Dopo la generale accettazione da parte dei matematici de La Géométrie di Descartes, nel XVII sec. la concezione e talvolta la realizzazione concreta di macchine per tracciare curve continua il suo ruolo fondazionale per le curve al di là...
moreDopo la generale accettazione da parte dei matematici de La Géométrie di Descartes, nel XVII sec. la concezione e talvolta la realizzazione concreta di macchine per tracciare curve continua il suo ruolo fondazionale per le curve al di là dei confini cartesiani. Infatti, sebbene Descartes avesse proposto un metodo generale per giustificare l’introduzione delle curve grazie a delle macchine ideali, la classe di queste costruzioni è ben delimitata analiticamente ai problemi che possono essere risolti con l’algebra.
La possibilità di allargare la “legittimità” a curve trascendenti è uno degli obiettivi di Leibniz, che accusa Descartes di aver relegato ad un ruolo di inferiorità curve che non solo sono facilmente concepibili e realizzabili, ma che sono estremamente importanti per il problem solving matematico. Da un certo punto di vista Leibniz accetta il canone cartesiano per quanto riguarda il fatto che le macchine ideali per generare curve debbano essere “uno tractu” (in maniera moderna: con un grado di libertà), dall’altro non accetta i limiti che Descartes impone alle costruzioni. In particolare in questo intervento approfondiremo il ruolo ambivalente che i fili possono assumere nelle macchine ideali.
Infatti i fili si prestano a due utilizzi: possono riportare una lunghezza tra due punti, o essere utilizzati per rettificare perimetri di figure. A differenza di Descartes, che ammette come valido solo il primo metodo, Leibniz esplora le costruzioni che implicano l’uso “rettificatore” del filo, e propone interessanti modi per generare curve non algebriche. In alcuni esempi, mancando la descrizione delle sue macchine, abbiamo proposto delle possibili interpretazioni.
Concettualmente la geometria di Descartes si può considerare come un’estensione della geometria euclidea basata su equidistanza (come il compasso) e allineamento (come la riga). Il filo può essere visto come una riunificazione di entrambi (come per i “tenditori di funi” egizi), ed anzi, grazie alla modalità “rettificazione”, come una loro estensione. Negli anni 1673 -1675 Leibniz persegue questa strada, ma presto l'abbandona in quanto non riesce a trovarne un’opportuna controparte analitica. Per tale motivo successivamente perviene ad un metodo più generale, la risoluzione del problema inverso della tangente, analiticamente traducibile con l’introduzione delle derivate (movimento trazionale).
Se il XVII sec. vede i matematici atti ad ideare macchine teoriche per trovare le curve che risolvono determinati problemi, una volta abituati alla presenza di tali curve il bisogno del riferimento a macchine svanisce velocemente. Nel XVIII sec. sono però da citare gli interventi di alcuni italiani nella creazione di macchine per tracciare curve trascendenti, macchine che, a differenza del XVII sec., non rivestono più tanto un ruolo teorico e fondazionale, ma soprattutto pratico e didattico, come visibile nelle macchine trazionali del Gabinetto di Filosofia di Giovanni Poleni a Padova. Un approccio didattico che ha tutt’oggi qualcosa da insegnarci.
Bibliografia
V. Blasjo, Transcendental Curves in the Leibnizian Calculus, Academic Press, 2017.
H. J. M. Bos, Redefining Geometrical Exactness, Descartes' Transformation of the Early Modern Concept of Construction, Springer-Verlag, New York, 2001.
D. Tournès, La construction tractionnelle des équations différentielles, Blanchard, Paris, 2009.
