Матриця угрупування

Матриця групування^{[усталений термін?]} — лінеаризація рівнянь Лотки — Вольтерри в стаціонарній точці. Дійсна частина власних чисел матриці групування визначає стабільність у стаціонарній точці.

Рівняння Лотки — Вольтерри мають такий вигляд:

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=x(\alpha -\beta y)\\{\frac {dy}{dt}}&=-y(\gamma -\delta x),\end{aligned}}$

де x(t) визначає кількість хижаків, y(t) — кількість жертв, і α, β, γ and δ — константи. Лінеаризація цих диференціальних рівнянь у стаціонарній точці (x*, y*) має вигляд

${\begin{bmatrix}{\frac {du}{dt}}\\{\frac {dv}{dt}}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}},$

де u = x − x* і v = y − y*. Матриця A називається матрицею групування (англ. community matrix). Якщо серед власних значень (λ) матриці A є числа з додатною дійсною частиною ($\operatorname {Re} \,\lambda >0$), стаціонарний стан нестійкий, якщо ж дійсна частина обох власних значень від'ємна, то стаціонарний стан буде стійким (стабільним). Критичний випадок, коли дійсна частина власного значення дорівнює нулю, називають нейтральною стійкістю.

Посилання

• Murray, James D. (2002), Mathematical Biology I. An Introduction, Interdisciplinary Applied Mathematics, т. 17 (вид. 3rd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95223-9.