d X N X N A X     dH dA (3 ) dVt = dh da = d da = da ⋅ dx (3 ) ⋅ n da = dx (3 ) ⋅ n x    dh da N O T A Se tiene en cuenta aquí el siguiente teorema del álgebra tensorial: dados dos vectores a y b , si se cumple que a ⋅ x = b ⋅ x para todo vector x ⇒ a = b . (2.56) y teniendo en cuenta que dx (3) = F ⋅ dX (3 ) , así como la ecuación de cambio de volumen (2.55), puede escribirse: da ⋅ F ⋅ dX (3 ) = da ⋅ dx (3 ) = dVt = F dV 0 = F dA ⋅ dX (3 ) ∀dX (3 ) (2.57) Comparando el primer y último término de (2.57), y teniendo en cuenta que la posición relativa de la partícula S es cualquiera ( y por tanto también lo es el vector dX ( 3) ), se llega finalmente a: da ⋅ F = F dA ⇒ da = F dA ⋅ F −1 (2.58) 2 Descripción de la deformación 47 Para obtener una relación entre los escalares diferencial de área dA y da se sustituyen las expresiones dA = N dA y da = n da en la ecuación (2.58) y se toman módulos: da n = F N ⋅ F −1 dA ⇒ da = F N ⋅ F −1 dA (2.59) 2.11 Deformación infinitesimal La teoría de la deformación infinitesimal (también denominada teoría de pequeñas deformaciones) se basa en dos hipótesis simplificativas sobre la teoría general (o de deformación finita) vista en apartados anteriores (ver Figura 2-14). Hipótesis: 1) Los desplazamientos son muy pequeños frente a las dimensiones típicas del medio continuo ( u << X ). 2) Los gradientes de los desplazamientos son muy pequeños (infinitesimales). t t0 u P′ P X3,Z X x ê 2 X 2 ,Y ê3 ê1 X1, X Figura 2-14 En virtud de la primera hipótesis las configuraciones de referencia, Ω 0 y actual, Ω t , están muy próximas entre sí y se consideran indistinguibles una de otra. En consecuencia, las coordenadas materiales y espaciales coinciden y ya no tiene sentido hablar de descripciones material y espacial: not ⎧ ⎧x = X + u ≅ X ⎪U(X, t ) = u(X, t ) ≡ u(x, t ) ⇒⎨ ⎨ not ⎩ xi = X i + u i ≅ X i ⎪⎩U i (X, t ) = u i (X, t ) ≡ u i (x, t ) i ∈{1,2,3} (2.60) La segunda hipótesis puede escribirse matemáticamente como: ∂u i << 1, ∂x j ∀i, j ∈{1, 2,3} (2.61) 48 2 Descripción de la deformación 2.11.1 Tensores de deformación. Tensor de deformación infinitesimal Los tensores gradiente material y gradiente espacial de los desplazamientos coinciden. En efecto, a la vista de la ecuación (2.60): ⎧x j = X j ∂U i ∂u = J ij ⇒ j = J ⇒ jij = i = ⎨ ∂x j ∂X j ⎩u i (x, t ) = U i ( X, t ) (2.62) y el tensor material de deformación resulta ser: ( ) ( ) 1 1 ⎧ T T T ⎪E = 2 J + J + J J ≅ 2 J + J ⎪ ⎪ ⎨E = 1 ⎛⎜ ∂u i + ∂u j + ∂u k ∂u k ⎞⎟ ≅ 1 ⎛⎜ ∂u i + ∂u j ⎪ ij 2 ⎜ ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j ⎟ 2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎝ ⎪ ⎠ ⎪⎩ << 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (2.63) donde se ha tenido en cuenta el carácter de infinitésimo de segundo orden del término ∂u k ∂u k . Operando similarmente con el tensor espacial de ∂xi ∂x j deformación: ( ) ( ) ( ) 1 1 ⎧ 1 T T T T ⎪e = 2 j + j − j j ≅ 2 j + j = 2 J + J ⎪ ⎪ ⎨ ∂u j ∂u k ∂u k ⎞ 1 ⎛ ∂u i ∂u j ⎞ 1 ⎛ ∂u ⎟≅ ⎜ ⎟ ⎪eij = ⎜ i + − + 2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j ⎟⎠ 2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ ⎪  ⎪ << 1 ⎩ N O T A C I Ó N Se define el operador gradiente simétrico ∇ s mediante: ∇ s (•) = 1 [(•) ⊗ ∇ + ∇ ⊗ (•)] 2 (2.64) Las ecuaciones (2.63) y (2.64) permiten definir el tensor de deformación infinitesimal (o tensor de pequeñas deformaciones) ε : ( ) not 1 ⎧ T s Tensor de ⎪ε = 2 J + J = ∇ u ⎪ deformació n → ⎨ ⎡ ∂u ⎤ ⎪ε ij = 1 ⎢ ∂u i + j ⎥ infinitesi mal ⎪ 2 ⎢⎣ ∂x j ∂x i ⎥⎦ ⎩ Observación 2-14 Bajo la hipótesis de deformación infinitesimal los tensores material y espacial de deformación coinciden y colapsan en el tensor de deformación infinitesimal. E(x, t ) = e( x, t ) = ε (x, t ) (2.65) 2 Descripción de la deformación 49 Observación 2-15 El tensor de deformación infinitesimal es simétrico, tal como se observa de su definición en la ecuación (2.65): εȉ = ( 1 J + JT 2 ) T = ( ) 1 J + JT = ε 2 Observación 2-16 Las componentes del tensor infinitesimal de deformación ε son infinitésimos ( ε ij << 1 ). La demostración es evidente a partir de la ecuación (2.65) y la condición de infinitésimo de las componentes de J = j (ver ecuación (2.61)). Ejemplo 2-4 – Para el movimiento del Ejemplo 2-1, determinar bajo qué condiciones constituye un caso de deformación infinitesimal. Para dicho caso obtener el tensor infinitesimal de deformación. Comparar con el resultado obtenido a partir de los tensores espacial y material de deformación del Ejemplo 2-2 considerando las hipótesis de deformación infinitesimal. ⎧ x1 = X 1 − AX 3 ⎪ a) Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por ⎨ x 2 = X 2 − AX 3 de las ⎪ x = − AX + AX + X 1 2 3 ⎩ 3 cuales se obtiene el campo de desplazamientos: ⎧U 1 = − AX 3 ⎪ . Es evidente que para que U ( X , t ) = x − X ≡ ⎨ U 2 = − AX 3 ⎪ U = − AX + AX 1 2 ⎩ 3 los desplazamientos sean infinitesimales debe cumplirse que A sea un infinitésimo ( A << 1 ). b) Tensor de deformación: El tensor gradiente de los desplazamientos J ( X, t ) = j(x, t ) vendrá dado por: ⎡ − AX 3 ⎤ ⎢ ⎥⎡ ∂ , J = U⊗∇ = − AX 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣ ∂X 1 ⎢⎣− AX 1 + AX 2 ⎥⎦ ∂ , ∂X 2 ⎡ 0 0 − A⎤ ∂ ⎤ ⎢ = 0 0 − A⎥ ⎥ ∂X 3 ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣− A A 0 ⎥⎦ y el tensor infinitesimal de deformación, de acuerdo con la ecuación (2.65), será: ⎡ 0 0 − A⎤ ε=∇ U=⎢ 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣⎢− A 0 0 ⎥⎦ s c) Tensores material y espacial de deformación: En el Ejemplo 2-2 los tensores material y espacial de deformación resultan ser, respectivamente: 50 2 Descripción de la deformación ⎡ A2 − A2 1⎢ A2 E = ⎢− A 2 2 ⎢− 2 A 0 ⎣ ⎡− 3 A 2 − 2 A 4 1⎢ e = ⎢ A2 + 2 A 4 2 ⎢ − 2 A − 2 A3 ⎣ A2 + 2 A4 A2 − 2 A4 2 A3 y despreciando los infinitésimos ( A 4 << A3 << A 2 << A ) resulta: ⎡ 0 0 − A⎤ E = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ ⎢⎣− A 0 0 ⎥⎦ − 2 A⎤ ⎥ 0 ⎥ y 2 A 2 ⎥⎦ de − 2 A − 2 A3 ⎤ ⎥ 2 A3 ⎥ − 2 A 2 ⎥⎦ segundo orden o superior ⎡ 0 0 − A⎤ e = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ ⇒ E = e = ε ⎢⎣− A 0 0 ⎥⎦ 2.11.2 Estiramiento. Alargamiento unitario R E C O R D A T O R I O El desarrollo en serie de Taylor de 1 + x en un entorno de x = 0 es: 1+ x = 1+ + O (x 2 ) 1 x+ 2 Considerando la fórmula general (2.30) del estiramiento unitario en la dirección T ≅ t ( λ t = 1 + 2 t ⋅ E ⋅ t ) y aplicando al mismo un desarrollo en serie de Taylor alrededor de 0 (teniendo en cuenta que E = ε es infinitésimo y, por lo tanto también lo es x = t ⋅ ε ⋅ t ), se obtiene: λt = 1 + 2 t ⋅ ε ⋅ t ≅ 1 + t ⋅ ε ⋅ t    x εt = λ t − 1 = t ⋅ ε ⋅ t (2.66) 2.11.3 Interpretación física de las deformaciones infinitesimales Consideremos el tensor de deformaciones infinitesimales ε y sus componentes en el sistema de coordenadas x1 ≡ x , x 2 ≡ y , x 3 ≡ z de la Figura 2-15: ⎡ε xx ⎢ ε = ⎢ε xy ⎢ε xz ⎣ ε xy ε yy ε yz ε xz ⎤ ⎡ε11 ⎥ ε yz ⎥ ≡ ⎢⎢ε12 ε zz ⎥⎦ ⎢⎣ε 13 ε12 ε 22 ε 23 ε 13 ⎤ ε 23 ⎥⎥ ε 33 ⎥⎦ (2.67) Consideremos el segmento diferencial PQ orientado en la configuración de referencia en la dirección del eje coordenado x1 ≡ x . El estiramiento λx y el alargamiento unitario ε x en dicha dirección vienen dados, de acuerdo con la ecuación (2.66) con t = {1,0,0}T , por: λ x = 1 + t ⋅ ε ⋅ t = 1 + ε xx ⇒ ε x = λ − 1 = ε xx (2.68) Lo que permite dar a la componente ε xx ≡ ε11 el significado físico del alargamiento unitario ε x en la dirección del eje coordenado x1 ≡ x . Una interpretación similar puede darse a las demás componentes de la diagonal principal del tensor ε ( ε xx , ε yy , ε zz ). ε xx = ε x ; ε yy = ε y ; ε zz = ε z (2.69) 51 2 Descripción de la deformación Atendiendo ahora a las componentes de fuera de la diagonal principal de ε , consideremos los segmentos diferenciales PQ y PR orientados según las direcciones coordenadas x e y en la configuración de referencia y formando, por lo tanto, un ángulo Θ xy = π en dicha configuración. Aplicando la ecuación 2 (2.43), el incremento del ángulo correspondiente será: t0 t F x3, z S dx S′ P (1 + ε xx )dx R dz Θ xy = Q dy π 2 (1 + ε zz )dz ê 3 ê1 Q´ ê 2 x1 , x R E C O R D A T O R I O El desarrollo en serie de Taylor de arcsin x en un entorno de x = 0 es: ( ) arcsin x = x + O x 2 R´ P´ θ xy = π2 − 2ε xy (1 + ε )dy yy x2, y Figura 2-15 Δθ xy = θ xy − ε xy π = −2 arcsin ≅ −2 arcsin ε xy = −2ε xy  2 1 + 2ε xx 1 + 2ε yy ≈ε xy     ≈1 ≈1 (2.70) donde se ha tenido en cuenta el carácter infinitesimal de ε xx , ε yy y ε xy . En consecuencia, de la ecuación (2.70) ε xy puede interpretarse como menos el semiincremento, producido por la deformación, del ángulo entre dos segmentos diferenciales inicialmente orientados según las direcciones coordenadas x e y . Una interpretación análoga puede encontrarse para las demás componentes ε xz y ε yz : 1 ε xy = − Δθ xy 2 1 ; ε xz = − Δθ xz 2 1 ; ε yz = − Δθ yz 2 (2.71) 2.11.4 Deformaciones Ingenieriles. Vector de deformaciones ingenieriles Hay una importante tradición en ingeniería en usar una particular denominación para las componentes del tensor de deformación infinitesimal, lo que constituye la denominada notación ingenieril, en contraposición con la notación científica generalmente usada en Mecánica de Medios Continuos. Ambas notaciones se pueden sintetizar como sigue: 52 2 Descripción de la deformación notación ingenieril    1 1 ⎤ notación científica  ⎡ ε γ xy γ xz ⎥ ⎢ x 2 2 ⎡ ⎤ ε ε ε ε ε ε ⎡ 11 xx xy xz 12 13 ⎤ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢1 ε = ⎢⎢ε12 ε 22 ε 23 ⎥⎥ ≡ ⎢ε xy ε yy ε yz ⎥ ≡ ⎢ γ xy εy γ yz ⎥ 2 ⎢2 ⎥ 1 ⎣⎢ε13 ε 23 ε 33 ⎦⎥ ⎢⎣ε xz ε yz ε zz ⎥⎦ ⎢ 1 ⎥ εz ⎥ ⎢⎣ 2 γ xz 2 γ yz ⎦ (2.72) Observación 2-17 Las componentes del tensor de deformación situadas en la diagonal principal (denominadas deformaciones longitudinales) se denotan por ε (•) y coinciden con los alargamientos unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Valores positivos de las deformaciones longitudinales ( ε ( •) > 0 ) corresponden a un aumento de longitud de los correspondientes segmentos diferenciales en la configuración de referencia. Observación 2-18 Las componentes del tensor de deformación situadas fuera de la diagonal principal vienen caracterizadas por los valores γ (•,• ) (denominadas deformaciones tangenciales o de cizalladura) y pueden interpretarse como los decrementos de los correspondientes ángulos orientados según las direcciones cartesianas en la configuración de referencia. Valores positivos de las deformaciones tangenciales ( γ (•,• ) > 0 ) indican que los correspondientes ángulos se cierran con el proceso de deformación. Es también muy frecuente en ingeniería aprovechar la simetría del tensor de deformación infinitesimal (ver Observación 2-15) para trabajar únicamente con las seis componentes distintas de dicho tensor reuniéndolas en el denominado vector de deformaciones ingenieriles definido cómo: ε∈R6 def ε= ⎡ εx ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ y⎥ ⎢ εz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ γ xy ⎥ ⎢ γ xz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ γ yz ⎥⎦ ⎫ ⎪ ⎬ deformaciones longitudinales ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ deformaciones tangenciales, ⎬ ⎪ transversales o de cizalladura ⎭ (2.73) 2.11.5 Variación del ángulo entre dos segmentos diferenciales en deformación infinitesimal Consideremos dos segmentos diferenciales cualesquiera, PQ y PR , en la configuración de referencia y el ángulo Θ que definen (ver Figura 2-16). Sea θ = Θ + Δθ el ángulo formado por los correspondientes segmentos deformados 53 2 Descripción de la deformación en la configuración actual. Aplicando la ecuación (2.42) a dicho caso se obtiene: T (1) ⋅ [1 + 2ε ] ⋅ T ( 2 ) cos θ = cos( Θ + Δθ) = (1) (1) ( 2) ( 2) 1 + 2 T T ⋅ ε ⋅ T ⋅ ε ⋅ T   1 + 2   << 1 << 1 (2.74) donde T (1) y T ( 2) son los dos vectores unitarios en las direcciones de PQ y PR cumpliéndose, por lo tanto, que T (1) ⋅ T ( 2 ) = T (1) T ( 2) cos Θ = cos Θ . Considerando el carácter de infinitésimo de las componentes de ε y del propio Δθ se cumple: t t0 T (1) Q X3 F t (1) Q' P X3 Θ P' ê 3 ê1 R X2 ê 2 X1 N O T A Se consideran los siguientes desarrollos en serie de Taylor en un entorno de x = 0 : ( ) cos x = 1 + O (x ) sin x = x + O x 2 2 T Θ + Δθ ( 2) R' t ( 2) Figura 2-16 cos θ = cos( Θ + Δθ ) = cos Θ ⋅ cos θ − sinΘ ⋅ sin Δ θ= Δ  ≈1 ≈ Δθ cos = Θ  = cos Θ − sinΘ ⋅ Δθ = T (1) ⋅ T ( 2) + 2T (1) ⋅ ε ⋅ T ( 2) (1) (1) (2) ( 2) T 1 T ε ⋅ ε ⋅ +T +T 1 ⋅ ⋅  ≈1 ≈1 ⇒ sinΘ ⋅ Δθ = −2T (1) ⋅ ε ⋅ T ( 2) ⇒ Δθ = − = cos Θ + 2T (1) ⋅ ε ⋅ T ( 2 2T (1) ⋅ ε ⋅ T ( 2 ) 2t (1) ⋅ ε ⋅ t ( 2 ) =− sin Θ sinθ (2.75) (2.76) donde se ha considerado que, debido al carácter infinitesimal de la deformación, se cumple que T (1) ≈ t (1) , T ( 2) ≈ t ( 2) y Θ ≈ θ . 2.11.6 Descomposición polar Para el caso general de deformación finita la descomposición polar del tensor gradiente de la deformación F viene dada por la ecuación (2.49). Para el caso de deformación infinitesimal, recordando la expresión (2.12) ( F = 1 + J ) y el carácter de infinitésimo de las componentes del tensor J (ver la ecuación (2.61)), el tensor U de la ecuación (2.49) puede escribirse como: 54 2 Descripción de la deformación R E C O R D A T O R I O El desarrollo en serie de Taylor del tensor 1 + x en un entorno de x = 0 es: 1+ x =1+ ( ) 1 x+ 2 + O x2 R E C O R D A T O R I O El desarrollo en serie de Taylor del tensor (1 + x) −1 en un entorno de x = 0 es: (1 + x) −1 = 1 − x + ( ) + O x2 (1 + J T )⋅ (1 + J ) = ⎫ ⎪⎪ 1 T = 1 + J + J T + JT ⋅ J ≈ 1 + J+J = 1 + (J + J T )⎬ ⇒ 2  ⎪  x <<J ⎪⎭ ε U = FT F = U =1+ ε (2.77) y, de forma similar, debido al propio carácter infinitesimal de las componentes de ε (ver Observación 2-16) resulta: 1 U −1 = (1 + ε ) −1 = 1 − ε = 1 − ( J + J T ) 2  x  ε (2.78) con lo que el tensor de rotación Q de la ecuación (2.49) puede escribirse como: 1 ⎫ ⎡ ⎤ Q = F ⋅ U −1 = (1 + J ) ⋅ ⎢1 − ( J + J T )⎥ = ⎪ 2 ⎣ ⎦ ⎪ ⇒ 1 1 1 T T T ⎬ = 1 + J − ( J + J ) − J ⋅ ( J + J ) = 1 + (J − J ) ⎪ 2 2 2  ⎪     << J Ω ⎭ Q =1+ Ω (2.79) La ecuación (2.79) define el tensor infinitesimal de rotación Ω : N O T A C I Ó N Se define el operador gradiente antisimétrico ∇ a mediante: ∇ a (•) = 1 [(•) ⊗ ∇ − ∇ ⊗ (•)] 2 def ⎧ def 1 1 ⎪Ω = (J − J T ) = (u ⊗ ∇ − ∇ ⊗ u ) = ∇ a u Tensor 2 2 ⎪ infinitesi mal → ⎨ ⎪Ω = 1 ⎡ ∂u i − ∂u j ⎤ << 1 i, j ∈{1,2,3} de rotación ⎥ ⎪ ij 2 ⎢ ∂x ⎣⎢ j ∂x i ⎦⎥ ⎩ (2.80) Observación 2-19 El tensor Ω es un tensor antisimétrico. En efecto: 1 T ⎧ T 1 T T ⎪Ω = (J − J ) = ( J − J ) = −Ω 2 2 ⎨ ⎪Ω ji = −Ω ij i, j ∈{1, 2,3} ⎩ En consecuencia Ω tendrá nulos los términos de su diagonal principal, y su matriz de componentes tendrá la estructura: ⎡ 0 [Ω] = ⎢⎢− Ω12 ⎢⎣ Ω 31 Ω12 0 − Ω 23 − Ω 31 ⎤ Ω 23 ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦ En el contexto de pequeñas rotaciones, el tensor Ω es un tensor que caracteriza la rotación ( Q = 1 + Ω ) y de ahí el nombre de tensor infinitesimal de rotación. Al tratarse de un tensor antisimétrico queda definido mediante solamente tres componentes distintas ( Ω 23 , Ω 31 , Ω12 ), de las que se puede extraer el denominado vector infinitesimal de rotación θ : 2 Descripción de la deformación N O T A C I Ó N Se denota el operador rotacional de (•) mediante: ∇ × (•) ⎧ ⎧ ∂u 3 ∂u 2 ⎫ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ θ1 ⎫ ⎧− Ω 23 ⎫ Vector ⎪ ∂x 2 ∂x3 ⎪ def ∂u ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ∂u infinitesi mal → ⎨θ ≡ ⎨θ 2 ⎬ = ⎨ − Ω 31 ⎬ = ⎨ 1 − 3 ⎬ = ∇ × u 2 x ∂ ⎪ ⎪θ ⎪ ⎪ − Ω ⎪ ⎪ 3 ∂x1 ⎪ 2 de rotación 3 12 ⎭ ⎩ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ∂u 2 ∂u1 ⎪ ⎪ ⎪ ∂x − ∂x ⎪ 2 ⎭ ⎩ 1 ⎩ 55 (2.81) Las expresiones (2.12) , (2.65) y (2.79) permiten escribir: F =1+ J =1+ 1 1 ( J + J T ) + (J − J T ) ⇒ 2 2     ε Ω F =1+ ε + Ω Observación 2-20 Los resultados de aplicar escalarmente el tensor de rotación infinitesimal Ω y de aplicar vectorialmente el vector de rotación infinitesimal θ a un vector cualquiera r ≡ [r1, r2 , r3 ]T (ver Figura 2-17) coinciden. En efecto: ⎡ 0 Ω ⋅ r = ⎢⎢− Ω12 ⎢⎣ Ω 31 ⎡eˆ 1 θ × r = ⎢θ1 ⎢ ⎢⎣ r1 not eˆ 2 θ2 r2 − Ω 31 ⎤ ⎧ r1 ⎫ ⎧ Ω12 r2 − Ω 31 r3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Ω 23 ⎥⎥ ⎨r2 ⎬ = ⎨− Ω12 r1 + Ω 23 r3 ⎬ 0 ⎥⎦ ⎪⎩r3 ⎪⎭ ⎪⎩ Ω 31 r1 − Ω 23 r2 ⎪⎭ Ω12 0 − Ω 23 eˆ 3 ⎤ ⎡ eˆ 1 θ3 ⎥ = ⎢− Ω 23 ⎥ ⎢ r3 ⎥⎦ ⎢⎣ r1 eˆ 2 − Ω 31 r2 eˆ 3 ⎤ ⎧ Ω12 r2 − Ω 31 r3 ⎫ ⎪ ⎪ − Ω12 ⎥ = ⎨− Ω12 r1 + Ω 23 r3 ⎬ ⎥ r3 ⎥⎦ ⎪⎩ Ω 31 r1 − Ω 23 r2 ⎪⎭ En consecuencia, el vector Ω ⋅ r = θ × r tiene las siguientes características: • Es ortogonal al vector r (puesto que es el resultado de un producto vectorial en el que interviene r ). • Su módulo es infinitesimal (puesto que θ lo es). • El vector r + Ω ⋅ r = r + θ × r puede considerarse, salvo infinitésimos de orden superior, el resultado de aplicar una rotación θ al vector r . θ θ×r = Ω ⋅r r ê 3 ê1 ê 2 Figura 2-17 (2.82) 56 2 Descripción de la deformación Consideremos ahora un segmento diferencial dX en el entorno diferencial de una partícula P en la configuración de referencia (ver Figura 2-18). De acuerdo con la ecuación (2.82) la deformación transforma dicho vector en el vector dx : dx = F ⋅ dX = (1 + ε + Ω) ⋅ dX = deformació rotación  n  ε ⋅ dX + (1 + Ω) ⋅ dX (2.83) F(•) ≡ deformació n (•) + rotación (•) Observación 2-21 En régimen de deformación infinitesimal la ecuación (2.83) caracteriza el movimiento relativo a una partícula, en un entorno diferencial de la misma, como la suma de: a) Una deformación propiamente dicha, caracterizada por el tensor infinitesimal de deformación ε . b) Una rotación caracterizada por el tensor infinitesimal de rotación Ω que (en el contexto de pequeñas rotaciones) mantiene ángulos y distancias. La superposición ( deformació n rotación ) del caso general de deformación finita (ver Observación 2-12) degenera, para el caso de deformación infinitesimal, en una simple adición ( deformació n + rotación ). x3 t0 P dX (1 + Ω )dX Q P' ê 2 x1 Q' dx ê 3 ê1 t F dX ε ⋅ dX ⇒ deformación Ω ⋅ dX ⎫ ⎬ ⇒ rotación θ × dX⎭ x2 Figura 2-18 2.12 Deformación volumétrica Definición: Deformación volumétrica: Incremento producido por la deformación en el volumen asociado a una partícula, por unidad de volumen en la configuración de referencia. La anterior definición puede expresarse matemáticamente como (ver Figura 219): 57 2 Descripción de la deformación def. volumétri ca → e( X, t ) def = dV ( X, t ) − dV ( X,0) not dVt − dV0 = dV ( X,0) dV0 t F t0 (2.84) x3, z dVt dV0 P P′ ê 3 ê 2 x2, y ê1 x1 , x Figura 2-19 La ecuación (2.55) ( dVt = F t dV0 ) permite expresar, a su vez, la deformación volumétrica en los siguientes términos: • Deformación finita: e= • dVt − dV 0 F t dV 0 − dV0 = ⇒ dV0 dV 0 e = F −1 (2.85) Deformación infinitesimal: Considerando la ecuación (2.49) ( F = Q ⋅ U ) y recordando que Q es un tensor ortogonal ( Q = 1 ) puede escribirse: 1 + ε xx F = Q ⋅ U = Q U = U = 1 + ε = det ε xy ε xz ε xy 1 + ε yy ε yz ε xz ε yz 1 + ε zz (2.86) donde se ha tenido en cuenta la ecuación (2.77) ( U = 1 + ε ). Considerando ahora que las componentes de ε son infinitésimos, y despreciando en la expresión de su determinante los infinitésimos de orden superior a uno, puede escribirse: 1 + ε xx F = det ε xy ε xz ε xy ε xz 1 + ε yy ε yz = 1 + ε xx + ε yy + ε zz + O (ε 2 ) ≈ 1 + Tr (ε)   1 + ε zz ε yz Tr (ε) (2.87) y sustituyendo la ecuación (2.87) en la (2.85) se obtiene, para el caso de deformación infinitesimal: 58 2 Descripción de la deformación dVt = (1 + Tr (ε) )dV 0 ⎫ ⎪ dV − dV 0 ⎬⇒ e= t = F − 1⎪ dV0 ⎭ e = Tr (ε) (2.88) 2.13 Velocidad de deformación En las secciones anteriores de este capítulo se ha estudiado el concepto deformación, entendido como la variación de la posición relativa (ángulos y distancias) de las partículas en el entorno de una dada. En los siguientes apartados, consideraremos la velocidad a la que se modifica esta posición relativa introduciendo el concepto de velocidad de deformación como una medida de la variación de la posición relativa entre partículas por unidad de tiempo 2.13.1 Tensor gradiente de la velocidad Considerando la configuración correspondiente en el instante t , sean dos partículas del medio continuo P y Q que ocupan los puntos espaciales P ′ y Q ′ en dicho instante (ver Figura 2-20), sus velocidades, v P = v(x, t ) y v Q = v(x + dx, t ) y su velocidad relativa: t v(x + dx, t ) = v + dv dx x3, z Q’ x P’ v(x, t ) ê 3 x2, y ê 2 ê1 x1 , x Figura 2-20 dv(x, t ) = v Q − v P = v(x + dx, t ) − v(x, t ) (2.89) con lo que puede escribirse: dv = ∂v ⋅ dx = l ⋅ dx ∂x  l dv i = ∂v i dx j = lij dx j ∂x j  lij i, j ∈{1, 2,3} (2.90) En la ecuación (2.90) se ha introducido el denominado tensor gradiente espacial de la velocidad l(x, t ) definido como: 2 Descripción de la deformación def ⎧ ∂v (x, t ) ⎪l(x, t ) = Tensor gradiente ⎪ ∂x ⎪ espacial de la → ⎨l = v ⊗ ∇ ⎪ velocidad ∂v ⎪lij = i i, j ∈{1,2,3} ∂x j ⎪⎩ 59 (2.91) 2.13.2 Tensor velocidad de deformación y tensor spin R E C O R D A T O R I O Todo tensor de segundo orden, a , se puede descomponer en la suma de su parte simétrica ( sym(a) ) y antisimétrica skew(a) ) de la forma: a = sym(a) + skew(a) a + aT 2 a − aT skew(a) = 2 sym(a) = Descomponiendo el tensor gradiente de la velocidad en su parte simétrica y antisimétrica: l=d+w (2.92) donde d es un tensor simétrico denominado tensor velocidad de deformación: ⎧ ⎪ not ⎪ def 1 1 T s ⎪d = sym(l) = 2 l + l = 2 (v ⊗ ∇ + ∇ ⊗ v ) = ∇ v ⎪ Tensor ⎪⎪ ∂v j ⎤ 1 ⎡ ∂v velocidad de → ⎨d ij = ⎢ i + ⎥ i, j ∈{1,2,3} 2 ⎢⎣ ∂x j ∂x i ⎥⎦ ⎪ deformació n ⎪ ⎡d 11 d 12 d 31 ⎤ ⎪ ⎪[d ] = ⎢d 12 d 22 d 23 ⎥ ⎥ ⎢ ⎪ ⎢⎣d 31 d 23 d 33 ⎥⎦ ⎪⎩ ( ) (2.93) y w es un tensor asimétrico denominado tensor velocidad de rotación o tensor spin cuya expresión es: ⎧ ⎪ not ⎪ def 1 1 T a ⎪w = skew (l) = 2 l − l = 2 (v ⊗ ∇ − ∇ ⊗ v ) = ∇ v ⎪ Tensor ⎪⎪ ∂v j ⎤ 1 ⎡ ∂v velocidad de → ⎨w ij = ⎢ i − ⎥ i, j ∈{1,2,3} 2 ⎣⎢ ∂x j ∂x i ⎦⎥ ⎪ rotación (spin) ⎪ w 12 − w 31 ⎤ ⎡ 0 ⎪ ⎪[w ] = ⎢− w 12 0 w 23 ⎥⎥ ⎢ ⎪ ⎢⎣ w 31 − w 23 0 ⎥⎦ ⎩⎪ ( ) (2.94) 2.13.3 Interpretación física del tensor velocidad de deformación Consideremos el segmento diferencial definido por las partículas P y Q de la Figura 2-21 y la variación del cuadrado de su longitud a lo largo del tiempo: 60 2 Descripción de la deformación d 2 d d d ds = (dx ⋅ dx ) = (dx ) ⋅ dx + dx ⋅ (dx ) = dt dt dt dt ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ = d ⎜ ⎟ ⋅ dx + dx ⋅ d ⎜ ⎟ = dv ⋅ dx + dx ⋅ dv dt dt⎠ ⎝⎠ ⎝ v v (2.95) 1 2 y utilizando las relaciones (2.90) ( dv = l ⋅ dx ) y (2.93) ( d = (l + l T ) ) se obtiene de la ecuación (2.95): ⎡T ⎤ d 2 +l⎥ ⋅ dx = 2dx ⋅ d ⋅ dx ds = dx ⋅ lT ⋅ dx + dx ⋅ (l ⋅ dx ) = dx ⎢l  dt ⎢⎣ 2d ⎥⎦ ( ) (2.96) Considerando ahora la ecuación (2.20) ( ds 2 − dS 2 = 2 dX ⋅ E ⋅ dX ) derivándola respecto al tiempo y teniendo en cuenta la ecuación (2.96): ( ) d 2 d ds (t ) = ds 2 (t ) − dS 2 = dt dt d (2dX ⋅ E(X, t ) ⋅ dX ) = 2dX ⋅ dE ⋅ dX = 2dX ⋅ E ⋅ dX dt dt  2 dx ⋅ d ⋅ d x = (2.97) E Sustituyendo ahora la ecuación (2.2) ( dx = F ⋅ dX ) en la (2.97) se obtiene: [ ] [F ⋅ d ⋅ F − E]= 0 ⇒ dX ⋅ E ⋅ dX = dx ⋅ d ⋅ dx = [dx] [d ] ⋅ [dx] = dX ⋅ F T ⋅ d ⋅ F ⋅ dX T N O T A Se utiliza aquí el siguiente teorema del álgebra tensorial: dado un tensor de segundo orden A , si se verifica que x ⋅ A ⋅ x = 0 para todo vector x ≠ 0 entonces A ≡ 0 . [ ] ⇒ dX ⋅ F ⋅ d ⋅ F − E ⋅ dX = 0 ∀dX ⇒ T T (2.98) E = FT ⋅ d ⋅ F t + dt t x3, z t0 dS ds (t ) Q P′ P ê 3 ê 2 x2, y ê1 x1 , x Figura 2-21 ds(t + dt ) Q′ P ′′ Q ′′ 61 2 Descripción de la deformación Observación 2-22 La ecuación (2.98) pone de manifiesto la relación existente entre el tensor velocidad de deformación d(x, t ) y la derivada material del tensor material de deformación E( X, t ) , proporcionando una interpretación física (y justificando su denominación) para el tensor d (x, t ) . De la mencionada ecuación se desprende, sin embargo, que los tensores d(x, t ) y E( X, t ) no son exactamente el mismo. Ambos tensores coincidirán exactamente en los siguientes casos: • En la configuración de referencia ( t = t 0 ⇒ F | t =t = 1 ) • En la teoría de deformación infinitesimal ( x ≈ X ⇒ F = 0 ∂x ≈1 ) ∂X 2.13.4 Interpretación física del tensor velocidad de rotación w Partiendo de la ecuación (2.94) y al ser w un tensor antisimétrico (definido por lo tanto mediante sólo tres componentes distintas), puede extraerse del mismo el vector: N O T A Obsérvese la similitud en la estructura de los tensores Ω y θ de la sección 2.11.6 y los tensores w y ω . ⎡ ⎛ ∂v 2 ∂v 3 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ − ⎢− ⎜⎜ ⎢ ⎝ ∂x 3 ∂x 2 ⎠⎥ ⎡− w ⎤ 23 ∂v ⎞ ⎥ 1 1 1 ⎢ ⎛ ∂v ω = rot ( v) = ∇ × v ≡ ⎢ − ⎜⎜ 3 − 1 ⎟⎟ ⎥ = ⎢⎢ − w 31 ⎥⎥ 2 2 2 ⎢ ⎝ ∂x1 ∂x3 ⎠ ⎥ ⎢ − w 12 ⎥⎦ ⎢ ⎛ ∂v ∂v 3 ⎞⎥ ⎣ 2 ⎟⎟⎥ − ⎢− ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ ∂x 3 ∂x 2 ⎠⎥⎦ (2.99) ω ω×r = w ⋅r r ê 3 ê1 ê 2 Figura 2-22 Al vector 2ω = ∇ × v se le denomina vector vorticidad. Es posible demostrar (la demostración es totalmente análoga a la de la Observación 2-20) que se cumple la siguiente igualdad: ω×r = w ⋅r ∀r (2.100) y que, por lo tanto, es posible caracterizar a ω como la velocidad angular de un movimiento de rotación, y a ω × r = w ⋅ r como la correspondiente velocidad de 62 2 Descripción de la deformación rotación del punto cuyo vector de posición respecto al centro de rotación es r (ver Figura 2-22). A partir de ahí, y considerando, las ecuaciones (2.90) ( dv = l ⋅ dx ) y (2.92) ( l = d + w ) puede escribirse: dv = l ⋅ dx = (d + w ) ⋅ dx = d ⋅ dx + w ⋅ dx   velocidad de velocidad de estiramien to rotación (2.101) lo que permite describir la velocidad relativa dv de las partículas en el entorno de una dada P (ver Figura 2-23) como la suma de una velocidad relativa de estiramiento (caracterizada por el tensor velocidad de deformación d ) y una velocidad relativa de rotación (caracterizada por el tensor spin w o el vector vorticidad 2ω ). ⎧ velocidad ⎪ de d ⋅ dx ⇒ ⎨ ⎪estiramien to ⎩ t x3 ê 3 P' dv dx Q' ê1 ê 2 ⎧velocidad w ⋅ dx ⎫ ⎪ ⇒ ⎬ ⎨ de ω × dx ⎭ ⎪ ⎩ rotación x2 x1 Figura 2-23 2.14 Derivadas materiales de los tensores de deformación y otras magnitudes 2.14.1 Tensor gradiente de la deformación F y gradiente de la deformación inverso F-1 Derivando respecto al tiempo la expresión de F en la ecuación (2.3) N O T A Se utiliza aquí el teorema de igualdad de derivadas cruzadas para funciones regulares: ∂ 2 (•) ∂ 2 (•) = ∂μ i μ j ∂μ j μ i Fij = ∂x i (X, t ) dFij ∂ ∂x i ( X, t ) ∂ ∂x i ( X, t ) ∂v i (X, t ) ⇒ = = = = ∂X j dt ∂t ∂X j ∂X j  ∂t  ∂X j   v i ∂v i (x( X, t )) ∂x k = = lik Fkj ⇒ ∂x k ∂X j    l F ik kj ⎧ dFij = Fij = lik Fkj ⎪ ⎪ dt ⎨ ⎪ dF not = F =l⋅F ⎪ ⎩ dt i, j ∈{1,2,3} (2.102) 63 2 Descripción de la deformación donde se ha tenido en cuenta la expresión (2.91) para el tensor gradiente de la velocidad l . Para obtener la derivada material del tensor F −1 se deriva la siguiente identidad: ( ) d dF −1 d F −1 (F ⋅ F −1 ) = ⋅F +F⋅ =0 dt dt dt F ⋅ F −1 = 1 ⇒ N O T A No debe confundirse la derivada material del tensor inverso ⇒ ( ) d F −1 con el inverso dt ( ) . d F −1 −1 −1 −1 = −F −1 ⋅ F ⋅ F = −F −1 ⋅ l ⇒  ⋅ F = −F ⋅ l ⋅ F  dt l⋅F 1 ( ) ⎧ d F −1 = −F −1 ⋅ l ⎪⎪ dt ⎨ −1 ⎪ dFij = − F −1 l i, j ∈{1,2,3} ik kj ⎩⎪ dt de la derivada material () −1 del tensor: F . Ambos tensores son distintos. (2.103) 2.14.2 Tensores de deformación E y e De las ecuaciones (2.21), (2.102) y (2.93): . ⎞ 1 T dE . 1 ⎛ .T F ⋅F −1 ⇒ = E = ⎜⎜ F ⋅ F + F T ⋅ F ⎟⎟ = 2 2⎝ dt ⎠ 1 T T 1 F ⋅ l ⋅ F + F T ⋅ l ⋅ F = FT ⋅ l + lT ⋅ F = FT ⋅ d ⋅ F  2 2 2d E= N O T A Obsérvese que el resultado es el mismo que el obtenido en la ecuación (2.98) por un procedimiento alternativo. ( ) ( ) ( ) (2.104) . ⇒ E = FT ⋅d ⋅F Para el tensor espacial de deformación e , de las ecuaciones (2.23) y (2.103) se obtiene: e= ( 1 1 − F −T ⋅ F −1 2 ) ⇒ ( ) ( ) 1 ⎛ d −T de d −1 ⎞ F ⋅ F −1 + F −T F ⎟ =e=− ⎜ 2 ⎝ dt dt dt ⎠ ( ) 1 T −T −1 1 l ⋅ F ⋅ F + F −T ⋅ F − ⋅ l 2 1 ⇒ e = l T ⋅ F −T ⋅ F −1 + F −T ⋅ F −1 ⋅ l 2 = ( (2.105) ) 2.14.3 Derivadas materiales de diferenciales de volumen y de área El diferencial de volumen dV (X, t ) asociado a una determinada partícula, P , varía a lo largo del tiempo (ver Figura 2-24) y, en consecuencia, tiene sentido calcular su derivada material. Derivando la expresión (2.55) para el diferencial de volumen: dV (X, t ) = F(X, t ) dV0 (X ) ⇒ dF d dV 0 dV (t ) = dt dt (2.106) con lo que la derivada material del determinante del tensor gradiente de la deformación F resulta: 64 2 Descripción de la deformación N O T A La derivada del determinante de un tensor A , respecto al propio tensor, puede escribirse como: dA dA dA dAij = A ⋅A dFij d F d F dFij −1 −1 −1 l ik = F δ ki l ik = = F F ji = F F ji l ik Fkj = F Fkj F ji      dt dt dFij dt  ⎞ ⎛ 1 ⎜⎜ F⋅F − ⎟⎟ =δ ki lik Fkj ⎝ ⎠ ki ∂v i = F l ii = F = F ∇⋅v ⇒ ∂x i (2.107) −T dF = A ⋅ A −ji1 dt = F ∇⋅v donde se han tenido en cuenta las expresiones (2.102) y (2.91). Substituyendo ahora la ecuación (2.107) en la (2.106) se obtiene finalmente, tras considerar la ecuación (2.55): d F dV0 = (∇ ⋅ v ) dV (dV ) = (∇ ⋅ v)   dt dV (2.108) t + dt t X3,Z t0 dV (t + dt ) dV (t ) dV0 P P′′ P′ ê 3 X 2 ,Y ê 2 ê1 X1, X Figura 2-24 – Variación del diferencial de volumen Puede operarse similarmente para obtener la derivada material del diferencial de área asociado a una partícula determinada P y a una dirección n (ver Figura 2-25). El vector diferencial de área asociado a la partícula en la configuración de referencia, dA( X) = dA N , y en la configuración actual, da( x, t ) = da n , están relacionados por da = F ⋅ dA ⋅ F −1 (ver ecuación (2.59) ) y derivando dicha expresión: ( ) ( ) dF d d d ( da ) = F ⋅ dA ⋅ F −1 = dA ⋅ F −1 + F ⋅ dA F −1 = dt dt dt dt     −F −1⋅l F ∇⋅v = (∇ ⋅ v ) F dA ⋅ F −1 − F dA ⋅ F −1 ⋅ l ⇒   da da d ( da) = (∇ ⋅ v )da − da ⋅ l = da ⋅ ((∇ ⋅ v ) 1 − l) dt donde se han considerado las ecuaciones (2.103) y (2.107). (2.109) 65 2 Descripción de la deformación t t0 x3 , X 3 dA = dA N da = da n n N dA ê 3 ê 2 P′ P da x2 , X 2 ê1 x1 , X 1 Figura 2-25 – Variación del diferencial de área 2.15 Movimientos y deformaciones en coordenadas cilíndricas y esféricas Las expresiones y ecuaciones obtenidas en notación intrínseca o compacta son independientes del sistema de coordenadas considerado. Sin embargo, las expresiones en componentes dependen del sistema de coordenadas en el que se trabaje. Además del sistema de coordenadas cartesiano, en el que se ha trabajado en los apartados anteriores, consideraremos ahora dos sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales: coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas. Observación 2-23 Un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales, (denominadas genéricamente {a, b, c} viene caracterizado por su base física {eˆ a , eˆ b , eˆ c } unitaria ( eˆ a = eˆ b = eˆ c = 1 ) cuyas componentes son ortogonales entre sí ( eˆ a ⋅ eˆ b = eˆ a ⋅ eˆ c = eˆ b ⋅ eˆ c = 0 ), tal como ocurre con un sistema cartesiano. La diferencia fundamental es que la orientación de la base curvilínea va cambiando en cada punto del espacio ( eˆ m ≡ eˆ m (x) m ∈{a, b, c} ). Así pues, a los efectos que nos interesan aquí, podemos considerar un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales como un sistema de coordenadas cartesiano móvil {x ′, y ′, z ′} asociado a la base curvilínea {eˆ a , eˆ b , eˆ c } (ver Figura 2-26). Observación 2-24 Las componentes, de una cierta magnitud de carácter vectorial ( v ) o tensorial ( T ) en el sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales {a, b, c} podrán obtenerse como sus respectivas componentes en el sistema cartesiano local {x ′, y ′, z ′} : ⎧ v a ⎫ ⎧v x ′ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v ≡ ⎨ v b ⎬ ≡ ⎨ v y′ ⎬ ⎪v ⎪ ⎪v ⎪ ⎩ c ⎭ ⎩ z′ ⎭ ⎡Taa T ≡ ⎢⎢Tba ⎢⎣Tca Tab Tbb Tcb Tac ⎤ ⎡Tx ′x ′ ⎢ Tbc ⎥⎥ ≡ ⎢Ty′x ′ Tcc ⎥⎦ ⎢⎣Tz′x ′ Tx ′y′ Ty′y′ Tz′y′ Tx ′z′ ⎤ ⎥ Ty′z′ ⎥ Tz′z′ ⎥⎦ 66 2 Descripción de la deformación Observación 2-25 Las componentes curvilíneas de los operadores diferenciales (el operador ∇ y sus derivados) no son iguales a sus componentes en el sistema coordenado local {x ′, y ′, z ′} y deben ser obtenidas específicamente para cada caso. Su valor para coordenadas cilíndricas y esféricas se proporciona en el apartado correspondiente. 2.15.1 Coordenadas cilíndricas La posición de un cierto punto en el espacio puede definirse mediante sus coordenadas cilíndricas {r , θ, z} (ver Figura 2-26). En dicha figura se presenta también la base física ortonormal eˆ r , eˆ θ , eˆ z . Esta base cambia en cada punto del espacio de acuerdo con: ∂eˆ θ = −eˆ r ∂θ ∂eˆ r = eˆ θ ∂θ (2.110) ⎧ x = r cos θ ⎪ x( r ,θ , z ) ≡ ⎨ y = r sen θ ⎪z = z ⎩ y´ z´ z ê z r ê θ ê r x´ z θ r y x Figura 2-26 – Coordenadas cilíndricas En la Figura 2-27 se presenta el correspondiente elemento diferencial. dS = r dθ ε zz dz r θ r dθ ε zr ε θr ε θθ dr ε θz dV = r dθ dr dz ε zθ ε rz ε rθ ε rr dV Figura 2-27 – Elemento diferencial en coordenadas cilíndricas Las expresiones en coordenadas cilíndricas de algunos de los elementos tratados en este capítulo son: 67 2 Descripción de la deformación • Operador nabla: ∇= • • 1 ∂ ∂ ∂ eˆ r + eˆ θ + eˆ z ∂r r ∂θ ∂z ⎡∂ ⎤ ⎢ ∂r ⎥ ⎢ ⎥ 1 ∂⎥ ⇒ ∇≡⎢ ⎢ r ∂θ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∂ ⎥ ⎣⎢ ∂z ⎦⎥ (2.111) Vector de desplazamientos u y vector velocidad v: ⎡u r ⎤ u = u r eˆ r + u θ eˆ θ + u z eˆ z ⇒ u = ⎢⎢u θ ⎥⎥ ⎢⎣ u z ⎥⎦ (2.112) ⎡v r ⎤ ˆ ˆ ˆ v = v r e r + v θ e θ + v z e z ⇒ u = ⎢⎢v θ ⎥⎥ ⎢⎣ v z ⎥⎦ (2.113) Tensor infinitesimal de deformación ε : ⎡ε x′x′ 1 [u ⊗ ∇ ] + [u ⊗ ∇ ]T ≡ ⎢⎢ε x′y′ 2 ⎢⎣ε x′z ′ 1 ∂uθ u r ∂u + ε rr = r ε θθ = r ∂θ r ∂r ε= { } 1 1 ∂u r ∂uθ uθ ⎤ + − ⎥ ε rθ = ⎡⎢ 2 ⎣ r ∂θ r ⎦ ∂r 1 ∂u 1 ∂u z ⎞ ε θz = ⎛⎜ θ + ⎟ 2 ⎝ ∂z r ∂θ ⎠ ε x′y′ ε x′z′ ⎤ ⎡ ε rr ⎥ ε y′y′ ε y′z ′ ⎥ = ⎢ε rθ ⎢ ε y ′z ′ ε z′z ′ ⎥⎦ ⎣⎢ ε rz ε zz = ε rθ εθθ ε θz ε rz ⎤ ε θz ⎥ ⎥ ε zz ⎥⎦ ∂u z ∂z (2.114) 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ε rz = ⎜ r + z ⎟ 2⎝ ∂ z ∂r ⎠ En la Figura 2-27 se presentan las componentes de ε sobre el correspondiente elemento diferencial. • Tensor velocidad de deformación d : ⎡d x′x′ 1 ⎢ T d = [v ⊗ ∇ ] + [v ⊗ ∇ ] ≡ ⎢d x′y′ 2 ⎢⎣d x′z ′ 1 ∂vθ v r ∂v d rr = r dθθ = + r ∂θ r ∂r { 1 ⎡ 1 ∂v r ∂vθ + 2 ⎢⎣ r ∂θ ∂r 1 ⎛ ∂vθ 1 ∂v z dθz = ⎜ + 2 ⎝ ∂z r ∂θ d rθ = } − ⎞ ⎟ ⎠ vθ ⎤ r ⎥⎦ d x′y′ d y′y′ d y′z′ d x′z ′ ⎤ ⎡ d rr ⎥ d y′z′ ⎥ = ⎢d rθ ⎢ d z ′z ′ ⎥⎦ ⎣⎢ d rz d zz = ∂v z ∂z 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞ d rz = ⎜ r + z ⎟ 2⎝ ∂ z ∂r ⎠ d rθ dθθ dθz d rz ⎤ dθz ⎥ ⎥ d zz ⎦⎥ (2.115) 68 2 Descripción de la deformación 2.15.2 Coordenadas esféricas Un punto del espacio está definido por sus coordenadas esféricas {r , θ, φ}. Línea coordenadas φ ⎧ x = r sen θ cos φ ⎪ x = x(r ,θ , φ ) ≡ ⎨ y = r sen θ sen φ ⎪ z = r cos θ ⎩ z x´ ê r θ r ê θ z´ ê φ φ y y´ x Línea coordenada θ Figura 2-28– Coordenadas esféricas En la Figura 2-28 se presenta la base física ortonormal eˆ r , eˆ θ , eˆ φ . Esta base cambia en cada punto del espacio de acuerdo con:. ∂eˆ r = eˆ θ ∂θ • ∂eˆ θ = −eˆ r ∂θ ∂eˆ φ ∂θ =0 Operador nabla: ⎤ ⎡ ∂ ⎥ ⎢ ∂r ⎥ ⎢ ˆ e ∂ ∂eˆ 1 ∂eˆ θ 1 1 ∂ φ ⎥ ∇= r + + ⇒∇ ≡⎢ ⎢ r ∂θ ⎥ r ∂θ r sen θ ∂φ ∂r ⎢ 1 ∂ ⎥ ⎢ r sen θ ∂φ ⎥ ⎦ ⎣ • (2.116) (2.117) Vector de desplazamientos u y vector velocidad v: ⎡u r ⎤ ⎢ ⎥ u = u r eˆ r + u θ eˆ θ + u φ eˆ φ ⇒ u = ⎢u θ ⎥ ⎢u φ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡v r ⎤ ⎢ ⎥ v = v r eˆ r + v θ eˆ θ + v φ eˆ φ ⇒ u = ⎢ v θ ⎥ ⎢v φ ⎥ ⎣ ⎦ (2.118) (2.119) 69 2 Descripción de la deformación • Tensor infinitesimal de deformación ε : ε= ε rr ε φφ ⎡ε x′x′ ε x′y′ 1 [u ⊗ ∇] + [u ⊗ ∇]T ≡ ⎢⎢ε x′y′ ε y′y′ 2 ⎢⎣ε x′z ′ ε y ′z ′ 1 ∂u θ u r ∂u + = r ε θθ = ∂r r ∂θ r u 1 ∂u φ u θ cot φ + r = + r sen θ ∂φ r r { } ε x′z′ ⎤ ⎡ε rr ⎥ ⎢ ε y′z ′ ⎥ = ⎢ε θr ε z ′z ′ ⎥⎦ ⎢⎣ε rφ ε rθ ε θθ ε θφ ε rφ ⎤ ⎥ ε θφ ⎥ ε φφ ⎥⎦ (2.120) 1 ⎡ 1 ∂u r ∂u θ u θ ⎤ 1 ⎡ 1 ∂u r ∂uφ uφ ⎤ + − = + − ⎥ ε r φ 2 ⎢⎣ r ∂θ 2 ⎢⎣ r sen θ ∂φ ∂r ∂r r ⎥⎦ r ⎦ 1 ⎡ 1 ∂u θ 1 ∂u φ u φ ⎤ cot φ ⎥ + − = ⎢ 2 ⎣ r sen θ ∂φ r ∂θ r ⎦ ε rθ = ε θφ En la Figura 2-29 se presentan las componentes de ε sobre el correspondiente elemento diferencial. • Tensor velocidad de deformación d : ⎡d x′x′ d x′y′ 1 [v ⊗ ∇] + [v ⊗ ∇ ]T ≡ ⎢⎢d x′y′ d y ′y′ 2 ⎢⎣d x′z ′ d y′z′ 1 ∂vθ v r ∂v + d rr = r d θθ = ∂r r ∂θ r v 1 ∂v φ vθ cot φ + r + d φφ = r sen θ ∂φ r r { d= } d x′z ′ ⎤ ⎡ d rr ⎥ ⎢ d y′z′ ⎥ = ⎢d rθ d z ′z ′ ⎥⎦ ⎢⎣ d rφ d rθ dθθ d θφ d rφ ⎤ ⎥ dθφ ⎥ d φφ ⎥⎦ (2.121) 1 ⎡ 1 ∂v r ∂vθ vθ ⎤ 1 ⎡ 1 ∂v r ∂v φ v φ ⎤ + − + − d rφ = ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ r ∂θ 2 ⎣ r sen θ ∂φ ∂r ∂r r ⎦ r ⎥⎦ 1 ⎡ 1 ∂vθ 1 ∂v φ v φ ⎤ cot φ ⎥ − + = ⎢ 2 ⎣ r sen θ ∂φ r ∂θ r ⎦ d rθ = dθφ dφ ε rr z ε rθ ε rφ ε φφ ε φr dθ θ φ ε θθ ε rθ r y ε rφ ε θφ dV = r 2 sen θ dr dθ dφ x Figura 2-29 – Elemento diferencial en coordenadas esféricas 3 Ecuaciones de compatibilidad 3.1 Introducción N O T A C I Ó N Se utiliza aquí la notación simplificada: ∂U i not = U i, j ∂X j Dado un campo de desplazamientos U( X, t ) suficientemente regular, siempre es posible hallar el campo de deformaciones correspondiente (por ejemplo, el de Green-Lagrange) mediante derivación del mismo respecto a las coordenadas (en este caso materiales): Eij = 1 ⎛⎜ ∂U i ∂U j ∂U k ∂U k ⎞⎟ not 1 + + = (U i, j + U j,i + U k ,iU k , j ) i, j ∈ {1,2,3} 2 ⎜⎝ ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j ⎟⎠ 2 (3.1) Para el caso de deformaciones infinitesimales, dado el campo de desplazamientos u(x, t ) , el campo de deformaciones se obtiene como: ε ij = 1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j + 2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎞ not 1 ⎟ = u i, j + u j ,i ⎟ 2 ⎠ ( ) i, j ∈ {1,2,3} (3.2) Se puede plantear la pregunta en forma inversa, es decir: dado un campo de deformaciones ε(x, t ) , ¿es posible hallar un campo de desplazamientos u(x, t ) tal que ε(x, t ) sea su tensor infinitesimal de deformación? Esto no siempre es posible y la respuesta la proporciona las denominadas ecuaciones de compatibilidad. La expresión (3.2) constituye un sistema de 6 (debido a la simetría) ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (E.D.P’s.) con 3 incógnitas u1 (x, t ), u 2 (x, t ), u 3 ( x, t ) . Este sistema está sobredeterminado, ya que existen más condiciones que incógnitas y puede no tener solución. Por lo tanto, para que un tensor simétrico de segundo orden ε(x, t ) corresponda a un tensor de deformaciones (y que por lo tanto sea integrable y exista un campo de desplazamientos del cual provenga) es necesario que verifique unas ciertas condiciones. Estas condiciones se denominan condiciones o ecuaciones de compatibilidad y garantizan la continuidad del medio continuo durante el proceso de deformación (ver Figura 3-1). 1 8 7 2 9 6 3 4 5 E(X, t ) 8 1 2 7 9 6 3 4 Figura 3-1– Campo de deformaciones no compatible 5 3 Ecuaciones de compatibilidad 72 Definición: Condiciones de compatibilidad: Son las condiciones que debe verificar un tensor simétrico de segundo orden para que pueda ser un tensor de deformación y que, por lo tanto, exista un campo de desplazamientos del cual provenga. Observación 3-1 Nótese que para definir un tensor de deformación, no se pueden escribir de forma arbitraria las 6 componentes de un tensor simétrico. Es necesario que éstas verifiquen las condiciones de compatibilidad. Observación 3-2 Dado un campo de desplazamientos, siempre podemos obtener, por derivación, un tensor de deformación asociado al mismo que automáticamente verificará las condiciones de compatibilidad. Así pues, en este caso no tiene sentido la verificación de estas condiciones. 3.2 Ejemplo preliminar: Ecuaciones de compatibilidad de un campo vectorial potencial Dado un campo vectorial v(x, t ) , se dice que es un campo potencial si existe una función escalar φ(x, t ) (llamada función potencial) tal que su gradiente sea v(x, t ) , es decir: ⎧ v(x, t ) = ∇ φ(x, t ) ⎪ ⎨v x, t ∂φ(x, t ) ⎪ i ( ) = ∂x i ⎩ i ∈ {1,2,3} (3.3) Por lo tanto, dada una función escalar φ(x, t ) (continua), siempre es posible definir un campo vectorial potencial v(x, t ) del cual aquella sea el potencial de acuerdo con la ecuación (3.3). La cuestión que se plantea ahora es la inversa: dado un campo vectorial v(x, t ) , ¿existe una función escalar φ(x, t ) tal que ∇Φ(x, t ) = v(x, t ) ? En componentes esto se escribe como: 3 Ecuaciones de compatibilidad ∂φ ∂φ ⇒ vx − =0 ∂x ∂x ∂φ ∂φ vy = =0 ⇒ vy − ∂y ∂y ∂φ ∂φ vz = ⇒ vz − =0 ∂z ∂z 73 vx = (3.4) En (3.4) se tiene un sistema de E.D.P´s. con 3 ecuaciones y con 1 incógnita ( φ(x, t ) ), por lo que el sistema está sobredeterminado y puede no tener solución. Derivando una vez las expresiones (3.4) respecto a ( x, y , z ) se tiene: ∂v x ∂ 2 φ = 2 ∂x ∂x ∂v y ∂ 2φ = ∂y∂x ∂x ∂v z ∂ 2φ = ∂x ∂z∂x R E C O R D A T O R I O El teorema de Schwartz (igualdad de derivadas cruzadas) garantiza que para una función ∂ 2Φ ∂ 2Φ = ∂xi ∂x j ∂x j ∂xi ∀i, j (3.5) La ecuación (3.5) representa un sistema de 9 ecuaciones. Considerando el teorema de Schwartz se puede ver que en estas 9 ecuaciones intervienen 6 funciones (derivadas segundas) distintas de la incógnita φ , a saber: ∂ 2φ ∂ 2φ ∂2φ ∂2φ ∂ 2φ ∂ 2φ , , , , , ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z Φ ( x1 , x 2 .....x n ) continua y con derivadas continuas se cumple: ∂v x ∂ 2φ = ∂x∂z ∂z ∂v y ∂ 2φ = ∂y∂z ∂z ∂v z ∂ 2 φ = 2 ∂z ∂z ∂v x ∂ 2φ = ∂x∂y ∂y ∂v y ∂ 2 φ = 2 ∂y ∂y ∂v z ∂ 2φ = ∂y ∂z∂y (3.6) por lo que podemos eliminarlas del sistema original (3.5) y establecer 3 relaciones, denominadas condiciones de compatibilidad, entre las derivadas espaciales primeras de las componentes de v(x, t ) . Por lo tanto, para que exista una función escalar φ(x, t ) tal que ∇φ(x, t ) = v(x, t ) , el campo vectorial v(x, t ) dado debe verificar las siguientes ecuaciones de compatibilidad: ∂v y ∂x ∂v x ∂z ∂v z ∂y def ⎫ ∂v x = 0 = Sz ⎪ ∂y ⎪ ⎧S x ⎫ def ⎪⎪ ∂v z ⎪ ⎪ − = 0 = S y ⎬ donde S ≡ ⎨S y ⎬ ≡ ∂x ⎪S ⎪ ⎪ ⎩ z⎭ def ∂v y ⎪ = 0 = Sx ⎪ − ∂z ⎪⎭ − eˆ 1 ∂ ∂x vx eˆ 2 ∂ ∂y vy eˆ 3 not ∂ ≡ rot v = ∇ × v ∂z vz (3.7) En consecuencia, de la ecuación (3.7), las ecuaciones de compatibilidad pueden escribirse como: Ecuaciones de compatibil idad ⎧∇ × v = 0 ⎪ de un campo → ⎨ ∂v i ∂v j ⎪ ∂x − ∂x = 0 i , j ∈ {1,2,3} vectorial potencial i ⎩ j (3.8) 3 Ecuaciones de compatibilidad 74 R E C O R D A T O R I O Un teorema de la geometría diferencial establece que la divergencia del rotacional de cualquier campo es nula: Observación 3-3 Las 3 ecuaciones de compatibilidad (3.7) o (3.8) no son independientes entre sí y puede establecerse una relación funcional entre ellas. En efecto, aplicando la condición de que la divergencia del rotacional de un campo vectorial es nula se obtiene: ∇ ⋅ (∇ × v ) = 0 ∇ ⋅ [∇ × (•)] = 0 3.3 Condiciones de compatibilidad para las deformaciones infinitesimales Sea el campo de deformaciones infinitesimales ε( x, t ) de componentes: ε ij = 1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j + 2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎞ 1 ⎟ = u i , j + u j ,i ⎟ 2 ⎠ ( ) i, j ∈ {1,2,3} (3.9) que puede ser descrito matricialmente mediante: ⎡ε xx ε xy ⎢ε xz ⎣ ε yy ε yz [ε] = ⎢⎢ε xy ⎡ ∂u x ⎢ ∂x ε xz ⎤ ⎢⎢ ⎥ × ε yz ⎥ = ⎢ ⎢ ε zz ⎥⎦ ⎢ ⎢( simétrico) ⎢⎣ 1 ⎛ ∂u x ∂u y ⎜ + 2 ⎜⎝ ∂y ∂x ∂u y ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ∂y × 1 ⎛ ∂u x ∂u z + ⎜ 2 ⎜⎝ ∂z ∂x 1 ⎛ ∂u y ∂u z ⎜ + 2 ⎜⎝ ∂z ∂y ∂u z ∂z ⎞⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎠⎥ ⎞⎥ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠ ⎥ ⎥ ⎥⎦ (3.10) Debido a la simetría de la ecuación (3.10) solamente se obtienen de la misma 6 ecuaciones distintas: ε xx − ε yy − ε zz − ∂u x =0 ∂x ∂u y ∂y =0 ∂u z =0 ∂z ε xy − ⎞ ⎟=0 ⎟ ⎠ 1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ + ⎜ ⎟=0 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ 1 ⎛ ∂u y ∂u z ⎞ ⎟=0 + − ⎜⎜ 2 ⎝ ∂z ∂y ⎟⎠ ε xz − ε yz 1 ⎛ ∂u x ∂u y ⎜ + 2 ⎜⎝ ∂y ∂x (3.11) La ecuación (3.11) es un sistema de 6 E.D.P.’s con 3 incógnitas que son las componentes del vector de desplazamientos u(x, t ) . En general, este problema no tendrá solución salvo que se verifiquen ciertas condiciones de compatibilidad. Para obtener dichas condiciones se derivan dos veces las ecuaciones (3.11) respecto a las coordenadas espaciales y se obtiene: 3 Ecuaciones de compatibilidad ∂u ⎞ ⎛ ∂ 2 ⎜ ε xx − x ⎟ ∂x ⎠ ⎝ = 2 2 2 ∂ x , ∂y , ∂z , ∂xy, ∂xz , ∂yz 75 6 ecuaciones (3.12) ⎛ 1 ⎛ ∂u y ∂u z ⎞ ⎞⎟ ⎟ ∂ 2 ⎜ ε yz − ⎜⎜ + ⎜ 2 ⎝ ∂z ∂y ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ = ∂ x 2 , ∂y 2 , ∂z 2 , ∂xy, ∂xz , ∂yz 6 ecuaciones que proporcionan un total de 36 ecuaciones: ∂ 3u x ∂ 2 ε yz ∂x 3 ∂x 2 ∂ 3u x ∂ 2 ε yz ∂x∂y 2 ∂y 2 ∂ 3u x ∂ 2 ε yz ∂x∂z 2 ∂z 2 ∂ 2 ε xx ∂ 3u = 2 x ∂x∂y ∂x ∂y ∂ 2 ε yz ∂ 2 ε xx ∂ 3u = 2x ∂x∂z ∂x ∂z ∂ 2 ε yz ∂ 2 ε xx ∂x 2 ∂ 2 ε xx ∂y 2 ∂ 2 ε xx ∂z 2 = = = ∂x∂y ∂x∂z 3 ∂ 3 u z ⎞⎟ 1 ⎛⎜ ∂ u y + 2 ⎜ ∂z∂x 2 ∂y∂x 2 ⎟ ⎠ ⎝ 3 1 ⎛⎜ ∂ u y ∂ 3 u z ⎞⎟ + = 2 ⎜⎝ ∂z∂y 2 ∂y 3 ⎟⎠ 3 3 1 ⎛ ∂ u y ∂ u z ⎞⎟ + = ⎜ 2 ⎜⎝ ∂z 3 ∂y∂z 2 ⎟⎠ = = = 3 ∂ 3u ⎞ 1 ⎛⎜ ∂ u y + 2z ⎟ . 2 ⎜⎝ ∂z∂x∂y ∂y ∂x ⎟⎠ 3 ∂ 3 u z ⎞⎟ 1 ⎛⎜ ∂ u y + 2 ⎜⎝ ∂z 2 ∂x ∂y∂x∂z ⎟⎠ ∂ ε xx ∂ ux = x∂ y ∂y ∂z∂ ∂z  3 ∂ 3 u z ⎞⎟ 1 ⎛⎜ ∂ u y + 2 ⎜⎝ ∂z 2 ∂y ∂y 2 ∂z ⎟⎠ ∂y∂z    (para ε xx , ε yy , ε zz = 18 ecuaciones ) (para ε xy , ε xz , ε yz = 18 ecuaciones ) 2 ∂ 2 ε yz 3 (3.13) = En estas 36 ecuaciones intervienen todas las posibles terceras derivadas de cada componente de los desplazamientos u x , u y y u z . Se trata, por lo tanto, de 30 derivadas distintas: ∂ 3u x ∂x 3 , ∂x 2 y , ∂x 2 z , ∂y 3 , ∂y 2 x, ∂y 2 z , ∂z 3 , ∂z 2 x, ∂z 2 y, ∂xyz ∂ 3u y ∂x 3 , ∂x 2 y , ∂x 2 z , ∂y 3 , ∂y 2 x, ∂y 2 z , ∂z 3 , ∂z 2 x, ∂z 2 y, ∂xyz ∂ 3u z ∂x , ∂x y , ∂x z , ∂y , ∂y x, ∂y 2 z , ∂z 3 , ∂z 2 x, ∂z 2 y, ∂xyz 3 2 2 3 2 = 10 derivadas = 10 derivadas (3.14) = 10 derivadas que constituyen las 30 incógnitas del sistema de 36 ecuaciones ⎛ ∂ 3u i ∂ 2 ε ij fn⎜ , ⎜ ∂x j ∂x k ∂x l ∂x k ∂xl ⎝ 30 definido en (3.13). ⎞ ⎟ n = 1....36 ⎟ ⎠ (3.15) 3 Ecuaciones de compatibilidad 76 Por lo tanto, de este sistema pueden eliminarse las 30 incógnitas derivadas de los desplazamientos ∂ 3u i , obteniéndose 6 ecuaciones, en las que no aparecerán ∂x j ∂x k ∂x l estas terceras derivadas, donde intervendrán las 21 derivadas segundas del tensor de deformaciones ∂ 2 ε ij ∂x k ∂xl . Después de las correspondientes operaciones algebraicas, estas ecuaciones quedan: def ∂ 2 ε ⎧ ∂ 2 ε yz ∂ 2 ε zz yy 2 + − =0 ⎪S xx = ∂y∂z ∂z 2 ∂y 2 ⎪ ⎪ 2 2 2 def ⎪S = ∂ ε zz + ∂ ε xx − 2 ∂ ε xz = 0 yy ⎪ ∂x∂z ∂x 2 ∂z 2 ⎪ def 2 2 ∂ 2 ε xy ∂ ε xx ∂ ε yy ⎪ S 2 = + − =0 Ecuaciones ⎪ zz ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 ⎪ de →⎨ def ∂ 2 ε zz ∂ ⎛ ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy ⎞ ⎟=0 + + ⎜⎜ − compatibil idad ⎪S xy = − ⎪ ∂z ⎟⎠ ∂x∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ⎪ def ⎪ ∂ 2 ε yy ∂ ⎛ ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy ⎞ ⎟=0 + − + ⎜⎜ ⎪S xz = − ∂z ⎟⎠ ∂y ∂x∂z ∂y ⎝ ∂x ⎪ ⎪ 2 def ⎪S = − ∂ ε xx + ∂ ⎛⎜ − ∂ε yz + ∂ε xz + ∂ε xy ⎞⎟ = 0 yz ⎪ ∂z ⎟⎠ ∂y ∂y∂z ∂x ⎜⎝ ∂x ⎩ (3.16) que constituyen las ecuaciones de compatibilidad para el tensor infinitesimal de deformación ε . La expresión compacta correspondiente a las 6 ecuaciones (3.16) resulta ser: Ecuaciones de compatibil idad para el tensor infinitesi mal → S = ∇ × (ε × ∇ ) = 0 (3.17) de deformació n Observación 3-4 Las 6 ecuaciones (3.16) no son funcionalmente independientes y, aprovechando de nuevo el hecho de que la divergencia del rotacional de un campo es intrínsecamente nula, pueden establecerse entre ellas las siguientes relaciones funcionales ⎧ ∂S xx ∂S xy ∂S xz + + =0 ⎪ ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪⎪ ∂S xy ∂S yy ∂S yz ∇ ⋅ S = ∇ ⋅ (∇ × (ε × ∇ )) = 0 → ⎨ =0 + + ∂z ∂y ⎪ ∂x ⎪ ∂S ∂S yz ∂S zz ⎪ xz + + =0 ⎪⎩ ∂x ∂y ∂z Otra forma de expresar las condiciones de compatibilidad (3.16) es utilizando el operador de tres índices denominado operador de permutación ( eijk ): 77 3 Ecuaciones de compatibilidad Observación 3-5 El operador de tres índices denominado operador permutación viene dado por: ⎧ 0 → si algún índice se repite : ( i = j o i = k o j = k) ⎪ eijk = ⎨ 1 → sentido positivo (horario) de índices : ijk ∈ {123, 231,312} ⎪- 1 → sentido negativo (antihorario) de índices : ijk ∈ {132, 321, 213} ⎩ 1 + 3 _ 2 Figura 3-2 En este caso las ecuaciones de compatibilidad pueden escribirse: S mn = emjq enir ε ij , qr = 0 (3.18) Finalmente, otra posible expresión de las condiciones de compatibilidad es: ε ij ,kl + ε kl ,ij − ε ik , jl − ε jl ,ik = 0 i , j, k , l ∈ {1,2,3} (3.19) Observación 3-6 Puesto que las ecuaciones de compatibilidad (3.16) involucran solamente derivadas espaciales segundas de las componentes del tensor de deformación ε( x, t ) , cualquier tensor de deformación lineal (polinómico de orden uno) respecto a las variables del espacio será compatible y, por lo tanto, integrable. Como caso particular, todo tensor de deformación uniforme ε(t ) será integrable. 3.4 Integración del campo de deformaciones infinitesimales 3.4.1 Fórmulas preliminares Sea el tensor de rotación Ω(x, t ) para el caso de deformaciones infinitesimales (ver capítulo 2 , apartado 2.11.6): 3 Ecuaciones de compatibilidad 78 1 ⎧ ⎪Ω = 2 (u ⊗ ∇ − ∇ ⊗ u ) ⎪ ⎨ ⎛ ∂u ⎞ ⎪Ω ij = 1 ⎜ ∂ui − j ⎟ i, j,∈ {1,2,3} ⎜ 2 ⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ ⎪⎩ (3.20) y el vector rotación θ( x, t ) , asociado al mismo, definido como: ⎡ θ1 ⎤ ⎡− Ω 23 ⎤ ⎡− Ω yz ⎤ 1 1 ⎢ ⎥ θ = rot u = ∇ × u = ⎢⎢θ 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ − Ω 31 ⎥⎥ ≡ ⎢ − Ω zx ⎥ 2 2 ⎢⎣θ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ − Ω12 ⎥⎦ ⎢⎣− Ω xy ⎥⎦ R E C O R D A T O R I O El tensor Ω es antisimétrico Ω≡ ⎡ 0 ⎢− Ω 12 ⎢ ⎢⎣ Ω 31 Ω 12 0 − Ω 23 − Ω 31 ⎤ Ω 23 ⎥⎥ 0 ⎥⎦ (3.21) Derivando el tensor de rotación (3.20) con respecto a la coordenada x k se obtiene: Ω ij = 1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j − 2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎞ ∂Ω ij 1 ∂ ⎡ ∂u i ∂u j ⎤ ⎟ ⇒ − = ⎢ ⎥ ⎟ 2 ∂x k ⎣⎢ ∂x j ∂x i ⎦⎥ ∂x k ⎠ Sumando y restando en la ecuación (3.22) el término (3.22) 1 ∂ 2u k y reordenando 2 ∂xi ∂x j se obtiene: ∂Ω ij ∂x k = = 2 2 1 ∂ ⎡ ∂u i ∂u j ⎤ 1 ∂ u k 1 ∂ uk − − = ⎢ ⎥+ 2 ∂x k ⎣⎢ ∂x j ∂x i ⎦⎥ 2 ∂x i ∂x j 2 ∂x i ∂x j ∂ 1 ⎛ ∂u i ∂u k ⎞ ∂ 1 ⎛⎜ ∂u j ∂u k ⎞⎟ ∂ε ik ∂ε jk ⎟− ⎜ + = − + ∂x i ∂x j 2 ⎜⎝ ∂x k ∂x i ⎟⎠ ∂x i 2 ⎜⎝ ∂x k ∂x j ⎟⎠ ∂x j   εik ε jk (3.23) La ecuación (3.23) puede utilizarse ahora para calcular las derivadas cartesianas de las componentes del vector velocidad de rotación, θ( x, t ) , de la ecuación (3.21), obteniéndose: ∂Ω yz ∂ε xz ∂ε xy ⎧ ∂θ1 =− = − ⎪ x ∂z ∂x ∂y ⎪∂ ⎪⎪ ∂θ ∂Ω yz ∂ε yz ∂ε yy ∇ θ1 → ⎨ 1 = − − = ∂z ∂y ∂y ⎪ ∂y ⎪ ∂θ ∂ ε ∂ Ω ∂ε yz zy ⎪ 1 =− = zz − ⎪⎩ ∂z ∂z ∂z ∂y (3.24) ∂Ω zx ∂ε xx ∂ε xz ⎧ ∂θ 2 ⎪ ∂x = − ∂x = ∂z − ∂x ⎪ ∂Ω zx ∂ε xy ∂ε yz ⎪ ∂θ ∇θ 2 → ⎨ 2 = − − = ∂x ∂z ∂y ⎪ ∂y ⎪ ∂θ 2 ∂Ω zx ∂ε xz ∂ε zz =− = − ⎪ ∂z ∂z ∂x ⎩ ∂z (3.25) 3 Ecuaciones de compatibilidad ∂Ω xy ∂ε xy ∂ε xx ⎧ ∂θ 3 − = =− ⎪ ∂x ∂y ∂x ⎪ ∂x ⎪⎪ ∂θ ∂ Ω ∂ ε ∂ ε xy xy yy ∇θ 3 → ⎨ 3 = − = − ∂y ∂x ∂y ⎪ ∂y ⎪ ∂θ ∂Ω xy ∂ε yz ∂ε xz ⎪ 3 =− = − ∂z ∂x ∂y ⎪⎩ ∂z 79 (3.26) Supongamos ahora conocido el vector de rotación θ( x, t ) y, a través de él mediante las ecuaciones (3.21), el tensor de rotación Ω (x, t ) . Considerando el tensor gradiente de los desplazamientos J (x, t ) (ver capítulo 2, apartado 2.11.6) puede escribirse: ∂ u ( x, t ) ⎧ ⎪J = ∂x = ε + Ω ⎪ ⎪ ⎨ J = ∂u i = 1 ⎛⎜ ∂u i + ∂u j ⎞⎟ + 1 ⎛⎜ ∂u i − ∂u j ⎞⎟ = ε + Ω i, j ∈ {1,2,3} ij ij ⎪ ij ∂x j 2 ⎜ ∂x j ∂x i ⎟ 2 ⎜ ∂x j ∂x i ⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎪ εij ⎪⎩ Ωij (3.27) Finalmente, escribiendo de forma explícita las diversas componentes de la ecuación (3.27) y teniendo en cuenta la ecuación (3.21) se obtiene: N O T A De acuerdo con la ecuación (3.21) el tensor Ω puede escribirse como: Ω≡ Ω 12 − Ω 31 ⎤ ⎡ 0 ⎢− Ω Ω 23 ⎥⎥ = 0 12 ⎢ ⎢⎣ Ω 31 − Ω 23 0 ⎥⎦ − θ3 θ 2 ⎤ ⎡ 0 ⎢ θ − θ 1 ⎥⎥ 0 3 ⎢ ⎢⎣− θ 2 θ 1 0 ⎥⎦ j =1 ∂u x i = 1: = ε xx ∂x ∂u y i = 2: = ε xy + θ 3 ∂x ∂u z i = 3: = ε xz − θ 2 ∂x j=2 ∂u x = ε xy − θ 3 ∂y ∂u y = ε yy ∂y ∂u z = ε yz + θ1 ∂y j=3 ∂u x = ε xz + θ 2 ∂z ∂u y = ε yz − θ1 ∂z ∂u z = ε zz ∂z (3.28) 3.4.2 Integración del campo de deformaciones Sea ε(x, t ) el campo de deformaciones infinitesimales que se quiere integrar Esta operación se hará en dos pasos: 1) Utilizando las expresiones (3.24) a (3.26), se integra el vector de rotación θ( x, t ) . La integración, respecto al espacio, del vector de rotación en las ecuaciones (3.24) a (3.26) conducirá a soluciones del tipo: ~ θi = θi (x, y , z, t ) + ci (t ) i ∈ {1,2,3} (3.29) donde las constantes de integración, c i (t ) , que en general pueden ser función del tiempo, se pueden determinar conociendo el valor (o la evolución a lo largo del tiempo) del vector de rotación en algún punto del medio. 3 Ecuaciones de compatibilidad 80 2) En un segundo paso, conocidos ahora el tensor de deformación infinitesimal ε( x, t ) y el vector de rotación θ( x, t ) , se integra el campo de desplazamientos u (x, t ) utilizando el sistema de E.D.P´s de primer orden (3.28) obteniéndose: u i = u~i (x, y , z , t ) + c i' (t ) i ∈ {1,2,3} (3.30) De nuevo, las constantes de integración c i′ (t ) que aparecen en la ecuación (3.30), que en general serán función del tiempo, se determinarán conociendo el valor (o la evolución a lo largo del tiempo) de los desplazamientos en algún punto del espacio. Observación 3-7 Los procesos de integración de los pasos 1) y 2) implican integrar sistemas de E.D.P.´s de primer orden. Si se cumplen las ecuaciones de compatibilidad (3.16), estos sistemas serán integrables (sin conducir a contradicciones en su integración) permitiendo, finalmente, la obtención del campo de desplazamientos Observación 3-8 La aparición de las constantes de integración en las ecuaciones (3.29) y (3.30) pone de manifiesto que un tensor de deformación integrable, ε( x, t ) , determina el movimiento en cada instante de tiempo salvo not not una rotación c(t ) = θˆ (t ) y una traslación c ′(t ) = uˆ (t ) : N O T A El tensor de rotación de ˆ (t ) sólido rígido Ω (antisimétrico) se construye a partir del vector de rotación θˆ (t ) como: ˆ ≡ Ω ˆ ˆ ⎤ ⎡ 0 Ω −Ω 12 31 ⎢ ˆ ⎥ ˆ 0 − Ω Ω 23 ⎥ = ⎢ 12 ˆ ˆ ⎢Ω 0 ⎥⎦ ⎣ 31 − Ω23 ⎡ 0 − θˆ 3 θˆ 2 ⎤ ⎢ ˆ ⎥ 0 − θˆ 1 ⎥ ⎢ θ3 ⎢− θˆ 2 θˆ 1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎧⎪θ( x, t ) = ~ θ (x, t ) + θˆ (t ) ε( x, t ) → ⎨ ~( x, t ) + uˆ (t ) ⎪⎩u (x, t ) = u A partir de dicha rotación θˆ (t ) y traslación uˆ (t ) uniformes, puede construirse el siguiente campo de desplazamientos: ˆ (t ) x + uˆ (t ) u ∗ ( x, t ) = Ω ( ⇒ u∗ ⊗ ∇ = Ωˆ ) que se denomina desplazamiento de sólido rígido. En efecto, la deformación asociada a dicho desplazamiento es nula: 1 1 ˆ ˆT ε ∗ ( x, t ) = ∇ S u * = ( u ∗ ⊗ ∇ + ∇ ⊗ u ∗ ) = ( Ω +Ω ) = 0 2 2 ˆ −Ω tal como corresponde al concepto de sólido rígido (sin deformación). Por consiguiente, puede concluirse que todo campo de deformación compatible determina los desplazamientos del medio continuo salvo un desplazamiento de sólido rígido, el cual debe determinarse con las condiciones de contorno apropiadas. 81 3 Ecuaciones de compatibilidad Ejemplo 3-1 Para un cierto movimiento el tensor de deformación infinitesimal tiene el siguiente valor: y 3 2 ⎤ ⎡ − x z⎥ ⎢ 8x 2 2 ⎢ y ⎥ ε( x, t ) = ⎢ − x 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢3 2 3 ⎥ x z 0 x ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Obtener el vector de desplazamientos u(x, t ) y el tensor de rotación Ω (x, t ) sabiendo que: u (x, t ) | x =(0 , 0, 0) = {3t ,0,0}T y Ω( x, t ) | x =(0 ,0 ,0 ) = 0 . T T 1) Vector de rotación: Planteando los sistemas de ecuaciones(3.24) a (3.26), se obtiene: ∂θ1 =0 ∂x ∂θ 2 = −3 xz ∂x ∂θ 3 =0 ∂x ∂θ1 ∂ θ1 =0 ; =0 ⇒ θ1 = C1 (t ) ∂y ∂z ∂θ 2 ∂θ 2 3 3 =0 ; = − x 2 ⇒ θ 2 = − x 2 z + C 2 (t ) ; ∂y ∂z 2 2 ∂θ 3 3 ∂θ 3 3 = =0 ⇒ θ 3 = y + C 3 (t ) ; ; ∂y 2 ∂z 2 Las constantes de integración C i (t ) se determinan imponiendo que Ω( x, t ) | x =(0 ,0 ,0 ) = 0 (y por tanto el vector de rotación θ( x, t ) | x =(0 ,0 ,0 ) = 0 ) ; T T obteniéndose: C1 (t ) = C 2 (t ) = C 3 (t ) = 0 ⇒ ⎧ ⎪ ⎪⎪ θ( x) = ⎨− ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎫ ⎪ 3 2 ⎪⎪ x z⎬ 2 ⎪ 3 y ⎪ ⎪⎭ 2 0 y el tensor de rotación resulta ser: ⎡ 0 Ω (x) = ⎢⎢ θ 3 ⎢⎣− θ 2 − θ3 0 θ1 3 3 ⎤ ⎡ − y − x 2 z⎥ 0 ⎢ 2 2 θ2 ⎤ ⎢ ⎥ 3 − θ1 ⎥⎥ = ⎢ y 0 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢ 3 2 ⎥ x z 0 0 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2) Vector de desplazamientos: Planteando, e integrando, los sistemas de ecuaciones (3.28) se tiene: ∂u1 ∂u1 ∂u1 = 8x = −2 y ; =0 ⇒ u1 = 4 x 2 − y 2 + C1' (t ) ; ∂x ∂y ∂z ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2 =y =x =0 ⇒ u 2 = xy + C 2' (t ) ; ; ∂x ∂y ∂z ∂u 3 ∂u 3 ∂u 3 = x 3 ⇒ u 3 = x 3 z + C 3' (t ) =0 = 3x 2 z ; ; ∂z ∂y ∂x 3 Ecuaciones de compatibilidad 82 e imponiendo que u(x, t ) | x=(0, 0, 0) = {3t ,0,0}T : T C1 (t ) = 3 t ; C 2 (t ) = C3 (t ) = 0 ⇒ ⎧4 x 2 − y 2 + 3t ⎫ ⎪ ⎪ xy u (x, t ) = ⎨ ⎬ 3 ⎪ ⎪ x z ⎩ ⎭ 3.5 Ecuaciones de compatibilidad e integración del tensor velocidad de deformación Teniendo en cuenta las definiciones de los tensores de deformación infinitesimal ε del tensor de rotación Ω y del vector de rotación θ , existe una clara correspondencia entre estas magnitudes y a) el tensor velocidad de deformación d , b) el tensor velocidad de rotación w (o tensor spin) y c) el vector velocidad de rotación ω dados en el capítulo 2. Dichas correspondencias se pueden establecer como sigue: u ε (u ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ∂u j ⎞ 1 ⎛ ∂u ⎟ Ω ij = ⎜ i − ⎜ 2 ⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ 1 θ= ∇×u 2 ε ij = 1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j + 2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i ↔ v d( v ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ∂v j ⎞ 1 ⎛ ∂v ⎟ w ij = ⎜ i − ⎜ 2 ⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ 1 ω= ∇×v 2 d ij = 1 ⎛⎜ ∂v i ∂v j + 2 ⎜⎝ ∂x j ∂x i (3.31) Es evidente entonces que el concepto de compatibilidad de un campo de deformaciones ε introducido en el apartado 3.1 puede extenderse, en virtud de la correspondencia (3.31), a la compatibilidad de un campo de velocidad de deformación d(x, t ) . Para integrar dicho campo se podrá utilizar el mismo procedimiento visto en el apartado 3.4.2 sustituyendo ε por d , u por v , Ω por w y θ por ω . Ciertamente esta integración solo podrá llevarse a cabo si se cumplen las ecuaciones de compatibilidad (3.16) en las componentes de d(x, t ) . Observación 3-9 Las ecuaciones de compatibilidad resultantes y el proceso de integración del tensor velocidad de deformación d(x, t ) no están, en este caso, restringidos al caso de deformación infinitesimal. 4 Tensión 4.1 Fuerzas másicas y superficiales Consideraremos que las fuerzas que pueden actuar sobre un medio continuo pueden ser de dos tipos: fuerzas másicas y fuerzas de superficie (o superficiales). 4.1.1 Fuerzas másicas Definición: Fuerzas másicas: son las fuerzas que se ejercen a distancia sobre las partículas del interior del medio continuo. Ejemplos de dicho tipo de fuerzas son las fuerzas gravitatorias, las inerciales o las de atracción magnética. fV x3 P d fV = ρ b dV dV ê 3 ê1 x2 ê 2 b x1 Figura 4-1– Fuerzas másicas en el medio continuo Sea b(x, t ) la descripción espacial del campo vectorial fuerzas másicas por unidad de masa. Multiplicando el vector de fuerzas másicas b(x, t ) por la densidad ρ , se obtiene el vector de fuerzas másicas por unidad de volumen ρb(x, t ) (densidad de fuerzas másicas). La resultante total, f V , de las fuerzas másicas sobre el volumen material V de la Figura 4-1 será: fV = ∫ ρ b(x, t ) dV V (4.1) 84 4 Tensión Observación 4-1 En la definición de las fuerzas de volumen dada en (4.1), se acepta implícitamente la existencia del vector ρb(x, t ) de densidad de fuerzas másicas. Esto supone que, dada una secuencia arbitraria de volúmenes ΔVi que contienen a la partícula P y la correspondiente secuencia de fuerzas másicas f ΔV , existe el límite ρb(x, t ) = lim ΔVi →0 i f ΔVi ΔVi y además es independiente de la secuencia de volúmenes considerada. Ejemplo 4-1 – Para un medio continuo, de volumen V, situado en la superficie terrestre, obtener el valor de la resultante de las fuerzas másicas en función de la constante gravitatoria g . x3 g ê 3 ê1 x2 ê 2 x1 Figura 4-2– Campo gravitacional Suponiendo un sistema de ejes cartesianos (ver Figura 4-2) tal que el eje x 3 tenga la dirección de la vertical desde el centro de la tierra el campo vectorial b (x,t ) de las fuerzas gravitatorias por unidad de masa es: ⎡ 0 ⎤ b (x, t ) = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢⎣− g ⎥⎦ y el valor de las fuerzas másicas puede calcularse como: ⎡ ⎤ 0 ⎢ ⎥ ⎥ f V = ∫ ρ b (x, t ) dV = ⎢ 0 ⎢ ⎥ V ⎢⎣− ∫V ρ g dV ⎥⎦ 85 4 Tensión 4.1.2 Fuerzas superficiales Definición: Fuerzas superficiales: fuerzas que actúan sobre el contorno del volumen material considerado. Pueden considerarse producidas por las acciones de contacto de las partículas situadas en el contorno del medio con el exterior del mismo. Sea t (x, t ) la descripción espacial del campo vectorial de fuerzas superficiales por unidad de superficie en el medio continuo de la Figura 4-3. La fuerza resultante sobre un elemento diferencial de superficie dS será t ⋅ dS y la resultante total de las fuerzas de superficie actuando en el contorno ∂V del volumen V podrá escribirse como: f S = ∫ t (x, t ) dS (4.2) ∂V t (x, t ) V x3 df S = t dS dS ê 3 ê 2 ê1 x1 T E R M I N O L O G I A En la literatura suele denominarse vector de tracción al vector de fuerzas superficiales por unidad de superficie t , aunque este concepto puede ser extendido a puntos del interior del medio continuo x2 ∂V Figura 4-3 – Fuerzas superficiales Observación 4-2 En la definición de las fuerzas de superficie dada en (4.2) se considera implícitamente la existencia del vector de fuerzas superficiales por unidad de superficie t (x, t ) (vector de tracción). En otras palabras, si se considera una secuencia de superficies ΔS i , todas ellas conteniendo al punto P, y las correspondientes fuerzas superficiales f f ΔS (ver Figura 4-4), se supone que existe el límite t (x, t ) = lim ΔΔSSi y i ΔS i →0 que éste es independiente de la secuencia de superficies elegida. i 86 4 Tensión t (x P , t ) x3 ΔS1 , f ΔS 1 P ê 3 ê1 ΔS 2 , f ΔS ΔS 3 , f ΔS n 2 3 x2 ê 2 x1 Figura 4-4– Vector de tracción 4.2 Postulados de Cauchy Consideremos un medio continuo sobre el que actúan las correspondientes fuerzas másicas y superficiales (ver Figura 4-5). Consideremos también una partícula P del interior del medio continuo y una superficie arbitraria, que pasa por el punto P y de normal unitaria n en dicho punto, que divide al medio continuo en dos partes (volúmenes materiales). En la superficie de corte, considerada ahora como parte del contorno de cada uno de estos volúmenes materiales, actuarán las fuerzas superficiales debidas al contacto entre ambos. Sea t el vector de tracción que actúa en el punto P considerado como parte del contorno del primero de estos volúmenes materiales. En principio este vector de tracción (definido ahora en un punto material del interior del medio continuo original) dependerá: 1) De cuál sea la partícula considerada, 2) de la orientación de la superficie (definida a través de la normal n) y 3) de cuál sea la propia superficie de corte. El siguiente postulado lo hace independiente de esta última condición: f1 x3 f1 f3 f3 P ê 3 ê1 t f2 ê 2 x2 x1 Figura 4-5–Postulados de Cauchy n −n P t ′ = −t f2 87 4 Tensión R E C O R D A T O R I O Un postulado es un ingrediente fundamental de una teoría que se formula como principio de la misma y que, como tal, no admite demostración. Observación 4-3 1er Postulado de Cauchy: El vector de tracción que actúa en un punto material P de un medio continuo según un plano de normal unitaria n, depende únicamente del punto P y de la normal n t = t (P, n ) . n P t (P, n ) Observación 4-4 Sea una partícula P de un medio continuo y consideremos distintas superficies que pasan por el punto P de forma que todas ellas tienen el mismo vector normal n en dicho punto. De acuerdo con el postulado de Cauchy, los vectores de tracción en el punto P, según cada una de estas superficies, coinciden. Por el contrario, si la normal a las superficies en P es distinta, los correspondientes vectores de tracción ya no coinciden (Figura 4-6). ( t P , n1 n1 ≡ n 2 ≡ n 3 P ) n1 ( ) ( t P, n1 = t P, n 2 ) = t (P , n ) 3 n2 P ( t P, n 2 Π1 Π3 Π2 Π2 Π1 Figura 4-6– Vector de tracción en un punto según distintas superficies Observación 4-5 2º Postulado de Cauchy - Principio de acción y reacción: El vector de tracciones en un punto P de un medio continuo, según un plano de normal unitaria n , es igual y de sentido contrario al vector de tracciones en el mismo punto P según un plano de normal unitaria − n en el mismo punto (ver Figura 4-5): t (P, n ) = −t (P,−n ) ) 88 4 Tensión 4.3 Tensor de tensiones 4.3.1 Preliminares: aplicación de la 2ª ley de Newton a un medio continuo Consideremos un sistema discreto de partículas en movimiento, tal que una partícula genérica i del mismo tiene una masa mi , una velocidad v i y una aceleración a i = dv i . Sobre cada partícula i actúa además una fuerza f i que se dt relaciona con su aceleración a través de la segunda ley de Newton f i = mia i (4.3) y la resultante R de las fuerzas que actúan sobre todas las partículas del sistema resulta ser: R = ∑ f i = ∑ mia i i (4.4) i Los conceptos anteriores pueden generalizarse para el caso de medios continuos entendidos como sistemas discretos constituidos por un número infinito de partículas. En este caso la aplicación de la segunda ley de Newton a un medio continuo de masa total M , sobre el que actúan unas fuerzas exteriores caracterizadas por el vector de densidad de fuerzas másicas ρb(x, t ) y el vector de tracción t ( x, t ) , cuyas partículas tienen una aceleración a(x, t ) y que ocupa en el instante t el volumen de espacio Vt se escribe: R = ∫ ρ b dV +    Vt Resultante de las fuerzas másicas 4.3.2 ∫ t dS = ∫ a dm  = ∫ ρ a dV M ρdV V  ∂Vt t Resultante de las fuerzas superficia les (4.5) Tensor de tensiones Consideremos ahora el caso particular de volumen material constituido por un tetraedro elemental situado alrededor de una partícula arbitraria P del interior del medio continuo, y orientado según se muestra en la Figura 4-7. Sin pérdida de generalidad puede situarse el origen de coordenadas en P. El tetraedro tiene un vértice en P y sus caras quedan definidas mediante un plano de normal n ≡ {n1 , n 2 , n3 }T que intersecta con los planos coordenados definiendo una superficie genérica de área S (la base del tetraedro) a una distancia h (la altura del tetraedro) del punto P . A su vez, los planos coordenados definen las otras caras del tetraedro de áreas S1 , S 2 y S 3 con normales (hacia fuera) − ê1 , − ê 2 y − ê 3 , respectivamente. Por consideraciones geométricas pueden establecerse las relaciones: S1 = n1 S S 2 = n2 S S 3 = n3 S (4.6) En la Figura 4-8, se introduce la notación para los vectores de tracción en cada una de las caras del tetraedro considerado y asociados a las correspondientes normales. 89 4 Tensión x3 S2 ABC = S S1 C − ê1 − ê 2 BPC = S1 = n1 S S APC = S 2 = n 2 S n P´ APB = S 3 = n3 S B P n = {n1 , n 2 , n3 } T x2 A S3 − ê 3 x1 Figura 4-7 – Tetraedro elemental alrededor de un punto material P x3 − t (2 ) * − t (1) C − ê 2 PP´ // n * ABC = S = área de la base del tetraedro − ê1 P´ PP´ = h = altura del tetraedro t* n 1 V = S h ≡ volumen del tetraedro 3 B P x2 A x1 − ê 3 − t (3 ) * Figura 4-8 – Vectores de tracción en el tetraedro elemental Por el segundo postulado de Cauchy (ver Observación 4-5) el vector de tracción sobre un punto genérico x de una de las superficies S i (de normal hacia fuera − ê i ) puede escribirse not t ( x,−eˆ i ) = −t (x, eˆ i ) = − t (i ) ( x) i ∈{1,2,3} (4.7) Observación 4-6 Teorema del valor medio: Dada una función (escalar, vectorial o tensorial) continua en el interior de un dominio (compacto), la función alcanza su valor medio en el interior de dicho dominio. En términos matemáticos: Dada f (x ) continua en Ω, ∃ x * ∈ Ω ∫ f (x) dΩ = Ω ⋅ Ω ( ) f x*  Valor medio de f en Ω En la Figura 4-9 puede verse la interpretación gráfica del teorema del valor medio en una dimensión. 90 4 Tensión f (x) f ( x * )= ( ) f x* 1 f ( x) dΩ Ω Ω∫ x x* Ω Figura 4-9 – Teorema del valor medio En virtud del teorema del valor medio el campo vectorial t (i ) (x) , supuesto continuo en el dominio S i , alcanza su valor medio en el interior del mismo. * Sea x *s ∈ S i el punto donde se alcanza del valor medio y t (i ) = t (i ) ( x *s ) dicho I I valor medio. De forma análoga sean t = * t (x *S ), ρ b * * = ρ(x V* ) b (x V* ) y ρ * a * = ρ(x V* ) a( xV* ) los correspondientes valores medios de los campos: vector de tracción t (x) en S , densidad de fuerzas másicas ρ b(x) y de aceleración ρ a(x) , los cuales, de nuevo en virtud del teorema del valor medio, se alcanzan en los puntos, x *s ∈ S y xV* ∈V del interior de los correspondientes dominios. En consecuencia puede escribirse: ∫t S (i ) * (x) dS = t (i ) ⋅ S i i ∈{1,2,3} i ∫ t(x) dS = t * ⋅S S (4.8) * * ∫ ρ(x) b(x) dV = ρ b ⋅ V V ∫ ρ(x) a(x) dV = ρ a * * ⋅V V Aplicando ahora la ecuación (4.5) al tetraedro considerado, se tendrá: ∫ ρ b dV + ∫S t dS + S∫ t dS + S∫ t dS + S∫ t dS = V 1 2 3 = ∫ ρ b dV + ∫ t dS + ∫ ( −t ) dS + ∫ ( −t ( 2 ) ) dS + ∫ ( −t (3) ) dS = ∫ ρ a dV (1) V S S1 S2 S3 (4.9) V donde se ha tenido en cuenta la ecuación (4.7). Substituyendo la ecuación (4.8) en la expresión (4.9), ésta se puede escribir en términos de los valores medios como: ρ * b * V + t * S − t (1) S1 − t (2 ) S 2 − t (3 ) S 3 = ρ * a * V * * * (4.10) Substituyendo ahora la ecuación (4.6) y expresando el volumen total de la 1 3 pirámide como V = S h la ecuación (4.10), puede escribirse como: 91 4 Tensión * * * 1 * * 1 ρ b h S + t * S − t (1) n 1 S − t (2 ) n 2 S − t (3 ) n 3 S = ρ * a * hS ⇒ 3 3 * * * 1 * * 1 ρ b h + t * − t (1) n 1 − t (2 ) n 2 − t (3 ) n 3 = ρ * a * h 3 3 (4.11) La expresión (4.11) es válida para cualquier tetraedro definido por un plano de normal n situado a una distancia h del punto P . Si se considera ahora un tetraedro infinitesimal, alrededor del punto P, haciendo tender a cero el valor de PP´ = h pero manteniendo constante la orientación del plano ( n =constante), en la ecuación (4.11) se tiene que los dominios S i , S y V colapsan en el punto P (ver Figura 4-7), con lo cual los puntos de los respectivos dominios en los que se obtienen los valores medios tienden también al punto P: ( ) [ ( )] * x *S → x P ⇒ im ⎡⎢t (i ) x *S ⎤⎥ = t (i ) (P ) h→0 ⎣ ⎦ * * * x S → x P ⇒ im t x S , n = t (P, n ) i i h →0 i ∈{1,2,3} (4.12) y además ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ im⎜ ρ * b * h ⎟ = im⎜ ρ * a * h ⎟ = 0 → h→0 ⎝ 3 h 0 ⎠ ⎝3 ⎠ (4.13) Tomando ahora el límite de la ecuación (4.11) y substituyendo las (4.12) y (4.13) la expresión (4.11), conduce a: t (P, n ) − t (1)n1 − t (2 )n 2 − t (3 )n 3 = 0 ⇒ t(P, n ) − t (i )n i = 0 (4.14) El vector de tracciones t (1) puede escribirse en función de sus componentes cartesianas, ver Figura 4-10, como: t (1) = σ11 eˆ 1 + σ12 eˆ 2 + σ13 eˆ 3 = σ1i eˆ i x3 (4.15) x3 σ13 t (1) ê 3 P n x1 ê1 ê 3 σ12 P ê 2 x2 σ11 ê1 ê 2 x2 x1 Figura 4-10 – Descomposición en componentes del vector de tracción t (1) Operación que puede realizarse en forma análoga por los vectores de tracción t ( 2 ) y t (3) (ver Figura 4-11): 92 4 Tensión x3 x3 t (3 ) n ê 3 ê 3 P n ê 2 P x2 ê1 ê1 t (2 ) x1 ê 2 x2 x1 Figura 4-11– Vectores de tracción t (2 ) y t (3) t (2 ) = σ 21 eˆ 1 + σ 22 eˆ 2 + σ 23 eˆ 3 = σ 2i eˆ i (4.16) t (3 ) = σ 31 eˆ 1 + σ 32 eˆ 2 + σ 33 eˆ 3 = σ 3i eˆ i (4.17) Resultando para el caso general: t (i ) ( P) = σ ij eˆ j i, j ∈{1,2,3} (4.18) σ ij ( P ) = t (ji ) ( P ) i, j ∈{1,2,3} (4.19) Observación 4-7 Nótese que en la expresión (4.19) las funciones σ ij son funciones de (las componentes de) los vectores de tracción t (ji ) ( P ) sobre superficies específicamente orientadas en el punto P. Se enfatiza, pues, que dichas funciones dependen del punto P , pero no de la normal n : σ ij = σ ij (P) Substituyendo la ecuación (4.19) en la (4.14): t ( P, n ) = ni t (i ) ⇒ t j ( P, n ) = ni t (ji ) ( P) = ni σ ij ( P ) i, j ∈{1,2,3} ⇒ t ( P, n ) = n ⋅ σ ( P ) (4.20) donde se ha definido el Tensor de Tensiones de Cauchy σ : σ = σ ij eˆ i ⊗ eˆ j (4.21) 93 4 Tensión Observación 4-8 Nótese que la expresión (4.20) t ( P, n) = n ⋅ σ( P ) es consistente con el primer postulado de Cauchy (ver Observación 4-3) y que el segundo postulado (Observación 4-5) se cumple a partir de: t (P, n ) = n ⋅ σ ⎫ ⎬ ⇒ t (P, n ) = −t (P,−n ) t (P, −n ) = −n ⋅ σ ⎭ Observación 4-9 De acuerdo con las expresiones (4.18) y (4.21) la construcción del tensor de tensiones de Cauchy se realiza a partir de los vectores de tracción según tres planos coordenados que pasan por el punto P (ver Figura 4-12). Sin embargo mediante la ecuación (4.20), se observa que en dicho tensor de tensiones σ(P ) se encuentra la información sobre los vectores de tracción correspondientes a cualquier plano (identificado por su normal n ) que pase por dicho punto. x3 x3 x3 t (1) ê 2 P ê1 x1 ê 3 x2 P P x2 x1 t t (3 ) x2 (2 ) Figura 4-12 x1 4.3.3 Representación gráfica del estado tensional en un punto Es frecuente acudir a representaciones gráficas del tensor de tensiones basadas en paralelepípedos elementales alrededor de la partícula considerada, con caras orientadas según los tres planos coordenados, y en la que los correspondientes vectores de tracción se descomponen vectorialmente en sus componentes normal y tangencial al plano de acuerdo con las expresiones (4.15) a (4.20) (ver Figura 4-13) 4.3.3.1 Notación científica La representación de la Figura 4-13 corresponde a lo que se conoce como notación científica. En dicha notación la matriz de componentes del tensor de tensiones se escribe: ⎡ σ11 σ ≡ ⎢σ 21 ⎢ ⎢⎣σ 31 σ12 σ 22 σ 32 σ13 ⎤ σ 23 ⎥ ⎥ σ 33 ⎥⎦ (4.22) 94 4 Tensión y cada componente σ ij puede caracterizarse en función de sus subíndices como: ⎧ indica el plano de actuación ⎪índice i → (plano perpendicu lar al eje x i ) ⎪ ⎪ ⎪ σ ij → ⎨ indica la dirección de la tensión ⎪ → j índice ⎪ (dirección del eje x j ) ⎪ ⎪ ⎩ t (3 ) (4.23) x3 x3 σ 33 ê 3 σ 31 σ13 ê 2 t (1 ) σ11 x2 ê 1 t (2 ) x1 σ 32 σ 23 σ 22 σ12 σ 21 x2 x1 Figura 4-13 – Representación gráfica del tensor de tensiones (notación científica) 4.3.3.2 Notación ingenieril En notación ingenieril, las componentes del tensor de tensiones de Cauchy se escriben (ver Figura 4-14): ⎡ σ x τ xy τ xz ⎤ ⎥ ⎢ σ ≡ ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ ⎢ τ zx τ yz σ z ⎥ ⎦ ⎣ ⎧σ a → Tensión normal actuante sobre el plano perpendicu lar al eje a ⎪ ⎪ ⎪ Tensión tangencial actuante sobre el plano perpendicu lar al eje a ⎨ ⎪τ ab → en la dirección del eje b ⎪ ⎪⎩ (4.24) (4.25) z σz τ zy τ zx τ xz σx τ yz τ xy τ yx σy y x Figura 4-14 - Representación gráfica del tensor de tensiones (notación ingenieril) 95 4 Tensión 4.3.3.3 Criterio de signos Consideremos un partícula P del medio continuo y un plano de normal n que pase por (ver Figura 4-15). El correspondiente vector de tracción t puede descomponerse en sus componentes normal σ n y tangencial τ n . El signo de la proyección de t sobre n ( σ = t ⋅ n ) define el carácter de tracción ( σ n tiende a traccionar al plano) o compresión ( σ n tiende a comprimir al plano) de la componente normal. σn σn = σn t ⎧> 0 tracción σ =t⋅n ⎨ ⎩< 0 compresión n τn Figura 4-15– Descomposición del vector de tracción Este concepto puede utilizarse para definir el signo de las componentes del tensor de tensiones. A estos efectos en el paralelepípedo elemental de la Figura 4-13 se distingue entre caras vistas o positivas (cuya normal hacia fuera va en la dirección positiva del vector de la base y que se ven en la figura) y las restantes caras o caras ocultas o negativas. El criterio de signos para las caras vistas es el siguiente: ⎧ positivas (+ ) ⇒ tracción ⎩negativas ( −) ⇒ compresión Tensiones normales σ ij o σ a ⎨ ⎧ positivas (+ ) ⇒ sentido del eje b ⎩negativas ( −) ⇒ sentido contrario al eje b Tensiones tangenciales τ ab ⎨ N O T A Es evidente que valores negativos de las componentes del tensor de tensiones redundarán en representaciones gráficas de signo opuesto al de los valores positivos indicados en las figuras. De acuerdo con estos criterios los sentidos de las tensiones representados en la Figura 4-14 (sobre las caras vistas del paralelepípedo) corresponden a valores positivos de las respectivas componentes del tensor de tensiones. En virtud del principio de acción y reacción ( t (P, n ) = −t (P,−n ) ) y para las caras ocultas del paralelepípedo, dichos valores positivos de los componentes del tensor de tensiones suponen sentidos contrarios para su correspondiente representación gráfica (ver Figura 4-16). z σx τ yx τ xy σy τ yz τ zy x τ xz τ zx y σz Figura 4-16 – Tensiones positivas en los planos ocultos 96 4 Tensión 4.4 Propiedades del tensor de tensiones Consideremos un volumen material arbitrario V de un medio continuo y sea ∂V el contorno de este volumen material. Sean b (x, t ) las fuerzas másicas que actúan en V y sea t * (x, t ) el vector de tracción prescrito que actúa sobre el contorno ∂V . Sean, finalmente, a(( x, t ) el campo vectorial de aceleraciones de las partículas y σ( x, t ) el campo tensorial de tensiones de Cauchy (ver Figura 4-17). t* z b (x, t ) x ∈V ∂V t * (x, t ) x ∈ ∂V n V ê 3 ê1 dS dV ρb x y ê 2 Figura 4-17 x 4.4.1 Ecuación de Cauchy. Ecuación de equilibrio interno El tensor de tensiones, las fuerza másicas y las aceleraciones están relacionadas por la denominada Ecuación de Cauchy: ⎧∇ ⋅ σ + ρ b = ρ a Ecuación de ⎪ → ⎨ ∂σ ij Cauchy ⎪ ∂x + ρ b j = ρ a j ⎩ i ∀x ∈V i, j ∈ {1,2,3} (4.26) cuya expresión explícita en notación ingenieril resulta: ⎧ ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx ⎪ ∂x + ∂y + ∂z + ρbx = ρa x ⎪ ⎪ ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + ρby = ρa y + + ⎨ ∂z ∂y ⎪ ∂x ⎪ ∂τ ∂τ yz ∂σ z + + ρbz = ρa z ⎪ xz + ∂y ∂z ⎩ ∂x (4.27) Si el sistema está en equilibrio la aceleración es nula ( a = 0 ), la expresión (4.26) queda: ⎧∇ ⋅ σ + ρ b = 0 ⎪ → ⎨ ∂σ ij equilibrio interno ⎪ ∂x + ρb j = 0 ⎩ i Ecuación de ∀x ∈V i, j ∈ {1, 2,3} (4.28) que se conoce como la Ecuación de equilibrio interno del medio continuo. La deducción de las ecuaciones de Cauchy se hace a partir del Postulado de balance de la cantidad de movimiento que es objeto de estudio en el capítulo 5. 97 4 Tensión 4.4.2 Ecuación de equilibrio en el contorno La ecuación (4.20) puede ser ahora aplicada a los puntos del contorno considerando que el vector de tracción es ahora conocido en dichos puntos ( t = t * ). El resultado es la denominada ecuación de equilibrio en el contorno: * Ecuación de equilibrio ⎧⎪n(x, t ) ⋅ σ(x, t ) = t (x, t ) →⎨ * en el contorno i, j ∈{1,2,3} ⎪⎩ni σ ij = t j ∀x ∈ ∂V (4.29) 4.4.3 Simetría del tensor de tensiones de Cauchy Mediante la aplicación del principio de balance del momento angular (ver capítulo 5) puede demostrarse que el tensor de tensiones de Cauchy es simétrico: σ = σT σ ij = σ ji (4.30) i, j ∈ {1,2,3} Observación 4-10 La simetría del tensor de tensiones permite que las ecuaciones de Cauchy (4.28) y de equilibrio en el contorno (4.29) puedan escribirse, respectivamente, como: ⎧∇ ⋅ σ + ρ b = σ ⋅ ∇ + ρ b = ρ a ⎪ ∂σ ji ⎨ ∂σ ij ⎪ ∂x + ρb j = ∂x + ρb j = ρa j ⎩ i i ⎧⎪n ⋅ σ = σ ⋅ n = t * ( x, t ) ⎨ * ⎪⎩ni σ ij = σ ji ni = t j (x, t ) ∀x ∈ V i, j ∈ {1,2,3} ∀x ∈ ∂V ∀x ∈ ∂V i, j ∈{1,2,3} Ejemplo 4-2 – Un medio continuo se mueve con un campo de velocidades cuya descripción espacial es v( x, t ) = [z, x, y]T . El tensor de tensiones de Cauchy es de la forma: ⎡ y g(x, z, t) 0⎤ σ = ⎢⎢h(y) z(1 + t) 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ Determinar las funciones g, h y la forma espacial de las fuerzas de volumen b(x, t ) que generan el movimiento. Resolución: Sabemos que el tensor de tensiones es simétrico, por lo tanto: σ = σT ⎧ h( y ) = C ⇒ h ( y ) = g ( x , z, t ) ⇒ ⎨ ⎩ g ( x, z , t ) = C donde C es una constante. Además la divergencia del tensor resulta ser nula: 98 4 Tensión ⎡∂ ∇⋅σ = ⎢ ⎣ ∂x ∂ ∂y ⎡y ∂⎤ ⎢ ⋅ C ∂z ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 C 0⎤ z (1 + t ) 0⎥⎥ = [0 0 0] 0 0⎥⎦ por lo tanto, la ecuación de Cauchy quedará: ∇ ⋅ ı + ρb = ρa ⎫ ⎬⇒ b =a ∇⋅ı=0 ⎭ y aplicando la fórmula de la derivada material de la velocidad: ∂v dv ∂v = + v ⋅ ∇v =0 ∂t dt ∂t ⎡∂⎤ ⎢ ⎥ ⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ∂x ⎥ ∂ ⎥ ⎢ ∇v = ∇ ⊗ v ≡ ⎢ ⎥[z x y ] = ⎢0 0 1⎥ ⎢ ∂y ⎥ ⎢⎣1 0 0⎥⎦ ⎢∂⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂z ⎦ ⎡0 1 0 ⎤ a = v ⋅ ∇v = [z x y ] ⋅ ⎢⎢0 0 1⎥⎥ = [y z x ] ⎢⎣1 0 0⎥⎦ a= ⇒ b ( x, t ) = a ( x, t ) ≡ [ y z x] T 4.4.4 Diagonalización. Tensiones y direcciones principales R E C O R D A T O R I O Consideremos el tensor de tensiones σ . Al tratarse de un tensor de segundo Un teorema del álgebra orden simétrico diagonaliza en una base ortonormal y sus autovalores son tensorial garantiza que todo tensor de segundo reales. Consideremos, pues, su matriz de componentes en la base cartesiana ( x, y , z ) de trabajo (ver Figura 4-18): orden simétrico diagonaliza en una base ortonormal y sus ⎡ σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ valores propios son (4.31) σ ≡ ⎢τ xy σ y τ yz ⎥ reales. ⎢ τ xz τ yz σ z ⎥ ⎣ ⎦ ( x, y,z) En el sistema cartesiano ( x′, y ′, z′) en el que σ diagonaliza su matriz de componentes será: ⎡σ 1 σ = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 σ2 0 0⎤ 0 ⎥⎥ σ 3 ⎥⎦ ( x′, y′, z′ ) Definiciones: Direcciones principales (de tensión): Las direcciones, asociadas a los ejes ( x′, y ′, z′) , en las que el tensor de tensiones diagonaliza. Tensiones principales: Los valores propios del tensor de tensiones (σ1 , σ 2 , σ 3 ) . En general, se supondrán ordenadas de la forma {σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 } . (4.32) 99 4 Tensión z´ σ3 σ2 y´ σ1 z z x´ y´ z´ y γ x´ x β α y x Figura 4-18 – Diagonalización del tensor de tensiones Para obtener las direcciones y tensiones principales, se debe plantear el problema de autovalores asociado al tensor σ . Es decir, si λ y v son un autovalor y su correspondiente autovector, respectivamente, se plantea: σ ⋅ v = λv ⇒ [σ − λ 1] ⋅ v = 0 (4.33) Para que la solución de este sistema sea no trivial (distinta de v = 0 ), el determinante de (4.33) tiene que ser igual a cero, es decir: not det [σ − λ 1] = σ − λ 1 = 0 (4.34) La ecuación (4.34) es una ecuación polinómica de tercer grado en λ . Siendo el tensor σ simétrico, sus tres soluciones (λ 1 ≡ σ1 , λ 2 ≡ σ 2 , λ 3 ≡ σ 3 ) son reales. Una vez hallado los autovalores y ordenados según el criterio σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 , se puede obtener el vector propio v (i ) para cada tensión σ i , resolviendo el sistema (4.33): [σ − σ i 1]⋅ v (i ) = 0 i ∈{1,2,3} (4.35) que proporciona una solución no trivial para los autovectores v (i ) , ortogonales entre sí, la cual, una vez normalizada, define los tres elementos de la base correspondientes a las tres direcciones principales. Observación 4-11 De acuerdo con la interpretación gráfica de las componentes del tensor de tensiones del apartado 4.3.3, sobre las caras del paralelepípedo elemental asociado a las direcciones principales de tensión no actúan más que unas tensiones normales que son, precisamente, las tensiones principales (ver Figura 4-18). 100 4 Tensión 4.4.5 Tensión media y presión media Definición: Tensión media: Es el valor medio de las tensiones principales σm = 1 (σ + σ 2 + σ 3 ) 3 1 Observando la matriz de componentes del tensor de tensiones en las direcciones principales (4.32), resulta: σm = 1 (σ + σ 2 + σ 3 ) = 1 Tr (σ ) 3 1 3 Definición: Presión media: Es la tensión media cambiada de signo not presión media = p = −σ m = − 1 (σ + σ 2 + σ 3 ) 3 1 Definición: Estado de tensión hidrostático: Es aquel en el que las tres tensiones principales son iguales: σ1 = σ 2 = σ 3 ⎡σ 0 0 ⎤ ⇒ σ ≡ ⎢⎢ 0 σ 0 ⎥⎥ = σ 1 ⎢⎣ 0 0 σ⎥⎦ N O T A Se define como tensor isótropo a aquel que es invariante frente a cualquier cambio de base ortogonal. La expresión más general de un tensor isótropo de segundo orden es T = α 1 siendo α un escalar cualquiera. Observación 4-12 Un estado de tensión hidrostático implica que el tensor de tensiones es isótropo y, por tanto, que su matriz de componentes es la misma en cualquier sistema de coordenadas cartesianas. En consecuencia, cualquier dirección es dirección principal y el estado tensional (vector de tracción) es el mismo para cualquier plano. (4.36) 101 4 Tensión 4.4.6 Descomposición del tensor de tensiones en sus partes esférica y desviadora El tensor de tensiones ı puede descomponerse en una parte (o componente) esférica ı esf y una parte desviadora ı´ : N O T A Este tipo de descomposición puede hacerse con cualquier tensor de segundo orden. ı = ı esf + ı´   Parte esférica (4.37) Parte desviadora donde la parte esférica se define como: def σ esf : = ⎡σ m 1 Tr (ı )1 = σ m 1 ≡ ⎢⎢ 0 3 ⎢⎣ 0 0 σm 0 0 ⎤ 0 ⎥⎥ σ m ⎥⎦ (4.38) donde σ m es la tensión media definida en (4.36). Por la definición (4.37) la parte (o componente) desviadora del tensor de tensiones será: σ´= σ − σ esf ⎡σ x ⎢ ≡ ⎢τ xy ⎢τ xz ⎣ τ xy σy τ yz τ xz ⎤ ⎡σ m ⎥ τ yz ⎥ − ⎢⎢ 0 σ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 σm 0 0 ⎤ 0 ⎥⎥ σ m ⎥⎦ (4.39) resultando: ⎡σ x − σ m ⎢ σ´≡ ⎢ τ xy ⎢ τ xz ⎣ τ xy σ y − σm τ yz τ xz ⎤ ⎡ σ′x ⎥ ⎢ τ yz ⎥ = ⎢τ′xy σ z − σ m ⎥⎦ ⎢⎣τ ′xz τ′xy σ′y τ′yz τ′xz ⎤ ⎥ τ ′yz ⎥ σ′z ⎥⎦ Observación 4-13 La parte esférica del tensor de tensiones σ esf es un tensor isótropo (y define un estado tensional hidrostático) y por lo tanto es invariante frente a un cambio de base ortogonal. Observación 4-14 La componente desviadora del tensor es un indicador de cuanto se aparta el estado tensional de uno hidrostático (ver ecuación (4.39) y la Observación 4-13). Observación 4-15 Las direcciones principales del tensor de tensiones y de su componente desviadora coinciden. La demostración es trivial teniendo en cuenta que, de la Observación 4-13, la parte esférica σ esf es diagonal en cualquier sistema de coordenadas. En consecuencia, en la ecuación (4.39), si σ diagonaliza en una cierta base, también lo hace σ′ . (4.40) 102 4 Tensión Observación 4-16 La traza del tensor (componente) desviador es nula. Teniendo en cuenta las ecuaciones (4.36) y (4.39): Tr (σ´) = Tr (σ − σ esf ) = Tr (σ) − Tr (σ esf ) = 3σ m − 3σ m = 0 4.4.7 Invariantes tensoriales Los tres invariantes fundamentales del tensor de tensiones (o invariantes I) son: R E C O R D A T O R I O Los invariantes tensoriales son combinaciones algebraicas escalares de las componentes de un tensor, que no cambian al cambiar la base. I2 = I 1 = Tr (σ) = σ ii = σ x + σ y + σ z (4.41) ( ) (4.42) I 3 = det (ı ) (4.43) 1 σ : σ − I 12 = −(σ1σ 2 + σ1 σ 3 + σ 2 σ 3 ) 2 Cualquier combinación de los invariantes I es a su vez otro invariante. Así se definen los siguientes invariantes J : J 1 = I 1 = σ ii J2 = J3 = ( ( (4.44) ) (4.45) ) (4.46) 1 2 1 1 I 1 + 2 I 2 = σ ij σ ji = (σ : σ ) 2 2 2 1 3 1 1 I 1 + 3I 1 I 2 + 3I 3 = Tr (ı ⋅ ı ⋅ ı ) = σ ij σ jk σ ki 3 3 3 Observación 4-17 Para un tensor puramente desviador σ ′ los correspondientes invariantes J resultan ser (ver Observación 4-16 y las ecuaciones (4.41) a (4.46)): ⎧ ⎪ J 1 ´= I 1′ = 0 J 1 = I 1 = 0⎫ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ J 2 = I 2 ⎬ ⇒ σ´ ⇒ ⎨ J 2 ´= I 2′ = (σ ′ : σ ′) = σ′ij σ′ji 2 2 ⎪ ⎪ J 3 =I 3 ⎭ 1 ⎪ ⎪⎩ J 3 ´= I ′ 3= 3 σ′ij σ′jk σ′ki ( ) 103 4 Tensión 4.5 Tensor de tensiones en coordenadas curvilíneas ortogonales N O T A Son aplicables aquí los mismos conceptos y nociones respecto a sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, explicados en el apartado 2.15 del capítulo 2. 4.5.1 Coordenadas cilíndricas Consideremos un punto en el espacio definido por las coordenadas cilíndricas {r ,θ , z} (ver Figura 4-19): ⎧ x = r cos θ ⎪ x( r , θ, z ) ≡ ⎨ y = r sinθ ⎪z = z ⎩ y´ z´ z r ê z ê θ ê r x´ z r θ y x Figura 4-19 – Coordenadas cilíndricas En dicho punto consideraremos la base física (ortonormal) {eˆ r , eˆ θ , eˆ z } y un sistema cartesiano de ejes locales { x´ , y´ , z´ } definido dextrógiro. En esta base las componentes del tensor de tensiones son: ⎡ σ x´ ⎢ ı = ⎢ τ x´ y ′ ⎢ τ x´ z ´ ⎣ τ x´ y´ σ y´ τ y´ z´ τ x´ z´ ⎤ ⎡ σ r ⎥ τ y´ z´ ⎥ = ⎢τ rθ ⎢ σ z´ ⎥⎦ ⎣⎢ τ rz τ rθ σθ τ θz τ rz ⎤ τ θz ⎥ ⎥ σ z ⎦⎥ dS = r dθ σz dz r z θ dθ σθ r dr dV = r dθ dr dz τ zθ τ zr τ θr τ θz (4.47) τ rz τ rθ σr dV Figura 4-20– Elemento diferencial en coordenadas cilíndricas cuya representación gráfica sobre un paralelepípedo elemental puede verse en la Figura 4-20, donde se han dibujado las componentes del tensor de tensiones en las caras vistas. Nótese que, ahora, las caras vistas en la figura no coinciden con las caras positivas, definidas (en el mismo sentido que en el apartado 4.3.3.3) como aquellas cuya normal coincide (en dirección y sentido) con un vector de la base física. 104 4 Tensión 4.5.2 Coordenadas esféricas Un punto en el espacio está definido por las coordenadas esféricas {r , θ, φ} (ver Figura 4-21). Línea coordenadas φ ⎧ x = r sinθ cos φ ⎪ x = x(r , θ, φ) ≡ ⎨ y = r sinθ sen φ ⎪ z = r cos θ ⎩ z x´ ê r θ r ê θ z´ ê φ φ y y´ x Línea coordenada θ Figura 4-21– Coordenadas esféricas Para cada punto consideraremos la base física (ortonormal) {eˆ r , eˆ θ , eˆ φ } y un sistema de ejes locales cartesiano{ x´ , y´ , z´ } definido dextrógiro. En esta base las componentes del tensor de tensiones son: ⎡ σ x´ ⎢ σ ≡ ⎢ τ x´ y ′ ⎢ τ x´ z´ ⎣ τ x´ y ´ σ y´ τ y´ z ´ τ x´ z ´ ⎤ ⎡ σ r ⎥ ⎢ τ y´ z´ ⎥ = ⎢τ rθ σ z´ ⎥⎦ ⎢⎣ τ rφ τ rθ σθ τ φθ τ rφ ⎤ ⎥ τ θφ ⎥ σ φ ⎥⎦ (4.48) La representación gráfica de las componentes del tensor de tensiones en coordenadas esféricas puede verse en la Figura 4-22, donde se han dibujado las componentes del tensor de tensiones en las caras vistas. dφ σr z τ θφ τ rθ τ θφ σφ dθ θ φ τφ r r y τ rφ τ rθ σθ dV = r 2 sinθ dr dθ dφ x Figura 4-22 – Elemento diferencial en coordenadas esféricas 105 4 Tensión 4.6 Círculo de Mohr en 3 dimensiones 4.6.1 Interpretación gráfica de estados tensionales El tensor de tensiones juega un papel tan crucial en la ingeniería que, tradicionalmente, se han desarrollado diversos procedimientos, esencialmente gráficos, para su visualización e interpretación. Los más comunes son los denominados Círculos de Mohr. Sea P un punto arbitrario de un medio continuo y sea σ(P ) el tensor de tensiones en dicho punto. Consideremos un plano arbitrario, con normal unitaria n , que pasa por P (ver Figura 4-23). El vector de tracción en el punto P correspondiente a dicho plano es t = σ ⋅ n . Podemos descomponer ahora dicho vector en sus componentes σ n , normal al plano considerado, y la componente τ n tangente a dicho plano. Consideremos ahora la componente normal σ n = σ n , donde σ es la componente normal de la tensión sobre el plano, definida de acuerdo con el criterio de signos del apartado 4.3.3.3: σn = σ ⋅ n ⎧σ > 0 tracción ⎨ ⎩σ < 0 compresión (4.49) Consideremos ahora la componente tangencial τ n , de la que sólo nos va a interesar su módulo: τn = t − σn τn = τ ≥ 0 (4.50) σn t n τn Figura 4-23 – Descomposición del vector de tracción Podemos caracterizar ahora el estado tensional en el punto considerado sobre el plano de normal n mediante la pareja: ⎧ σ∈R (σ, τ) → ⎨ ⎩τ ∈ R + (4.51) que, a su vez, determina un punto del semiplano (x ≡ σ, y ≡ τ) ∈ R × R + de la Figura 4-24. Si consideramos ahora los infinitos planos que pasan por el punto P (caracterizados por todas las posibles normales n (i ) ) y obtenemos los correspondientes valores de la tensión normal σ i y tangencial τ i y, finalmente, los representamos en el semiespacio mencionado, obtendremos una nube de puntos de la que podemos preguntarnos si ocupa todo el semiespacio o está limitada a un lugar geométrico determinado. La repuesta a dicha pregunta la proporciona el análisis que sigue. 106 4 Tensión τ (σ1 , τ1 ) n1 → (σ1 , τ1 ) n2 → (σ 2 , τ 2 ) (σ 2 , τ 2 ) . . . (σ i , τ i ) ni → (σ i , τ i ) σ Figura 4-24 – Lugar geométrico de los puntos (σ, τ) 4.6.2 Determinación de los círculos de Mohr Consideremos el sistema de ejes cartesianos asociado a las direcciones principales del tensor de tensiones. En esta base, las componentes del tensor serán: ⎡σ 1 σ ≡ ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 σ2 0 0⎤ 0 ⎥⎥ con σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 σ 3 ⎥⎦ (4.52) y el vector de tracción tendrá por componentes ⎡ σ1 t = σ ⋅ n = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 σ2 0 0 ⎤ ⎡ n1 ⎤ ⎡ σ1 n1 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢n2 ⎥⎥ = ⎢⎢σ 2 n2 ⎥⎥ σ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ n3 ⎥⎦ ⎢⎣ σ 3 n3 ⎥⎦ (4.53) donde n1 , n 2 , n3 son las componentes de la normal n en la base asociada a las direcciones principales. A la vista de la ecuación (4.53) la componente normal de la tensión ( σ ), definida en la ecuación (4.49), y el módulo del vector de tracción serán, respectivamente: ⎡ n1 ⎤ t ⋅ n = [σ1 n1 , σ 2 n2 , σ 3 n3 ] ⎢⎢n2 ⎥⎥ = σ1 n12 + σ 2 n 22 + σ 3 n32 = σ ⎢⎣ n3 ⎥⎦ 2 t = t ⋅ t = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 (4.54) (4.55) También podemos relacionar los módulos del vector de tracción y de sus componentes normal y tangencial mediante: 2 t = σ12 n12 + σ 22 n 22 + σ 32 n32 = σ 2 + τ 2 (4.56) donde se ha tenido en cuenta la expresión (4.55). Finalmente, la condición de normal unitaria de n se puede expresar en función de sus componentes como: n = 1 ⇒ n12 + n22 + n32 = 1 (4.57) Las ecuaciones (4.56), (4.54) y (4.57) se pueden sintetizar en la siguiente ecuación matricial: 107 4 Tensión ⎡σ12 σ 22 σ 32 ⎤ ⎡n12 ⎤ ⎡σ 2 + τ 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ1 σ 2 σ 3 ⎥ ⎢ n 2 ⎥ = ⎢ σ ⎥ ⇒ A ⋅ x = b ⎢1 1 1 ⎥ ⎢⎣n32 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎣ ⎦    x A (4.58) b El sistema (4.58) puede ser interpretado como un sistema lineal con: a) Una matriz de coeficientes, A (σ) , definida por el tensor de tensiones en el punto P (a través de las tensiones principales). b) Un término independiente, b , definido por las coordenadas de un cierto punto en el semiespacio σ − τ (representativas a su vez del estado tensional sobre un cierto plano) c) Un vector de incógnitas x que determina (mediante las componentes de la normal n ) a qué plano corresponden los valores de ı y IJ elegidos. Observación 4-18 En principio solo serán factibles las soluciones del sistema (4.58) T cuyas componentes x ≡ n12 , n 22 , n32 sean positivas y menores que 1 [ ⎧0 ≤ ⎪ (ver ecuación (4.57)). ⇒ ⎨0 ≤ ⎪0 ≤ ⎩ ] n12 n 22 n32 ≤1 ≤1 ≤1 Toda pareja (σ, τ) que conduzca a una solución x que cumpla este requisito será considerado un punto factible del semiespacio σ − τ , el cual es representativo del estado tensional sobre un plano que pasa por P. El lugar geométrico de los puntos (σ, τ) factibles es la denominada región factible del semiespacio σ − τ . Consideremos ahora el objetivo de encontrar la región factible. Mediante algunas operaciones algebraicas, el sistema (4.58) puede ser reescrito como: ⎧ A 2 2 n12 = 0 ⎪( I ) → σ + τ − σ 1 + σ 3 σ + σ 1σ 3 − σ1 −σ3 ⎪ ⎪⎪ A 2 2 n22 = 0 ⎨( II ) → σ + τ − σ 2 + σ 3 σ + σ 2σ 3 − − σ σ ⎪ 2 3 ⎪ A ⎪( III ) → σ 2 + τ 2 − σ 1 + σ 2 σ + σ 1σ 2 − n32 = 0 σ1 − σ 2 ⎩⎪ ( )( ( ) ( ) ( ) )( A = σ1 − σ 2 σ 2 −σ 3 σ1 − σ 3 ) ( ) ( ) ( ) (4.59) Consideremos ahora, por ejemplo, la ecuación (III) del sistema (4.59). Es fácil comprobar que puede escribirse como: (σ − a )2 + τ 2 = R 2 ( ) 1 ⎧ ⎪⎪a = 2 σ 1 + σ 2 ⎨ ⎪R = 1 σ − σ 1 2 ⎪⎩ 4 ( (4.60) ) + (σ 2 2 )( ) − σ 3 σ 1 − σ 3 n 32 108 4 Tensión que corresponde a la ecuación de una semicircunferencia en el semiespacio σ − τ de centro C3 y radio R3 : ( ) ( ) + (σ ⎛1 ⎞ C 3 = ⎜ σ 1 + σ 2 ;0 ⎟ ⎝2 ⎠ 1 R3 = σ1 −σ 2 4 2 2 )( −σ 3 σ1 − σ 3 ) (4.61) n32 Los distintos valores de n32 ∈ [0,1] determinarán un conjunto de semicircunferencias concéntricas de centro C 3 y radios R3 ( n3 ) en el semiespacio σ − τ , cuyos puntos ocuparán una cierta región del mismo. Dicha región vendrá delimitada por los valores máximo y mínimo de R3 ( n3 ) . Observando que el radical de la expresión de R3 en (4.61) es positivo, estos valores se obtendrán para n32 = 0 (el radio mínimo) y n32 = 1 (el radio máximo) n32 = 0 ⇒ R3mín = ( ) n32 = 1 ⇒ R3max ( ) 1 σ1 − σ 2 2 1 = σ1 + σ 2 − σ 3 2 (4.62) El dominio delimitado por ambas semicircunferencias definirá una primera limitación del dominio factible al indicado en la Figura 4-25. τ R3max R3mín σ3 σ2 C3 σ1 σ Figura 4-25 – Primera limitación del dominio factible El proceso puede ser ahora repetido para las otras dos ecuaciones (I) y (II) de (4.59) obteniéndose los siguientes resultados: - - - ⎞ ⎧ ⎛ 1 mín ⎟ ⎜ 1 ⎪R1 = (σ 2 − σ 3 ) 2 Ecuación (I ) : C1 = ⎜ (σ 2 + σ 3 ),0 ⎟ ⇒ ⎨ ⎜ 2  ⎟ ⎪ max ⎟ ⎩R1 = σ1 − a1 ⎜ a1 ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎧ max 1 ⎜1 ⎟ ⎪ R2 = (σ1 − σ 3 ) 2 Ecuación (II ) : C 2 = ⎜ (σ1 + σ 3 ),0 ⎟ ⇒ ⎨ 2  ⎟ ⎪ mín ⎜ ⎟ ⎩ R2 = σ 2 − a 2 ⎜ a2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎧ 1 mín ⎜ ⎟ 1 ⎪R3 = (σ1 − σ 2 ) 2 Ecuación (III ) : C 3 = ⎜ (σ1 + σ 2 ),0 ⎟ ⇒ ⎨ ⎜ 2  ⎟ ⎪ max ⎜ ⎟ ⎩R3 = σ 3 − a3 a3 ⎝ ⎠ 109 4 Tensión Para cada caso se tiene, como región factible, una semi-corona definida por los radios mínimo y máximo. Evidentemente la región factible final tiene que estar en la intersección de dichas semi-coronas tal como se indica en la Figura 4-26). τ zona factible R2máx R1máx R3máx R1min σ3 R3min R2min σ2 C1 C2 σ1 C3 σ a1 a2 a3 Figura 4-26 – Zona factible En la Figura 4-27 se muestra la construcción final resultante de los tres semicírculos de Mohr pasando por los puntos σ1 , σ 2 y σ3 . τ σ3 σ2 σ1 σ Figura 4-27– Círculos de Mohr en tres dimensiones Puede demostrarse, además, que todo punto del interior del dominio encerrado por los círculos de Mohr es factible (en el sentido de que los correspondientes valores de σ y τ corresponden a estados tensionales sobre un cierto plano que pasa por el punto P). La construcción del círculo de Mohr es trivial (una vez conocidas las tres tensiones principales) y resulta de utilidad para discriminar posibles estados tensionales sobre planos, determinar valores máximos de las tensiones tangenciales etc. Ejemplo 4-3 – Las tensiones principales en un cierto punto de un medio continuo son: σ1=10 ; σ2 = 5 ; σ3 = 2 En un cierto plano, que pasa por dicho punto, las tensiones normal y tangencial son σ y τ respectivamente. Razonar si son posibles los siguientes valores de σ y τ: a) σ = 10 ; τ = 1 110 4 Tensión b) σ = 5 ; τ=4 c) σ = 3 ; τ=1 Resolución: Dibujando los Círculos de Mohr para el estado tensional que nos definen y los puntos pedidos en el semiespacio σ − τ : τ Pto. b) Pto. ) Pto. c) σ=2 σ=5 σ = 10 σ Solo en la zona sombreada es posible encontrar puntos que representen estados tensionales (puntos factibles). Se comprueba que ninguno de los considerados puede serlo. 4.7 Círculo de Mohr en 2 dimensiones N O T A Este tipo de problemas se analiza en profundidad en el capítulo 7, dedicado a la Elasticidad bidimensional. Muchos problemas reales en ingeniería se asimilan a un estado tensional ideal bidimensional en el que se conoce (o se supone) a priori cuál es una de las direcciones principales de tensión. En estos casos, haciendo coincidir el eje cartesiano x 3 (o el eje z ) con dicha dirección principal (ver Figura 4-28), las componentes del tensor de tensiones pueden escribirse como: ⎡σ11 σ ≡ ⎢⎢σ12 ⎢⎣ 0 σ12 σ 22 0 0 ⎤ ⎡σ x 0 ⎥⎥ = ⎢⎢τ xy σ 33 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 τ xy σy 0 0⎤ 0 ⎥⎥ σ z ⎥⎦ (4.63) Consideremos ahora solamente la familia de planos paralelos al eje x3 (por tanto, la componente n3 de su normal es nula). El correspondiente vector de tracción tiene la expresión: ⎡ t1 ⎤ ⎡σ11 t (P, n ) = σ ⋅ n ⇒ ⎢⎢t 2 ⎥⎥ = ⎢⎢σ12 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 σ12 σ 22 0 0 ⎤ ⎡ n1 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢n 2 ⎥⎥ σ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ (4.64) y su componente t 3 se anula. En las ecuaciones (4.63) y (4.64) las componentes del tensor de tensiones σ , de la normal al plano n y del vector tracción t , asociadas a la dirección x 3 , o bien son conocidas (este es el caso de σ13 , σ 23 , n3 o t 3 ), o bien no intervienen en el problema (como es el caso de σ 33 ). Esta circunstancia sugiere prescindir de la tercera dimensión y reducir el 111 4 Tensión análisis a las dos dimensiones asociadas a los ejes x 1 , x 2 (o x, y ) como se indica en la Figura 4-28. y y, x 2 y´ σy τ xy x´ σx x σz z x, x 1 z, x 3 σy τ xy y, x 2 σx σx τ xy x, x 1 σy Figura 4-28 – Reducción del problema de tres a dos dimensiones Entonces podemos definir el problema en el plano a partir de: σ12 ⎤ ⎡ σ x =⎢ σ 22 ⎥⎦ ⎣τ xy ⎡σ σ ≡ ⎢ 11 ⎣σ12 ⎡t ⎤ ⎡σ t (P, n ) = σ ⋅ n = ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 11 ⎣t 2 ⎦ ⎣σ12 τ xy ⎤ σ y ⎥⎦ (4.65) σ12 ⎤ ⎡ n1 ⎤ σ 22 ⎥⎦ ⎢⎣n 2 ⎥⎦ (4.66) 4.7.1 Estado tensional sobre un plano dado Sea un plano (siempre paralelo al eje z ) cuya normal unitaria n forma un ángulo θ con el eje x . Se define un vector unitario m en la dirección tangencial a la traza del plano y en el sentido indicado en la Figura 4-29. n σθ y θ θ τθ ⎧ ⎡cos θ⎤ ⎪n = ⎢ ⎥ ⎣sinθ ⎦ ⎪ ⎨ ⎪m = ⎡ sinθ⎤ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣− cos θ⎦ ⎩ t m P x Figura 4-29 – Estado tensional sobre un plano dado 112 4 Tensión Observación 4-19 Tanto la normal n como el vector tangente m y el ángulo θ en la Figura 4-29 tienen asociados los siguientes sentidos: • Vector normal n : hacia el exterior del plano (respecto a la posición del punto P) • Vector tangente m : tiende a girar en sentido horario respecto al punto P. • Angulo θ : positivo en el sentido antihorario. Sea σ el tensor de tensiones en el punto con componentes en la base cartesiana: ⎡σx ı=⎢ ⎣τ xy τ xy ⎤ σ y ⎥⎦ (4.67) Utilizando la expresión (4.66), el vector de tracción en el punto sobre el plano considerado es: ⎡σx t = ı⋅n = ⎢ ⎣τ xy τ xy ⎤ ⎡cos θ⎤ ⎡ σ x cos θ + τ xy sinθ⎤ = σ y ⎥⎦ ⎢⎣ sinθ ⎥⎦ ⎢⎣ τ xy cos θ + σ y sinθ⎥⎦ (4.68) Se definen la tension normal σ θ y la tensión tangencial τ θ , sobre el plano de inclinación θ (ver Figura 4-29) como: ⎡cos θ⎤ σ θ = t ⋅ n = σ x cos θ + τ xy sinθ ; τ xy cos θ + σ y sinθ ⎢ ⎥ ⎣ sinθ ⎦ [ ] (4.69) σ θ = σ x cos 2 θ + τ xy 2sinθ cos θ + σ y sin 2 θ ⎡ sinθ ⎤ τ θ = t ⋅ m = σ x cos θ + τ xy sinθ ; τ xy cos θ + σ y sinθ ⎢ ⎥ ⎣ − cos θ⎦ [ ] [ τ θ = σ x sinθ cos θ − σ y sinθ cos θ + τ xy sin 2 θ − cos 2 θ (4.70) ] que pueden reescribirse como: N O T A Se utilizan aquí las siguientes relaciones trigonométricas: ⎫ sin(2θ) = 2 sinθ cos θ⎪ ⎪ 1 + cos(2θ) ⎪ cos 2 θ = ⎬ 2 ⎪ 1 − cos(2θ) ⎪ 2 sin θ = ⎪⎭ 2 σx + σ y σx − σy ⎧ + cos (2θ) + τ xy sin(2θ) ⎪⎪σ θ = 2 2 ⎨ ⎪τ = σ x − σ y sin(2θ) − τ cos (2θ) xy ⎪⎩ θ 2 (4.71) 4.7.2 Problema directo: diagonalización del tensor de tensiones. El problema directo consiste en, conocidas las componentes del tensor de tensiones (4.67) en un cierto sistema de ejes x − y , obtener las direcciones y tensiones principales (ver Figura 4-30). 113 4 Tensión σy ı2 τ xy y ı1 Diagonalización de σ σx x´ y´ α x Figura 4-30 – Problema directo y problema inverso Las direcciones principales asociadas a los ejes x´ e y´ definidas por los ángulos α y π 2 + α (ver Figura 4-30), determinan las inclinaciones de los dos planos sobre los cuales las tensiones sólo tienen componente normal σ α , mientras que la componente tangencial τ α se anula. Imponiendo dicha condición en la ecuación (4.71) se obtiene: τα = σx − σy 2 sin(2α ) − τ xy cos (2α ) = 0 ⇒ tan(2α ) = τ xy σx − σy 2 1 sin(2α ) = ± 1+ 1 tg (2α ) =± τ xy ⎛ σx − σy ⎜ ⎜ 2 ⎝ 2 2 ⎞ ⎟ + τ xy 2 ⎟ ⎠ (4.72) σx − σy 1 cos (2α ) = ± 1 + tg 2 (2α ) =± 2 ⎛ σx − σy ⎜ ⎜ 2 ⎝ 2 ⎞ ⎟ + τ xy 2 ⎟ ⎠ La ecuación (4.72) proporciona dos soluciones (asociadas a los signos + y -) N O T A La tercera dirección principal es la perpendicular al plano de análisis (eje z o x 3 ), ver ecuación (4.63) y Figura 4-28. α1 y α 2 = α1 + π , que definen las dos direcciones principales (ortogonales) en 2 el plano de análisis. Las correspondientes tensiones principales se obtendrán substituyendo el ángulo θ = α de la ecuación (4.72) en la ecuación (4.71) obteniéndose: σα = σx + σ y 2 + σx − σy 2 cos(2α ) + τ xy sin(2α ) (4.73) 114 4 Tensión 2 ⎧ ⎪σ = σ x + σ y + ⎛⎜ σ x − σ y ⎞⎟ + τ 2 xy ⎜ ⎟ ⎪ 1 2 2 ⎝ ⎠ ⎪ σα → ⎨ 2 ⎪ σx + σy ⎛ σx − σy ⎞ ⎜ ⎟ ⎪σ 2 = − ⎜ + τ xy 2 ⎟ 2 2 ⎪⎩ ⎝ ⎠ (4.74) 4.7.3 Problema inverso El problema consiste en, dadas las direcciones y tensiones principales σ1 y σ 2 en el plano de análisis, obtener las tensiones sobre cualquier plano, caracterizado por el ángulo β que forma su normal con la dirección principal correspondiente a σ1 . Como caso particular puede obtenerse las componentes del tensor de tensiones sobre el rectángulo elemental asociado al sistema de ejes x − y (ver Figura 4-30). y' x' σ2 σβ β σ1 σ1 τβ Figura 4-31- Problema inverso Considerando ahora el sistema cartesiano x ′ − y ′ , asociado a las direcciones principales (ver Figura 4-31), y aplicando la ecuación (4.71) con σ x′ = σ1 , σ y′′ = σ 2 , τ x′y′ = 0 y θ ≡ β , se obtiene: σ1 + σ 2 σ1 − σ 2 + cos(2β ) 2 2 σ − σ2 τβ = 1 sin(2β) 2 σβ = (4.75) 4.7.4 Círculo de Mohr para estados planos (en dos dimensiones) Consideremos ahora todos los posible planos que pasen por el punto P y los valores de las tensiones normal y tangencial, σ θ y τ θ , definidos en la ecuación (4.71) para todos los posible valores de θ ∈ [0,2π] . Podemos caracterizar ahora el estado tensional en el punto sobre un plano de inclinación θ mediante la pareja: ⎧σ ∈ R (σ = σ θ , τ = τ θ ) → ⎨ ⎩τ ∈ R (4.76) 115 4 Tensión que, a su vez, determina un punto (x ≡ σ, y ≡ τ) ∈ R × R del plano σ − τ de la Figura 4-32. Para determinar el lugar geométrico de los puntos de dicho plano que caracterizan todos los posibles estados tensionales, sobre planos que pasen por el punto de análisis, se procede como sigue: Considerando un sistema de referencia que coincida con las direcciones principales (como en la Figura 4-31) y caracterizando la inclinación de los planos por el ángulo β con la tensión principal σ1 , de la ecuación (4.75) se obtiene: σ= σ 1 + σ 2 σ1 − σ 2 σ + σ 2 σ1 − σ 2 ⎫ + = cos (2β ) ⇒ σ − 1 cos (2β)⎪ ⎪ 2 2 2 2 ⎬ σ1 − σ 2 ⎪ τ= sin(2β) ⎪⎭ 2 (4.77) y elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumándolas, queda: 2 σ + σ2 ⎞ ⎛ ⎛ σ − σ2 ⎞ ⎜σ − 1 ⎟ + τ2 = ⎜ 1 ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 (4.78) Se observa que la ecuación (4.78), que será válida para cualquier valor del ángulo β , o, lo que es lo mismo, para cualquier plano de orientación arbitraria que pase por el punto, corresponde a una circunferencia con centro C y radio R en el plano σ − τ dados por (ver Figura 4-32): ⎛ σ + σ2 ⎞ C =⎜ 1 ,0 ⎟ 2 ⎝ ⎠ R= σ1 − σ 2 2 (4.79) τ σ1 − σ 2 2 ⎛ σ + σ2 ⎞ ,0 ⎟ C =⎜ 1 ⎝ 2 ⎠ R= R σ2 C σ1 σ Figura 4-32 – Círculo de Mohr para estados planos En consecuencia, el lugar geométrico de los puntos representativos del estado tensional sobre planos que pasan por P es un círculo (denominado círculo de Mohr), cuya construcción queda definida en la Figura 4-32. La proposición inversa también es cierta: dado un punto del círculo de Mohr, con coordenadas (σ, τ) , existe un plano que pasa por P cuyas tensiones normal y tangencial son σ y τ , respectivamente. En efecto, de la ecuación (4.77) se puede obtener: σ + σ2 ⎞ ⎛ ⎜σ − 1 ⎟ 2 ⎠ σ−a = cos(2β ) = ⎝ ; R ⎛ σ1 − σ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ sin(2β ) = τ τ = ⎛ σ1 − σ 2 ⎞ R ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ (4.80) 116 4 Tensión ecuaciones que definen de forma única el ángulo β de la normal a un plano (con la tensión principal σ1 ) al que corresponden dichas tensiones. La Figura 4-33 proporciona, además, una interpretación del ángulo 2β sobre el propio círculo de Mohr. (σ, τ) τ R σ2 ( a = σ1 + σ2 ) τ 2β σ1 C 2 σ σ Figura 4-33 – Interpretación del ángulo β 4.7.5 Propiedades del círculo de Mohr a) Para obtener el punto representativo en el círculo de Mohr del estado tensional sobre un plano cuya normal forma un ángulo β con la dirección principal σ1 : Se parte del punto representativo del plano donde actúa la dirección principal σ1 (punto ( σ1 ,0)) y se gira un ángulo 2β en el sentido que va desde σ1 a σ β σβ (ver Figura 4-33 y Figura 4-34). β τ (σ β , τβ 2β σ2 ) τβ σ1 2β ′ (σ β´ , τ β´ σ1 σ τ β´ ) σ1 β´ σ β´ Figura 4-34 b) Los puntos representativos en el círculo de Mohr de dos planos ortogonales están alineados con el centro del círculo (consecuencia de la propiedad a) para β 2 = β1 + π , ver Figura 4-35. 2 τ (σ A , τ A ) σA σB 2β + π β σ1 τB B A σ2 τA σ1 (σ B , τ B ) Figura 4-35 2β σ 117 4 Tensión c) Si se conoce el estado tensional en dos planos ortogonales se puede dibujar el círculo de Mohr. En efecto, por la propiedad b) los puntos representativos de ambos planos en el plano σ − τ están alineados con el centro de círculo de Mohr. En consecuencia, uniendo ambos puntos, la intersección con el eje σ proporciona el centro de círculo. Puesto que además se conocen dos puntos de círculo, puede trazarse éste. d) Dadas las componentes del tensor de tensiones, en una determinada base ortonormal, se puede dibujar el círculo de Mohr. Este es un caso particular de la propiedad c), en la que se conocen los puntos representativos del estado tensional sobre los planos cartesianos (ver Figura 4-36). Obsérvese en dicha figura cómo pueden calcularse el radio y los puntos diametrales del círculo. Obsérvese también que la aplicación de la propiedad a), para el punto representativo del plano perpendicular al eje x , supone moverse en sentido contrario al ángulo α (ángulo de σ x con σ1 = - ángulo de σ1 con σ x =- α ). (σ τ σy y , τ xy ) 2 ⎡σ x σ=⎢ ⎣τ xy τ xy ⎤ σ y ⎥⎦ σ1 y τ xy σ2 a = (σ x + σ y ) C 2α 2 1 σx (σ x ,− τ xy ) σy 2 σx τ xy 1 τ xy x σy 2 R = ⎛ σx − σy ⎞ ⎟ + τ xy 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ σ1 = a + R = σ2 = a − R = σx + σy 2 σx + σy 2 σ1 2 + ⎛ σx − σy ⎞ ⎟ + τ xy 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ − ⎛ σx − σy ⎞ ⎟⎟ + τ xy 2 ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ 2 α σx Figura 4-36 4.7.6 El Polo del círculo de Mohr Teorema: En el círculo de Mohr existe un punto denominado polo que tiene las siguientes propiedades: • • Si se une el polo P con otro punto A del círculo de Mohr, se obtiene una recta que es paralela al plano de cuyo estado tensional es representativo el punto A (ver Figura 4-37). La inversa también se verifica, es decir, dado un plano cualquiera, si se traza por el polo P una recta paralela a dicho plano, ésta cortará al círculo de Mohr en punto B que representa al estado tensional de dicho plano (ver Figura 4-38). σx 118 4 Tensión τ P A ( σ A , τA ) τA σA τA σ σA Figura 4-37 τ P σB B ( σ B , τB ) τB σ Figura 4-38 Demostración: Sea el tensor de tensiones en el punto y su representación gráfica sobre los planos cartesianos de la ( Figura 4-39, izquierda) denominados plano A (plano vertical) y plano B (plano horizontal). Sean A y B los correspondientes puntos en el círculo de Mohr (Figura 4-39, derecha). 1) Suponiendo que se verifica la propiedad a), el polo del círculo de Mohr podría obtenerse trazando desde el punto A una vertical (paralela al plano A) y donde corte al círculo de Mohr se encuentra el polo P. También trazando desde el punto B una recta horizontal (paralela al plano B) donde corte al círculo de Mohr, se encontraría el polo. Puede verse en la figura que en ambos casos se obtiene el mismo punto P. 2) Consideremos ahora un plano arbitrario cuya normal forma un ángulo θ con la horizontal (ver Figura 4-40; izquierda) y sean σ θ y τ θ las tensiones normal y tangencial, respectivamente, según este plano. Supongamos además que la tensión principal mayor σ1 forma un ángulo α con la tensión σ x . Entonces, la tensión σ θ formará un ángulo θ - α con la tensión principal mayor σ1 . σy N O T A Obsérvese que, de acuerdo con el criterio de signos del círculo de Mohr, la tensión tangencial sobre el plano A es τ = −τ xy τ xy A σx P σx σ2 τ xy x B (σ y , τ xy ) τ xy B y τ σy σy σx σ1 A (σ x ,− τ xy ) Figura 4-39 σ 119 4 Tensión N O T A Se utilizan aquí las siguientes propiedades geométricas: a)Un ángulo central de circunferencia tiene un valor igual que el arco que abarca. b) Un ángulo semiinscrito en un una circunferencia tiene un valor la mitad del arco que abarca. 3) Consideremos el círculo de Mohr y el polo P obtenido en el paso 1) (ver Figura 4-40, derecha). Utilizando la propiedad a) del apartado 4.7.5, podemos obtener el punto C, representativo del circulo de Mohr que corresponde al plano considerado, girando desde el punto M, y en el mismo sentido, un ángulo doble igual a 2( θ - α ) tal que el ángulo MOC es 2(θ − α) . Por construcción el ángulo AOM es 2α y el ángulo AOC , suma de ambos, es 2(θ − α) + 2α = 2θ y el arco abarcado por el mismo es AMC = 2θ . El ángulo semiinscrito APC , que abarca el mismo arco AMC , valdrá, por tanto, θ , con lo que queda demostrado que la recta PC es paralela a la traza del plano considerado. Puesto que dicho plano es cualquiera, la propiedad queda demostrada. τ σθ θ θ B σ1 α P C (σ θ , τ θ ) M θ σx O σ2 σ1 2α τθ σ 2(θ − α ) A (σ x ,−τ xy ) Figura 4-40 Ejemplo 4-4 – Calcular las tensiones que actúan en el estado III = I + II: 5 1 1 3 1 = + 45º 2 σ 45º τ Estado II Estado I Estado III Resolución: Para poder sumar los dos estados, las tensiones deben actuar sobre los mismos planos. Como los dos estados presentan planos con orientaciones diferentes, deberemos buscar las tensiones del Estado II existentes sobre los planos dados en el Estado I. Para ello, representaremos el Círculo de Mohr del Estado II: 1 3 ⎧σ = 1 ⎩τ = 0 ⎧σ = 3 ⎩τ = 0 Plano b: ⎨ Plano a: ⎨ 45º 45º σ τ ⎧σ > 0 ⎩τ < 0 Plano c: ⎨ 120 4 Tensión τ Plano horizontal (2,1) Polo Plano a(1,0) Plano b(3,0) 1 1 σ 2 3 Plano vertical (2,-1) Para dibujar el círculo, se representan los planos a y b, ya que se conocen sus estados tensionales. Además, como los puntos correspondientes en el círculo de Mohr pertenecen al eje de abscisas, definen el diámetro del círculo que queda, por tanto, determinado. Se encuentra el polo como la intersección de líneas paralelas a los dos planos inclinados 45º por los puntos que los representan. Una vez obtenido, se hace pasar por él una línea horizontal cuya intersección con el círculo (que al ser tangente al mismo es el propio polo) determina el punto representativo de un plano horizontal (2,1). Se repite el procedimiento para un plano vertical obteniendo el punto (2,-1). Con esta información se puede reconstruir el Estado II , ahora sobre planos horizontales y verticales, y sumarlo al Estado I para obtener el Estado III. 7 2 5 2 1 1 = + 2 2 Estado I 2 1 1 Estado II Estado III 4.7.7 Círculo de Mohr con el criterio de signos de la Mecánica de Suelos En la Mecánica de Suelos se suele utilizar un criterio de signos, respecto a las tensiones normales y tangenciales, que es contrario al utilizado en la Mecánica de Medios Continuos, ver Figura 4-41. Las diferencias son: • En la Mecánica de Suelos las tensiones positivas son de signo contrario (las tensiones normales son positivas cuando son de compresión, y el sentido de las tensiones tangenciales positivas viene definido por un giro antihorario respecto al plano). • El criterio de signos para los ángulos es el mismo (ángulos positivos antihorarios). 121 4 Tensión σβ β σ *β β τ*β σ1 τβ β* = β + σ1* Mecánica de Medios Continuos π 2 Mecánica de Suelos Figura 4-41 En consecuencia, si se respeta en ambos casos la ordenación de las tensiones principales ( σ1 ≥ σ 2 ), para un mismo estado tensional el orden de las tensiones principales se invertirá en la Mecánica de Suelos respecto a la Mecánica de Medios Continuos (ver Figura 4-42). σ2 σ1* σ1 σ *2 Mecánica de Medios Continuos Mecánica de Suelos Figura 4-42 Si consideramos las formulas fundamentales (4.75), punto de partida para la construcción y propiedades del círculo de Mohr, para un mismo estado tensional, utilizando los criterios de signos en ambos casos se tiene: Mecánica de Medios Continuos: σ β , τ β , σ1 , σ 2 , β ⎧σβ* = −σβ ⎪ * ⎪ τβ = − τβ ⎪⎪ Mecánica de Suelos: ⎨σ1* = −σ 2 ⎪ * ⎪ σ 2 = − σ1 ⎪β * = β + π 2 ⎪⎩ (4.81) y substituyendo las fórmulas (4.81) en las (4.75) se obtiene: ⎧ * − σ*2 − σ1* − σ*2 + σ1* + cos 2β* − π ⎪− σβ =  2 2 ⎪⎪ −COS (2β* ) ⇒ ⎨ * * ⎪− τ* = − σ 2 + σ1 sin 2β * − π  ⎪ β 2 ⎪⎩ − sin (2β* ) ( ( ) ) (4.82) 122 4 Tensión ( ) σ1* + σ*2 σ1* − σ*2 + cos 2β* 2 2 σ* − σ*2 τ*β = 1 sin 2β* 2 σ*β = (4.83) ( ) y se observa que las fórmulas fundamentales (4.83), obtenidas sobre la base de los criterios de signos de la Mecánica de Suelos, son las mismas que las (4.75), obtenidas sobre la base de los criterios de signos de la Mecánica de medios Continuos. Por consiguiente, la construcción del círculo de Mohr y sus propiedades son las mismas en ambos casos. 4.8 Círculos de Mohr para casos particulares 4.8.1 Estado tensional hidrostático Para estados tensionales hidrostáticos, caracterizados por σ1 = σ 2 = σ 3 = σ , los círculos de Mohr en tres dimensiones colapsan en un punto (ver Figura 4-43). τ σ1 = σ 2 = σ 3 σ2 σ3 σ1 τ σ σ1 = σ 2 = σ 3 σ Figura 4-43 4.8.2 Círculos de Mohr de un tensor y de su desviador Los círculos de Mohr en tres dimensiones asociados a un estado tensional y a su desviador difieren en una traslación igual a la tensión media (ver Figura 4-44). σ = σ esf + σ´   Parte esferica ; σ esf Parte desviadora ⎡σ m = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 σm 0 0 ⎤ ⎧σ1 = σ m + σ1 ´ ⎪⎪ 0 ⎥⎥ ⇒ ⎨σ 2 = σ m + σ 2 ´ σ m ⎥⎦ ⎪⎪σ 3 = σ m + σ 3 ⎩ Traslación τ τ max σ 3´ σ2´ σ1 ´ σm σ3 Figura 4-44 σ2 σ1 σ 123 4 Tensión 4.8.3 Circulo de Mohr para un estado plano de corte puro Definición: Estado plano de corte puro: Cuando existen, en el punto, dos planos ortogonales sobre los que solamente hay tensión tangencial (ver Figura 4-45, derecha). El circulo de Mohr correspondiente a un estado de corte puro caracterizado por una tensión tangencial τ * tiene por centro el origen y radio R = τ * . La demostración es inmediata a partir de los criterios de construcción del círculo de Mohr (ver Figura 4-45, izquierda). τ (0,+ τ ) * σ 2 = − τ* σ1 = τ * τ* σ τ* τ* τ* (0,−τ ) * Figura 4-45- Círculo de Mohr para un estado plano de corte puro 5 Ecuaciones de conservación-balance 5.1 Postulados de conservación-balance La Mecánica de Medios Continuos se asienta en una serie de postulados o principios generales que se suponen válidos siempre, independientemente del tipo de material y del rango de desplazamientos o de deformaciones. Entre estos se encuentran los denominados Postulados de conservación-balance que son los siguientes: • • • • Conservación de la masa. Balance del momento cinético (o cantidad de movimiento). Balance del momento angular (o momento de la cantidad de movimiento). Balance de la energía (o primer principio de la termodinámica). A estas leyes de conservación-balance es necesario añadir una restricción (que no puede se entendida rigurosamente como un postulado de conservaciónbalance) introducida por el : • Segundo principio de la termodinámica. 5.2 Flujo por transporte de masa o flujo convectivo En Mecánica de Medios Continuos, se asocia el término convección al movimiento de la masa del medio que se deriva del movimiento de sus partículas. Puesto que el medio continuo está formado por partículas, algunas de cuyas propiedades están asociadas a la cantidad de masa (peso específico, momento cinético, energía cinética, etc.), al moverse las partículas y transportarse sus masas se produce un transporte de dichas propiedades denominado transporte convectivo (ver Figura 5-1). Sea A una propiedad arbitraria del medio continuo (de carácter escalar, vectorial o tensorial) y Ψ( x, t ) la cantidad de dicha propiedad por unidad de masa del medio continuo. Consideremos una superficie de control (fija en el espacio) S (ver Figura 5-2). Debido al movimiento de las partículas del medio, éstas atraviesan a lo largo del tiempo dicha superficie y, como consecuencia, 126 5 Ecuaciones de conservación-balance existirá una cierta cantidad de la propiedad A que, asociada al transporte de masa, atraviesa la superficie de control S por unidad de tiempo. t = t0 X 3 , x3 F t dm dm P P′ ê 3 X 2 , x2 ê 2 ê1 X 1 , x1 Figura 5-1 Definición: Flujo convectivo: Se define como flujo convectivo (o flujo por transporte de masa) de una propiedad genérica A a través de una superficie de control S a la cantidad de A que, debido al transporte de masa, atraviesa la superficie S por unidad de tiempo. Flujo convectivo de A ⎫ not cantidad de A que atraviesa S ⎬ = ΦS = a través de S unidad de tiempo ⎭ v n x3 ê 3 S ê 2 x2 ê1 x1 Figura 5-2 – Flujo convectivo a través de una superficie de control Para obtener la expresión matemática del flujo convectivo de A a través de la superficie S , consideraremos un elemento diferencial de superficie dS y el vector de velocidades v de las partículas que en el instante t están sobre dS (ver Figura 5-3). En un diferencial de tiempo dt , éstas partículas habrán recorrido un trayecto dx = vdt , de forma tal que en el instante de tiempo t + dt ocuparán una nueva posición en el espacio. Si se consideran todas las partículas que han atravesado dS en el intervalo [t , t + dt ], éstas ocuparán el cilindro generado al trasladar la base dS sobre la generatriz dx = vdt , cuyo volumen viene dado por: 5 Ecuaciones de conservación-balance 127 dx = v ⋅ dt v dh = dx ⋅ n = v ⋅ n dt n dS Figura 5-3 dV = dS ⋅ dh = v ⋅ n dt dS (5.1) Conociendo el volumen ( dV ) de partículas que atraviesan dS en el intervalo de tiempo [t , t + dt ], podemos obtener la masa que atraviesa dS en el intervalo de tiempo [t , t + dt ], multiplicando (5.1) por la densidad: dm = ρ dV = ρ v ⋅ n dt dS (5.2) y, finalmente, puede obtenerse la cantidad de A que atraviesa dS en el intervalo de tiempo [t, t + dt ] , multiplicando (5.2) por la función Ψ (cantidad de A por unidad de masa): Ψ dm = ρ Ψ v ⋅ n dt dS (5.3) Dividiendo por dt la expresión (5.3), obtendremos la cantidad de la propiedad que atraviesa el diferencial de superficie de control dS por unidad de tiempo: d ΦS = Ψ dm = ρ Ψ v ⋅ n dS dt (5.4) Integrando la ecuación (5.4) sobre la superficie de control S , tendremos la cantidad de la propiedad A que atraviesa la totalidad de la superficie S por unidad de tiempo, es decir, el flujo convectivo de la propiedad A a través de S : Flujo convectivo de ⎫ ⎬ → Φ S = ∫ ρΨ v ⋅ n dS A a través de S ⎭ S (5.5) Ejemplo 5-1 – Calcular la magnitud Ψ y el correspondiente flujo convectivo Φ S para las siguientes propiedades: a) el volumen, b) la masa, c) la cantidad de movimiento, d) la energía cinética. 1) Sea la propiedad A el volumen de las partículas. Entonces Ψ será volumen por unidad de masa (el inverso de la densidad) y: A ≡V, Ψ= 1 , ρ Φ S = ∫ v ⋅ n dS = Caudal S 128 5 Ecuaciones de conservación-balance 2) Sea la propiedad A la masa. Entonces Ψ será la masa por unidad de masa (es decir la unidad): A ≡ M, Φ S = ∫ ρ v ⋅ n dS Ψ = 1, S 3) Sea la propiedad A la cantidad de movimiento ( = masa × velocidad ). Entonces Ψ será la velocidad (cantidad de movimiento por unidad de masa): A ≡ m v, Φ S = ρ v ⋅ (v ⋅ n )dS ∫ Ψ = v, S (Nótese que en este caso Ψ y el flujo convectivo Φ S tienen carácter vectorial). 4) Sea la propiedad A la energía cinética: A≡ N O T A Salvo que se indique lo contrario, cuando se trate con superficies cerradas se tomará el sentido de la normal n hacia el exterior de la superficie. 1 m v2, 2 Ψ= 1 2 v , 2 ΦS = 1 ∫ 2 ρ v ⋅ (v ⋅ n )dS 2 S