NUEVAS APROXIMACIONES DEL TIEMPO MUERTO PARA ESTUDIOS DE CONTROL

Ingeniería 13 (1,2): 41-52, 2003 San José, Costa Rica NUEVAS APROXIMACIONES DEL TIEMPO MUERTO PARA ESTUDIOS DE CONTROL Víctor M. Alfaro Ruiz Resumen Se enfrenta el problema que origina el tiempo muerto de la planta, en el estudio del comportamiento de los sistemas de control, realizando una comparación entre diferentes aproximaciones presentadas para éste en la literatura técnica. Se determinó que la aproximación de segundo orden de Sthal y Hippe, es superior a las de Padé y a otras de las existentes. Se presentan nuevas ecuaciones para aproximar el tiempo muerto de una planta y se muestra que las mismas proveen mejores resultados que las ecuaciones ya propuestas. Palabras clave: control automático, retardos de tiempo, aproximaciones. Abstract The problem related to the time delay approximations in Control Systems Theory is addressed by making a comparison among different approximations presented in the technical literature. It is determined that the second order approximation proposed by Sthal and Hippe surpasses the Padé approximation and other existing approximations. New equations to approximate the system time delay are presented and it is shown that they give better results than the equations so far proposed. Keywords: automatic control, time delay, approximations. 1. INTRODUCCIÓN El estudio analítico o por simulación de los sistemas de control realimentado, involucra normalmente la manipulación de las funciones de transferencia de los dispositivos que lo componen, como lo son el controlador, el proceso controlado y los instrumentos de medición y actuación. Suponiendo que el lazo de control realimentado es el mostrado en la Figura 1, en donde Gc(s) es la función de transferencia del controlador y Gp(s) la del conjunto actuador sensor, a la que se llamará simplemente planta, la función de transferencia de lazo cerrado es: (1) Si la planta tiene tiempo muerto, sea este real o producto del modelado del sistema, su función de transferencia se puede escribir como (2) Sustituyendo (2) en (1) se tiene que M(s) está dada por (3) 42 Ingeniería 13 (1,2): 41-52, 2003 San José, Costa Rica 2.1 Mediante series de Taylor La función f0(s) puede expandirse en una serie de Taylor como (Dwight, 1961) (6) ... Figura 1. Sistema de control realimentado. El término exponencial en el numerador no representa ningún problema para el análisis; corresponde al tiempo muerto de la planta que aparece en la respuesta del sistema de lazo cerrado. Sin embargo, el polinomio característico del sistema de lazo cerrado es de donde la aproximación mediante una serie de primer orden sería (7) y mediante una de segundo orden (8) (4) el cual no es una función racional en s. Para poder realizar estudios del desempeño, de la estabilidad y el diseño del sistema de control, es necesario aproximar entonces el tiempo muerto por alguna función racional en s, usualmente mediante un cociente de polinomios. Se ha encontrado en la literatura de control la utilización de diversas aproximaciones del tiempo muerto, algunas propuestas como mejores sin justificación, razón por lo que se deseó realizar pruebas comparativas de varias de estas aproximaciones y estudiar la posibilidad de establecer nuevas expresiones con un mejor desempeño. Los resultados de este estudio se detallan adelante. 2. (Martin et al, 1975) utilizaron la aproximación f1(s) en su procedimíento de síntesis de controladores. También se puede aproximar el tiempo muerto por el cociente de dos series de Taylor de la forma (9) La aproximación de primer orden sería entonces (10) y la de segundo orden APROXIMACIONES DEL TIEMPO MUERTO Se definirá primero la función tiempo muerto como (11) 2.2 Aproximaciones de Padé (5) y se establecerán las aproximaciones de ésta que se desean comparar. Las aproximaciones de Padé para el tiempo muerto, son de las más populares en los estudios de control por las características que este mismo estudio permitió confirmar. ALFARO: Nuevas aproximaciones del tiempo muerto... Por ejemplo (Yuwana y Seborg, 1982) utilizaron una aproximación de Padé de primer orden como parte de su procedimiento de identificación, (Rivera et al, 1986) utilizaron aproximaciones de Padé de orden cero y de primer orden en la derivación de sus fórmulas IMC para sintonización de controladores. 43 entonces, la aproximación de primer orden sería (16) que resulta ser igual a f3(s) y la de segundo La expresión general de las aproximaciones de Padé es (17) 2.4 Otras aproximaciones (12) (Jutan y Rodríguez, 1984) usaron como parte de su procedimiento de identificación con control P la aproximación Para el caso n = 1 (Padé de primer orden) se tiene (18) (Bogere y Özgen, 1989) con el mismo propósito emplearon la expresión (13) (19) que es igual a la aproximación f3(s) anterior y la aproximación de Padé de segundo orden (O’Dwyer,1996) incluyó en su tesis doctoral algunas de las aproximaciones para el tiempo muerto anteriores y las siguientes, identificadas con el nombre de su autor • (Marshall, 1979) (14) (20) • 2.3 Mediante polos y ceros múltiples La función tiempo muerto se puede definir también como la respuesta de un número infinito de sistemas de primer orden en serie de la forma (Piche,1990) (producto) (21) que es igual a f4(s) • Piche (Laguerre) (22) (15) que es igual a f6(s) 44 • Ingeniería 13 (1,2): 41-52, 2003 San José, Costa Rica (Gradshteyn y Ryzhik, 1980) (23) (Sthal y Hippe, 1987) optimizaron la aproximación del tiempo muerto para reproducir la respuesta de frecuencia sobre el ámbito de frecuencias mayor posible y determinaron funciones de transferencia de segundo hasta quinto orden. Su aproximación de grado dos está dada por la función de transferencia (24) 3. COMPARACIÓN DE LAS APROXIMACIONES Con la finalidad de evaluar la bondad de las aproximaciones del tiempo muerto f1(s) a f11(s) anteriores, se realizaron pruebas comparativas incluyendo: aproximación de la función exponencial, respuesta de un tiempo muerto puro, respuesta de un sistema de primer orden más tiempo muerto, determinación de la ganancia en el límite de la estabilidad y respuesta de frecuencia. 3.1 Aproximación de la función exponencial Definiendo x=tms se investigó qué tan bien se aproxima a la función e-x en el intervalo 0≤x≤2,0. La evaluación de las aproximaciones se realizó calculando los índices de error (IEAei) y calidad (ICAei) de las aproximaciones definidos en el Apéndice, apartedo 6. En la Figura 2 y el Cuadro 1 se muestran las respuestas de las diferentes funciones. Como se puede ver, las series de Taylor (f1, f2) y la ecuación de Marshall (f9) fallan al aproximar la función exponencial, mientras que la aproximación de Padé de segundo orden (f5) provee los mejores resultados. La aproximación de Padé de primer orden (f3), si bien no es buena si se considera todo el ámbito estudiado, su desempeño es aceptable hasta valores de x = 1,0. Figura 2. Aproximaciones de la función exponencial ALFARO: Nuevas aproximaciones del tiempo muerto... Cuadro 1. Aproximación de la función exponencial Función f0 f1 IEAei ICAei ITMe = 0,8647 (x = [0 , 2]) 0,864 7 0 f2 f3 0,466 87 45,79 0,092 1 89,35 f4 f5 0,044 2 94,89 0,003 2 99,63 f6 f7 0,018 8 97,83 0,005 8 99,33 f8 f9 0,024 6 97,16 0,844 5 2,34 f10 f11 0,021 4 97,53 0,030 6 96,46 3.2 Aproximación de un tiempo muerto puro Se consideraron para esta comparación, las aproximaciones que representan funciones de transferencia propias y se verificó, qué tan bien aproximaban estas un tiempo muerto puro, a partir de la respuesta a una entrada escalón unitario. La comparación se realizó calculando los índices de error (IEAti) y calidad (ICAti) de las aproximaciones del tiempo muerto definidos en el Apéndice. Las pruebas indicaron que un intervalo de tiempo igual a cuatro tiempos muertos (m=4), era suficiente para asegurar que la respuesta de todas las funciones hubiera alcanzado su valor final. 45 3.3 Efecto en la respuesta al escalón Con frecuencia, las especificaciones del comportamiento deseado del sistema de control, se dan en función de la respuesta en el tiempo a una entrada del tipo escalón. Los programas CACSD como MATLAB 6.5® o Scilab, no pueden manipular funciones de transferencia que incluyan tiempos muertos para obtener por ejemplo, la función de transferencia de lazo cerrado del sistema de control. Se debe utilizar una aproximación para los mismos, MATLAB 6.5® provee la función pade(tm,n) para esto, o emplear programas de simulación digital como Simulink 5.0® o VisSim 3.0™ que proveen bloques operacionales para el tiempo muerto, simulado como una lista de datos almacenados en memoria, para realizar los estudios con este tipo de plantas. Se investigó entonces el efecto de las aproximaciones en la respuesta de una planta de primer orden más tiempo muerto dada por (25) En forma similar a como se hizo en las comparaciones anteriores, se calculó un índice de error (IEAyi) y uno de calidad (ICAyi) de las aproximaciones a la respuesta al escalón (ver Apéndice). Se empleó en las pruebas una planta con ganancia unitaria (kp=1), constante de tiempo unitaria (=1) y tiempo muerto variable ( tm= 0,1 0,25 0,5 0,75 1,0 y 2,0). La Figura 3 y el Cuadro 2 muestran los resultados obtenidos. En la Figura 4 y en el Cuadro 3 se muestran los resultados de la simulación en función del tiempo muerto normalizado o tm/ . Las aproximaciones de segundo orden mostraron resultados muy similares entre sí, siendo la aproximación de Sthal y Hippe (f11) la mejor. La aproximación de Padé de primer orden (f3) fue la que mostró mayor error. Como era de esperarse, todas las aproximaciones, incluso la de primer orden, dieron resultados aceptables cuando el tiempo muerto normalizado era bajo y éste empezó a deteriorarse a medida que o aumentó. 46 Ingeniería 13 (1,2): 41-52, 2003 San José, Costa Rica Los mejores resultados se obtuvieron con la aproximación de Sthal y Hippe (f11) seguidos de la de Gradshteyn y Ryzhik (f10) y la de Padé de segundo orden (f5). Si bien los resultados con la aproximación de Padé de primer orden muestran el menor índice de calidad, este no es significativamente menor que el obtenido con las aproximaciones de segundo orden. determinó el valor de la ganancia en el límite de la estabilidad Kcuo con el tiempo muerto exacto, empleando el programa VisSim, y los valores de la ganancia límite con las aproximaciones Kcui resolviendo el polinomio característico pi(fi(s),Kc,s)=0 en forma iterativa empleando el programa Scilab. Cuadro 2. Aproximación del tiempo muerto puro. Función 3.4 Efecto sobre la estabilidad del sistema de control IEAti ICAti ITMt = 3, (t = [0 , 4 tm], tm = 1) f0 f3 0,577 0 80,77 Un aspecto muy importante en los estudios de los sistemas de control, es la determinación de las condiciones de estabilidad del mismo a partir de su polinomio característico, por lo que se investigó el efecto de las aproximaciones del tiempo muerto sobre ésta. f4 f5 0,411 5 86,28 0,405 7 86,48 f6 f10 0,451 8 84,94 0,395 4 86,82 f11 0,392 9 86,90 Se utilizó un sistema de control con un controlador proporcional Gc(s)=Kc y una planta de primer orden más tiempo muerto, con los mismos parámetros que en la prueba anterior. Con éste se El Cuadro 4 muestra los valores de las ganancias en el límite de estabilidad obtenidas en función del tiempo muerto normalizado, así como los porcentajes de error de las mismas. Figura 3. Respuesta a un escalón unitario, tm=1 47 ALFARO: Nuevas aproximaciones del tiempo muerto... Como se aprecia en el Cuadro, cada aproximación mostró porcentajes de error similares al estimar la ganancia límite, con los diferentes tiempos muertos normalizados utilizados. En esta prueba se hizo evidente que la aproximación de Padé de primer orden, no es adecuada para estudios de estabilidad ya que con ella se obtienen valores para la ganancia límite, aproximadamente un 30 % mayores que el real. La mejor estimación se obtuvo con la aproximación de Sthal y Hippe (f11), con un error promedio de solo –0,5 %, seguida de la de Padé de segundo orden (f5) con +1,15 % de error y de la de Gradshteyn y Ryzhik (f10) con –2,3 % de promedio la que, aunque con un error ligeramente mayor que el error de la aproximación de Padé, predice un valor conservador de la ganancia límite. Es evidente el buen desempeño logrado con la aproximación de Sthal y Hippe ya que la ganancia predicha con ella, aparte de ser muy precisa, es segura por estar por debajo del valor real. Figura 4. Respuesta del sistema de primer orden más tiempo muerto. Cuadro 3. Efecto en la respuesta de un sistema de primer orden más tiempo muerto. o tm/ f0 0,10 8,90 0,25 8,75 0,50 8,50 f3 f4 f5 f6 f10 f11 1,70e-3 7,95e-4 5,7e-4 8,0e-4 5,8e-4 2,3e-4 1,06e-2 5,10e-3 3,60e-3 5,10e-3 3,70e-3 6,90e-3 4,15e-2 2,07e-2 1,43e-2 2,04e-2 1,50e-2 1,85e-2 f3 f4 f5 f6 f10 f11 99,98 99,99 99,99 99,99 99,99 99,99 99,89 99,94 99,96 99,94 99,96 99,92 99,51 99,76 99,83 99,76 99,82 99,78 ITMy IEAyi ICAyi 0,75 8,25 1,0 8,00 1,5 7,50 2,0 7,00 9,00e-2 4,56e-2 3,20e-2 4,53e-2 3,33e-2 3-54e-2 0,153 7,85e-2 5,67e-2 7,90e-2 5,82e-2 5,81e-2 0,315 0,164 0,125 0,170 0,126 0,121 0,512 0,271 0,217 0,286 0,215 0,205 98,91 99,45 99,61 99,45 99,60 99,57 98,08 99,02 99,29 99,01 99,27 99,27 95,80 97,82 98,33 97,74 98,32 98,39 92,69 96,14 96,90 95,91 96,94 97,07 48 Ingeniería 13 (1,2): 41-52, 2003 San José, Costa Rica Cuadro 4. Estimación de las ganancias en el límite de la estabilidad. o tm/ f0 0,10 16,34 0,25 6,93 0,50 3,81 f3 f4 f5 f6 f10 f11 21,00 15,23 16,49 17,28 15,90 16,27 9,00 6,46 7,00 7,35 6,75 6,90 5,00 3,55 3,85 4,04 3,71 3,78 f3 f4 f5 f6 f10 f11 28,50 -6,80 0,92 5,75 -2,70 -0,43 29,87 -6,84 1,00 6,00 -2,70 -0,49 31,20 -6,85 1,00 6,10 -2,70 -0,68 Kcu Kcui % EKcui 3.5 Respuesta de frecuencia La función tiempo muerto en frecuencia está dada por (26) cuya magnitud es unitaria para todas las frecuencias y su fase - tm, esto es, tiende a cero para baja frecuencia y decrece linealmente con la frecuencia, teniendo un valor de -180° cuando tm . Una característica importante que debe tener entonces la aproximación del tiempo muerto, es que no afecte el diagrama de Bode de magnitud de la función de transferencia de lazo abierto, esto es, que tenga magnitud unitaria para todas las frecuencias. Esta característica la presentan las aproximaciones mediante el cociente de dos series de Taylor (f3, f4), las de Padé (f3, f5) y los cocientes de polos múltiples (f3, f6). Otras aproximaciones que presentan esta característica son la de Marshall (f9), Piche (f4, f6), Gradshteyn y Ryzhik (f10), y Sthal y Hippe (f11). Sin embargo, todas estas aproximaciones tienen limitaciones en cuanto al desfase máximo 0,75 2,78 1,0 2,26 1,5 1,76 2,0 1,52 3,67 2,59 2,81 2,95 2,71 2,76 3,00 2,12 2,29 2,40 2,21 2,25 2,33 1,67 1,79 1,87 1,73 1,75 2,00 1,45 1,54 1,61 1,50 1,52 31,90 -6,70 0,94 5,97 -2,70 -0,83 32,70 -6,10 1,35 6,32 -2,20 -0,49 32,40 -5,28 1,40 6,01 -1,80 -0,34 21,60 -4,67 1,38 5,60 -1,51 -0,33 que pueden proveer. Mientras que la fase del tiempo muerto puro decrece linealmente con la frecuencia, las aproximaciones anteriores, todas funciones de transferencia de fase no mínima, proveen un desfase máximo de –180º (f3) o –360º (f4, f5, f6, f9, f10, f11) a alta frecuencia, por lo que serán de preferencia las de mayor grado para estudios en el dominio de la frecuencia. 4. OBTENCIÓN DE NUEVAS APROXIMACIONES Las pruebas comparativas realizadas, demostraron que la aproximación de la función exponencial por medio de las series de Taylor de orden bajo no era adecuada y debían buscarse expresiones polinomiales de primer y segundo orden mejores; que la aproximación de Padé de primer orden, aunque muy utilizada, mostraba índices de calidad inferiores a los obtenidos con cualesquiera de las aproximaciones de segundo orden, debiendo entonces verificarse si era posible encontrar una mejor aproximación de primer orden; y que los mejores resultados se obtuvieron con la aproximación Sthal y Hippe, por lo que se deseó verificar si era posible encontrar alguna otra que lograra superarla. ALFARO: Nuevas aproximaciones del tiempo muerto... 4.1 Aproximaciones de la función exponencial Utilizando la función lsqcurvefit de MATLAB® se encontraron expresiones polinomiales para la función e-x en el intervalo 0≤x≤2,0, obteniéndose las siguientes aproximaciones para el tiempo muerto (27) (28) cuyos índices de calidad de la aproximación exponencial (ICAei) fueron 79,21 % y 97,12 %, respectivamente, los que contrastan ampliamente con los índices de la serie de Taylor de primer orden (0 %) y de segundo orden (45,79 %). Es evidente que de requerirse utilizar una aproximación polinomial para el tiempo muerto, las nuevas expresiones f1n (27) y f2n (28) brindarán mejores resultados que las series de Taylor. 49 Se probaron también expresiones más generales de la forma (1-ax+bx2)/(1+cx+dx2) con una mejora de aproximadamente un 5 % en el índice de calidad para el caso de primer orden, pero despreciable en el de segundo. Como los coeficientes de los polinomios del numerador y del denominador de estas nuevas aproximaciones resultaron ser bastante diferentes entre sí, no se consideraron adecuadas ya que su magnitud no sería unitaria para todas las frecuencias, característica necesaria como se indicó en 3.5. 4.3 Prueba de las nuevas aproximaciones Si bien las nuevas aproximaciones f3n y f4n proveen una mejor aproximación de la función exponencial, debió verificarse que su desempeño como representación de un tiempo muerto puro, como parte de la respuesta en el tiempo de un sistema con tiempo muerto y en la determinación de los límites de estabilidad del sistema de control, era también superior al de las aproximaciones existentes. 4.2 Aproximaciones mediante funciones de transferencia propias Como representación de un tiempo muerto puro, sus índices de calidad ICAti fueron 80,96 % y 86,25 %, muy similares a los de las aproximaciones de Padé. En una forma similar a la anterior, se obtuvieron aproximaciones de la función exponencial como cocientes de polinomios del tipo (1-ax+bx2)/ (1+ax+bx2), determinándose las siguientes nuevas aproximaciones para el tiempo muerto El índice de calidad de la respuesta del sistema de primer orden más tiempo muerto ICAyi promedio de f3n fue 97,26 % y el de f4n 99,09 %, ligeramente inferiores a los de las aproximaciones de Padé (97,84 % y 99,13 %). (29) (30) cuyos índices de calidad de la aproximación exponencial (ICAei) fueron 93,84 % y 99,90 % respectivamente, superiores a los índices de las aproximaciones de Padé de primer orden (89,35 %) y de segundo orden (99,63 %). Sin embargo en la prueba de estabilidad los resultados fueron ampliamente inferiores. La aproximación f3n tuvo un error promedio del +45,16 % y la f4n +2,29 % comparados con el +29,74 % y +1,15 % de las aproximaciones de Padé. El hecho de ofrecer una mejor aproximación de la función exponencial, no garantizó entonces que estas nuevas expresiones tuvieran un mejor desempeño en las pruebas dinámicas. 50 Ingeniería 13 (1,2): 41-52, 2003 San José, Costa Rica 4.4 Optimización de las aproximaciones mediante pruebas dinámicas Debido a que los resultados de las comparaciones efectuadas, demostraron que las expresiones obtenidas mediante el ajuste de la función exponencial, no mejoraron el desempeño dinámico de las aproximaciones, se realizó una optimización dinámica de los coeficientes de los polinomios de las aproximaciones utilizando el programa VisSim™. Utilizando la misma planta y parámetros utilizados en las pruebas comparativas indicadas en el punto 3.3 anterior, se simuló la planta con el tiempo muerto puro y también con una aproximación de primer orden, y se optimizó el coeficiente de los polinomios del numerador y denominador mediante el método de optimización de Powell, minimizando la diferencia, esto es el error, entre las respuestas al escalón de las dos plantas. Los coeficientes del polinomio óptimo variaron entre 0,4948 y 0,4967. Utilizando un promedio de los coeficientes encontrados se obtuvo la nueva aproximación óptima de primer orden (31) la que no difiere significativamente de la aproximación de Padé de primer orden. Al optimizar el polinomio de segundo orden, se encontró que mientras el parámetro de los términos lineales variaba entre 0,500 y 0,4895, el de los términos cuadráticos variaba entre 8,974•10-2 y 9,2785•10-2, por lo que se optó por fijar el parámetro del término lineal de los polinomios, en el valor encontrado con la aproximación de primer orden y optimizar solamente el del término cuadrático. La nueva aproximación óptima de segundo orden resultante fue (32) bastante similar a la aproximación de Sthal y Hippe f11. En el caso de la nueva aproximación óptima de primer orden f3op, como era de esperarse, esta dio exactamente los mismos resultados en las pruebas de respuesta al escalón y de ganancia en el límite de la estabilidad que la aproximación de Padé de primer orden; sin embargo, en la aproximación de la función exponencial dio un índice de calidad del 90,03 %, ligeramente superior al 89,35 % de la aproximación de Padé. Las pruebas con la aproximación óptima de segundo orden f4op, dieron como resultado un índice de calidad de la aproximación de la respuesta al escalón ICAyi del 99,16 % comparable con el 99,13 % obtenido por la aproximación de Padé de segundo orden y el 99,14 % de la aproximación de Sthal y Hippe. En cuanto a las pruebas de estabilidad, la aproximación óptima de segundo orden dio un excelente resultado, con un error promedio de sólo el –0,099 % y valores extremos para o 1 del –0,40 % y +0,20 % para o . En cuanto a la aproximación de la función exponencial, el índice de calidad obtenido con la función optimizada fue del 98,002 %, superior al 96,46 % de la aproximación de Sthal y Hippe, pero inferior al 99,63 % de la de Padé de segundo orden. 5. CONCLUSIONES De las pruebas comparativas realizadas se puede concluir que: 1. Las nuevas aproximaciones polinomiales de la función exponencial obtenidas f3n y f4n, son ampliamente superiores a las aproximaciones por series de Taylor del mismo orden. 2. La nueva aproximación del tiempo muerto, mediante una función de transferencia propia de fase no mínima de primer orden f3op, provee resultados similares o mejores que la aproximación de Padé de primer orden. ALFARO: Nuevas aproximaciones del tiempo muerto... 3. 51 La nueva aproximación mediante una función de transferencia de segundo orden f4op, provee resultados mejores que la aproximación de Padé de segundo orden y que la de Sthal y Hippe y se puede considerar como mejor en su comportamiento general que todas las otras aproximaciones existentes comparadas. la Integral del Error Absoluto de la Aproximación del tiempo muerto (IEATt) Se recomienda entonces la utilización de las nuevas aproximaciones del tiempo muerto encontradas en este estudio y en especial el de la función f4op, en los estudios de los sistemas de control. (A6) 6. APÉNDICE Para la evaluación de la bondad de las aproximaciones del tiempo muerto comparadas, se establecieron las siguientes mediciones y criterios: • (A4) (A5) y el Índice de Calidad de la Aproximación del tiempo muerto (ICAti) donde m tm es el tiempo necesario para garantizar que la respuesta de todas las funciones hubieran alcanzado su valor final. • Efecto sobre la respuesta al escalón En forma similar se definió la Integral de la respuesta al escalón de la planta con tiempo muerto (ITMy) Aproximación de la función exponencial Se definió la Integral de la función Tiempo Muerto (ITMe) como (A1) (A7) la Integral del Error Absoluto de la Aproximación de la respuesta al escalón (IEAyi) para cada función fi (A8) y la Integral del Error Absoluto de la Aproximación (IEAei) de cada aproximación de la función exponencial fi como y el Índice de Calidad de la Aproximación de la respuesta al escalón (ICAyi) (A2) (A9) La calidad de cada aproximación fi estará dada por el Índice de Calidad de la Aproximación (ICAei) definido como en donde yo(fo,t) es la respuesta de la planta con tiempo muerto a una entrada escalón unitario y yi(fi,t) las respuestas de la planta utilizando las aproximaciones del tiempo muerto. (A3) • Aproximación del tiempo muerto puro Para comparar cuán bien representaban las aproximaciones la respuesta de un tiempo muerto puro, se definió la Integral de la respuesta del Tiempo Muerto (ITMt) SIMBOLOGÍA Gp(s) Gc(s) kp Función de transferencia de la planta. Función de transferencia del controlador. Ganancia estática. 52 tm s 7. Ingeniería 13 (1,2): 41-52, 2003 San José, Costa Rica Constante de tiempo. Tiempo muerto aparente. Variable compleja. BIBLIOGRAFÍA Bogere, M. N. & Özgen, C. (1989). On-Line controller tuning of second order dead time processes, Chem. Eng. Res. Des., (67), November. Dwight, H. B. (1961) Tables of integrals and other mathematical data, New York The Macmillan Co. Gradshteyn, I. S. & Ryzhik, I. M. (1980). Tables of integrals, series and products. Corrected and enlarged edition. (Ed. A. Jeffrey), Academic Press, Inc. INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique). (2003). Scilab 2.7. 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Teléfono: 207-4472, Facsímil. 207-4139 Correo electrónico: [email protected] El presente trabajo fue realizado como parte del proyecto No 322-A3-007 inscrito en la Vicerrectoría de Investigación de la Universidad de Costa Rica.