Теорема синусів
Тригонометрія |
---|
![]() |
Посилання |
Закони і теореми |
Обчислення |
Теорема синусів — наступне тригонометричне твердження про властивості кутів та сторін довільного трикутника: нехай a, b і c є сторонами трикутника, а A, B і C — кути протилежні вказаним сторонам, тоді
Обернене значення числа в теоремі синусів (тобто a/sin(A)) дорівнює діаметру D (або ж 2-ом радіусам) описаного навколо трикутника кола (єдине коло, що проходить через три точки A, B і C). Таким чином теорему можна переписати у розширеній формі
Наслідком теореми синусів є наступне твердження:
- У трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона, навпроти більшої сторони лежить більший кут.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Law_of_sines_%28simple%29.svg/220px-Law_of_sines_%28simple%29.svg.png)
Теорему синусів використовують при розв'язуванні трикутників:
- Якщо відомі сторона a та два прилеглі кути β і γ довільного трикутника, то інші дві сторони можемо знайти із співвідношення:
;
.
Це є типовою проблемою, що постає при тріангуляції.
2. Якщо відомі дві сторони та один із кутів, що не утворюється цими сторонами
Зазначена формула дає два можливих значення для внутрішнього кута. В цьому випадку, часто лишень одне значення задовольняє умові, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°; інакше отримаємо два можливих розв'язки.
Нехай дано трикутник зі сторонами a, b, і c, з протилежними до них кутами A, B, і C. Опустимо перпендикуляр довжиною h з C на c.
Бачимо, що, за означенням:
- та
Звідси:
також
Повторимо операцію з кутом A і стороною a, і дістанемо:
- .∎
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Sinus-thm.png/300px-Sinus-thm.png)
Достатньо довести, що
Проведемо діаметр описаного кола.
За властивістю кутів, вписаних у коло, кут прямий, а кут дорівнює або , якщо точки і лежать по один бік від прямої , або в іншому разі.
Оскільки , в обох випадках маємо
- .
Повторивши ці міркування для двох інших сторін трикутника, маємо:
де — кут між гранями і ; — спільна грань і ; — об'єм симплекса.
Ця теорема справедлива для трикутників на сфері, сторонами яких є дуги великих кіл сфери.
Нехай дано сферу одиничного радіуса і трикутник на ній, утворений перетином трьох її великих кіл. Нехай a, b і c — довжини дуг, які є сторонами трикутника. Оскільки сфера є одиничною, то a, b і c виражають кути з вершиною у центрі сфери між двома її радіусами, стягнуті цими дугами в радіанах.
Нехай A, B і C — кути, протилежні цим сторонам, тобто це двогранні кути між площинами трьох великих кіл.
Тоді, для сферичного трикутника справедливе твердження:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Spherical_trigonometry_vectors.svg/200px-Spherical_trigonometry_vectors.svg.png)
Розглянемо сферу одиничного радіуса з центром О в початку координат. OA, OB та OC — одиничні вектори, проведені від початку координат до вершин A, B, C трикутника. Отже, кути α, β і γ є кутами a, b і c відповідно. Дуга BC утворює кут величиною a з вершиною у центрі сфери.
Введемо декартову систему координат так, щоб її вісь z проходила вздовж вектора OA. Вектор OB в площині xz утворює кут утворює кут c з віссю z та проектується на відрізок OМ у площині xy. Вектор OC утворює кут b з віссю z та проектується на ON у площині xy, а кут між ON та віссю x дорівнює A. Отже, три вектори мають координати:
Змішаний добуток трьох векторів, OA ⋅ (OB × OC), дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах OA, OB та OC. Цей об'єм є інваріантним до конкретної системи координат, яка використовується для представлення OA, OB і OC.
Значення змішаного добутку трьох векторів OA ⋅ (OB × OC) є 3 × 3 — визначником, рядками якого є координати векторів OA, OB і OC.
З віссю z вздовж OA квадрат цього визначника дорівнює
Якщо повторити це обчислення з віссю z вздовж OB, отримаємо (sin c sin a sin B)2, а з віссю z вздовж OC — (sin a sin b sin C)2.
Прирівнюємо ці вирази та ділимо їх на (sin a sin b sin c)2: де V — об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах OA, OB та OC, що відповідають вершинам сферичного трикутника.
Легко побачити, що для малих сферичних трикутників, коли радіус сфери значно перевищує довжини сторін трикутника, ця формула в граничному значенні переходить в формулу для плоского трикутника, оскільки
і так само для sin b та sin c.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Sine_law_spherical_small.svg/378px-Sine_law_spherical_small.svg.png)
Розглянемо сферу одиничного радіуса:
Будуємо точку та точку так, що
Будуємо точку так, що
Тому видно, що та
Точка є проекцією точки на площину . Тому
Згідно з основною тригонометрією, маємо:
Але
Поєднавши ці рівності, отримаємо:
Проводячи аналогічні обчислення, отримуємо теорему синусів для сферичного трикутника:
Малюнок, використаний в геометричному доказі вище, використовується і також надається в [1] (див. Малюнок 3 у цьому документі) для виведення теореми синусів за допомогою елементарної лінійної алгебри та проекційних матриць.
В гіперболічній геометрії Лобачевського з кривиною −1, теорема синусів для гіперболічного трикутника має вигляд:
В окремому випадку, коли кут B прямий, отримаємо:
що є аналогом формули в евклідовій геометрії, яка виражає синус кута як частку від ділення протилежної сторони прямокутного трикутника на його гіпотенузу.
Визначимо узагальнену функцію синусів, що залежить також від дійсного параметра K:
Теорема синусів при постійній кривині K має вигляд[2]
Підставивши K = 0, K = 1, або K = −1, Отримаємо відповідно евклідовий, сферичний та гіперболічний випадки теореми синусів, описані вище.
Нехай pK(r) позначає довжину кола радіуса r у просторі постійної кривини K.
Тоді pK(r) = 2π sinK r.
Тому теорему синусів також можна записати у вигляді:
Це формулювання було знайдене Яношом Бояї.[3]
- у тривімірному просторі тетраедр має чотири трикутних граней. Абсолютне значення полярних синусів[en] (psin) нормальних векторів до трьох граней, що мають спільну вершину тетраедра, поділене на площу четвертої грані, не залежить від вибору вершини:
- Для n — вимірного симплекса (тобто, трикутника (n = 2), тетраедра (n = 3), п'ятикомірника (n = 4), тощо) в n — вимірному евклідовому просторі, абсолютна величина полярних синусів[en] нормальних векторів до фасетів, що мають спільну вершину, поділена на гіперплощу грані, протилежної до цієї вершини, не залежить від вибору вершини.
Позначимо V — гіпероб'єм n-вимірного симплекса і P — добуток гіперплощ його (n - 1)-вимірних граней. Тоді загальне співвідношення має вигляд
- У першій главі Альмагеста (бл. 140 року н. е.) теорему синусів використано, але явно не сформульовано[4].
- Найдавніше з доведень, що дійшли до нас, теореми синусів на площині описано в книзі Насир ад-Діна ат-Тусі «Трактат про повний чотирибічник» написаній у XIII столітті[5].
- Теорему синусів для сферичного трикутника довели математики середньовічного Сходу ще в X столітті[6]. У праці аль-Джайяні[ru] XI століття «Книга про невідомі дуги сфери» наводилось загальне доведення теореми синусів на сфері[7].
- ↑ Banerjee, Sudipto (2004), Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors, The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 35 (5): 375—381, doi:10.1080/07468342.2004.11922099, S2CID 122277398Text online
- ↑ Generalized law of sines. mathworld.
- ↑ Katok, Svetlana (1992). Fuchsian groups. Chicago: University of Chicago Press. с. 22. ISBN 0-226-42583-5.
- ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics : [англ.]. — 5th edition. — 1991. — С. 47.
- ↑ Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook : [англ.]. — Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 9780691114859.
- ↑ Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1402002602
- ↑ Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. Архів оригіналу за 29 травня 2016. Процитовано 29 грудня 2021.
- Синусів теорема // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
- Теорема синусів: формулювання та доведення