Очікує на перевірку

Теорема Шарковського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теоре́ма Шарко́вського — теорема з теорії динамічних систем, доведена в 1964 році Олександром Миколайовичем Шарковським. Теорема була першим загальним результатом теорії динамічних систем, при ітеруванні відображень відрізка в себе.

Формулювання теореми

[ред. | ред. код]

Розглянемо порядок на множині натуральних чисел, який часто називають порядком Шарковського:

[1]

····

····

····

.

Нехай у неперервної функції на відрізку є цикл періоду (тобто існує такий, що , але , , де  — композиція функції ), тоді у цієї функції є цикли усіх періодів, які менші ніж в сенсі порядку Шарковського. Найбільшими елементами в порядку Шарковського є непарні числа. Тобто наявність у такого відображення циклу періоду 3 гарантує існування циклу будь-якого іншого періоду. А існування циклу періоду 4 може гарантувати лише існування циклу періоду 2.

Частинний випадок

[ред. | ред. код]

Будемо казати, що відрізок покриває відрізок при неперервному відображенні якщо . Будемо позначати це як .[2]

Лема 1. Якщо , то існує . Дане твердження елементарно випливає з теореми про проміжне значення функції. розглянемо функцію

.

З того, що відрізок покриває себе випливає, що існує значення і таке значення , тоді

,
Ілюстрація до леми 2

а отже існує значення , що .

Лема 2. Якщо , то існує відрізок : .

Справедливість цієї леми очевидна з рисунку. Нехай тут , . В силу властивостей функцій, неперервних на компакті, завжди можна обрати пару точок і , як показано на малюнку. Відрізок і буде шуканим відрізком

Лема 3. Нехай для множини відрізків виконується тоді існує такий відрізок .

Доведення. З того, що випливає, що існує .

Далі , а значить існує , отже , а тоді згідно леми 2 існує . Таким чином ця лема доведена для трьох відрізків. Для довільної більшої кількості доведення продовжується за індукцією.

Траєкторія циклу періоду 3

Випадок циклу періоду 3

[ред. | ред. код]

Доведемо, що існування циклу періоду 3 забезпечує існування циклу будь-якого іншого періоду. Розглянемо траєкторію циклу періоду 3, утворену точками , , , як зображено на рисунку. Ця траєкторія утворює два відрізки , . Зауважимо, що це єдиний можливий спосіб утворення циклу періоду 3, з точністю до симетрії.

Неважко бачити, що для даної траєкторії виконується наступне: , оскільки початок переходить в початок , а кінець в кінець . З аналогічних міркувань видно, що і . Цю ситуацію зручно зобразити за допомогою графу.

Граф накриттів відрізків

Отже можна розглянути ланцюжок відрізків, що накривають один одного:

, де відрізок входить раз. Тоді з леми 3 випливає, що існує відрізок . А це означає, що , а значить, це відображення має нерухому точку: (лема 1). А отже знайдено точку, яка має період при відображенні . Те, що цей період є найменшим періодом даної точки легко зрозуміти з вигляду ланцюжка накриттів. Ця траєкторія починається у відрізку і після цього жодного разу не повертається в цей відрізок.

Цей частинний випадок теореми Шарковського нерідко називають теоремою Лі-Йорка. Американські вчені Лі та Йорк в 1975 році опублікували статтю Period three implies chaos (період три означає хаос)[3]. В якій довели, що існування циклу періоду 3 в такій динамічній системі гарантує існування циклу будь-якого періоду. А також, що відрізняє їхню роботу від роботи Шарковського, довели, що в такому випадку динамічна система має ще і хаотичні траєкторії, тобто існує континуум точок, які при ітеруванні відображення відрізку не переходять в себе ні за яку кількість ітерацій. Повне доведення цієї теореми є досить громіздким, із різними способами її доведення можна ознайомитись, наприклад, в цій статті [4].

Теорема про реалізацію

[ред. | ред. код]

Другою не менш важливою частиною цієї теоерми є так звана теорема Шарковського про реалізацію. Перша частина теореми Шарковського говорить про те, що якщо в системі є цикл одного періоду, то це гарантує існування цикла й інших періодів. Але вона нічого не каже про те, чи бувають функції з такими періодами, які припускаються в теоремі.

Теорема Шарковського про реалізацію стверджує, що для кожного натурального числа знайдеться така функція , що вона має точку періоду , але не має жодної точки періоду .

Розглянемо приклад[3] функції , яка має період 5, а значить і всі інші періоди, які менші за 5 в сенсі порядку Шарковського, але не має періоду 3. Покладемо

Проміжні значення доповнемо за лінійністю. Тоді

Отже, на проміжку немає нерухомої точки відображення . Аналогічно два інші відрізка теж не містять нерухомих точок і . Але бачимо, що , тобто на цьому відрізку може бути точка періоду 3. Нехай нерухома точка відображення . Тоді . Якщо тоді , що неможливо, адже точка періоду 3. Отже . Аналогічно . Якщо то , що теж неможливо. Отже . Таким чином, вся траєкторія циклу періоду 3 лежить на відрізку . Зазначимо тепер, що на даному проміжку функція є лінійною . А така функція може мати лише одну нерухому точку — це точка і це нерухома точка відображення , а значить не точка періоду 3.

Див. також

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. ‪Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя‬. scholar.google.com. Процитовано 29 травня 2024.
  2. Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1995). Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9780511809187. ISBN 978-0-521-34187-5.
  3. а б Li, Tien-Yien; Yorke, James A. (1975-12). Period Three Implies Chaos. The American Mathematical Monthly (англ.). Т. 82, № 10. с. 985—992. doi:10.1080/00029890.1975.11994008. ISSN 0002-9890. Процитовано 29 травня 2024.
  4. Du, Bau-Sen (20 березня 2007). A collection of simple proofs of Sharkovsky's theorem. arXiv: Dynamical Systems. Процитовано 29 травня 2024.

Література

[ред. | ред. код]
  1. Шарковский А. Н., О циклах и структуре непрерывного отображения [Архівовано 21 липня 2017 у Wayback Machine.] //Укр. матем. журнал 1965. Т.17. стор. 101—111 (рос.)
  2. Misiurewicz M., Remarks on Sharkovsky's Theorem [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.] //Amer. Math. Monthly. 1997. vol. 104. No. 9 (англ.)
  3. А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. «Динамика одномерных отображений». Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
  4. Ю. А. Данилов. «Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.» Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.
  5. Katok A, Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press; 1995.
  6. Strogatz, S.H. (2015). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (2nd ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9780429492563