Số giả nguyên tố

Trong lý thuyết số, số giả nguyên tố (tiếng Anh: pseudoprime) là một số nguyên tố xác suất (tiếng Anh: probable prime ) nhưng không phải là số nguyên tố. Một số tự nhiên thoả mãn một tính chất nào đó của các số nguyên tố có thể là số nguyên tố với một xác suất nào đó. Còn số giả nguyên tố là các hợp số thoả mãn tính chất đó. Tuỳ theo tính chất mà nó thoả mãn, ta sẽ có các loại số giả nguyên tố khác nhau. Nên phân biệt rõ số nguyên tố xác suất và số giả nguyên tố. Số nguyên tố xác suất có thể là nguyên tố cũng có thể là hợp số (với xác suất khác nhau).

Số giả nguyên tố Fermat

Định nghĩa

Định lý nhỏ Fermat khẳng định với mọi số nguyên tố p và mọi số tự nhiên a; ta có:

a^{p}\equiv a{\pmod {p}}

.

Nếu mệnh đề tương tự đúng với số tự nhiên n và với số a nào đó:

a^{n}\equiv a{\pmod {n}}

thì n được gọi là số nguyên tố xác suất Fermat cơ sở a. Nếu n là hợp số thì nó được gọi là số giả nguyên tố Fermat cơ sở a.

Ví dụ

Số n=561=3.11.17 là một hợp số. Lấy a=2. Ta có $2^{560}=4^{280}\equiv 1{\pmod {3}}$ ; $2^{560}={\left(2^{10}\right)}^{56}\equiv 1{\pmod {11}}$ và $2^{560}={\left(2^{16}\right)}^{35}\equiv 1{\pmod {17}}$ . Từ đó $2^{560}\equiv 1{\pmod {561}}$ . Do đó 561 là số giả nguyên tố Fermat cơ sở 2.

Một số kết quả

Nếu n là số giả nguyên tố cơ sở 2 thì $m=2^{n}-1$ cũng là số giả nguyên tố cơ sở 2. Từ đó suy ra có vô hạn số giả nguyên tố cơ sở 2.
Số Carmichael: Hợp sô n là số Carmichael nếu nó là số giả nguyên tố Fermat với mọi cơ sở a sao cho UCLN(a,n)=1.Ví dụ số 561 ở trên là số Carmichael.

Số giả nguyên tố (Fermat) mạnh

Định nghĩa

Trong đồng dư thức của định lý nhỏ Fermat với số nguyên tố lẻ p và số tự nhiên a không chia hết cho p

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

.

ta phân tích số chẵn $p-1=2^{s}\cdot m$ , với m là số lẻ. Khi đó

hoặc $a^{m}\equiv 1{\pmod {p}}$ ; (1)
hoặc $a^{2^{k}\cdot m}\equiv -1{\pmod {p}}$ với k nào đó $\in$ {0,1,..,s}. (2)

Số tự nhiên lẻ n trong đó $n-1=2^{s}\cdot m$ thoả mãn $a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$ hoặc tồn tại k $\in$ {0,1,..,s} sao cho $a^{2^{k}\cdot m}\equiv -1{\pmod {m}}$ được gọi là số nguyên tố xác suất mạnh Fermat cơ sở a, nếu n là hợp số thì n được gọi là số giả nguyên tố Fermat cơ sở a. Số giả nguyên tố mạnh được sử dụng để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất trong kiểm tra Miller-Rabin.

Một số kết quả

Mọi số giả nguyên tố mạnh Fermat đều là số giả nguyên tố Fermat.
Nếu n < 4.759.123.141 là hợp số thì n không thể là giả nguyên tố mạnh đồng thời với ba cơ sở a = 2, 7, và 61 (Jaeschke-1993).
Nếu n < 341.550.071.728.321 là hợp số thì n không đồng thời là giả nguyên tố mạnh Fermat với bảy cơ sở a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 (Jaeschke-1993).

Số nguyên tố xác suất Fermat mạnh được sử dụng trong kiểm tra Miller-Rabin để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất của số tự nhiên lẻ n.

Số giả nguyên tố Euler

Định lý Fermat khẳng định với mọi số nguyên tố p và mọi số a:

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

.

Nếu p là số nguyên tố lẻ, từ đó có

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}

.

Định nghĩa

Số tự nhiên lẻ n thoả mãn đồng dư thức tương tự với một a nào đó:

a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \pm 1{\pmod {n}}

.

được gọi là số nguyên tố xác suất Euler, nếu n là hợp số thì n dược gọi là số giả nguyên tố Euler.

Các kết quả

Mọi số giả nguyên tố Euler cơ sở a đều là số giả nguyên tố Fermat cơ sở a.

Số giả nguyên tố Euler-Jacobi

Định nghĩa

Định lý Euler (Còn gọi là tiêu chuẩn Euler) khẳng định với mọi số nguyên tố p và mọi số a:

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {a}{p}}\right){\pmod {p}}

.

trong đó $\left({\frac {a}{p}}\right)$ là ký hiệu Legendre. Ký hiệu Legendre chỉ được định nghĩa cho số nguyên tố p. Khi mở rộng ký hiệu Legendre cho số tự nhiên lẻ n và số tự nhiên a ta có ký hiệu Jacobi được ký hiệu giống như ký hiệu Legendre:

\left({\frac {a}{n}}\right)

.

Số tự nhiên lẻ n thoả mãn đồng dư thức tương tự định lý Euler:

a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right){\pmod {n}}

.

với a nào đó được gọi là số nguyên tố xác suất Euler-Jacobi cơ sở a. Nếu n là hợp số thoả mãn đồng dư thức trên nó được gọi là số giả nguyên tố Euler-Jacobi cơ sở a.

Các kết quả

Mọi số giả nguyên tố Euler-Jacobi cơ sở a đều là số giả nguyên tố Euler cơ sở a.
Mọi số giả nguyên tố Fermat mạnh cơ sở a đều là số giả nguyên tố Euler-Jacobi.
Mọi số giả nguyên tố Euler-Jacobi cơ sở a thoả mãn một trong hai điều kiện sau là số giả nguyên tố mạnh cơ sở a:
1. $n\equiv 3{\pmod {4}}$ ;
2. Ký hiệu Jacobi $\left({\frac {a}{n}}\right)=-1$

Các số nguyên tố xác suất Euler-Jacobi được sử dụng trong kiểm tra Solovay-Strassen để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất.

Tham khảo

Liên kết ngoài

Pseudoprimes up to 15.999 Lưu trữ 2005-03-21 tại Wayback Machine

x t s Phân loại các số nguyên tố
Theo công thức	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Mersenne kép ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Giai thừa ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Carol $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Theo dãy số nguyên	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Phân hoạch Bell Motzkin
Theo tính chất	(Cặp Wieferich) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson May rủi May mắn Ramanujan Pillai Chính quy Mạnh Stern Siêu trội (đối với đường cong elliptic) Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng) Tốt Siêu phàm Higgs Fortune
Phụ thuộc vào hệ số	May mắn Nhị diện Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Hoán vị Vòng Rút ngắn được Strobogrammatic Tối thiểu Yếu Đầy đủ Đơn nhất Nguyên thủy Smarandache–Wellin
Theo mô hình	Sinh đôi ( $p, p + 2$ ) Chuỗi bộ đôi ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Bộ tam ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Bộ tứ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) Bộ k Họ hàng ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain ( $p, 2 p + 1$ ) chuỗi Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) An toàn ( $p, (p - 1)/2$ ) Trong cấp số cộng ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, \dots$ ) Đối xứng ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
Theo kích thước	Hàng nghìn (1,000+ chữ số) Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số) Hàng triệu (1,000,000+ chữ số) Lớn nhất từng biết
Số phức	Số nguyên tố Eisenstein Số nguyên tố Gauss
Hợp số	Số giả nguyên tố Số gần nguyên tố Số nửa nguyên tố Giữa các nguyên tố
Chủ đề liên quan	Số có thể nguyên tố Số nguyên tố cấp công nghiệp Số nguyên tố bất chính Công thức của số nguyên tố Khoảng cách nguyên tố
50 số nguyên tố đầu	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Danh sách số nguyên tố