Комбінаторна геометрія

Комбінаторна або дискретна геометрія — розділ геометрії, в якому вивчаються комбінаторні властивості геометричних об'єктів та пов'язані з ними конструкції. У комбінаторній геометрії розглядають скінченні і нескінченні дискретні множини або структури базових однотипних геометричних об'єктів (точок, прямих, кіл, многокутників, тіл з однаковим діаметром, цілочисельних ґраток тощо) і ставлять питання, пов'язані з властивостями різних геометричних конструкцій з цих об'єктів або на цих структурах. Проблеми комбінаторної геометрії простягаються від конкретних «предметно»-комбінаторних питань (хоча і не завжди з простими відповідями) — замощення, пакування кіл на площині, формула Піка — до питань загальних і глибоких — гіпотеза Борсука, проблема Нельсона — Ердеша — Гадвігера.

Історія

Хоча многогранники, замощення і пакування куль досліджувалися ще Кеплером і Коші, сучасна комбінаторна геометрія почала формуватися в кінці 19-го століття. Одними з перших завдань були: щільність пакування кіл Акселя Туе^[ru], проективна конфігурація Штайніца^[ru], геометрія чисел Мінковського і проблема чотирьох фарб Френсіса Гатрі^[en]).

Приклади задач

Уявлення про діапазон задач комбінаторної геометрії дають такі приклади.

Лема Віталі про покриття — комбінаторний геометричний результат. Широко використовується в теорії міри.

Ромботришестикутне пакування куль, одне з 11 можливих симетричних пакувань

Задача про можливі і найщільніші пакування кіл на площині і куль у просторі. Найщільніші пакування кіл і куль видаються очевидними. Але повне математичне доведення для кіл було отримано тільки в 1940 році^[1]. Для куль комп'ютерне доведення гіпотези Кеплера з'явилося через 400 років у 1998 році в роботі математика Томаса Хейлса^[en].

Вісім точок в загальному положенні, для яких немає опуклого п'ятикутника

Задача зі щасливим кінцем стверджує, що в будь-якій достатньо великій множині точок у загальному положенні на площині можна знайти $n$ точок, які є вершинами опуклого многокутника. Гіпотезу Ердеша — Секереша про найменше число точок, які обов'язково містять опуклий $n$ -кутник, на сьогодні не доведено. Дана задача є також завданням теорії Рамсея.

Теорема Мінковського про опукле тіло. Нехай $S$ — замкнуте опукле тіло, симетричне відносно початку координат $O$ $n$ -вимірного евклідового простору, що має об'єм $\geq 2^{n}$ . Тоді в $S$ знайдеться цілочисельна точка, відмінна від $O$ . Ця теорема поклала початок геометрії чисел.

Гіпотеза Борсука стверджує, що будь-яке тіло діаметра $d$ в $n$ -вимірному евклідовому просторі можна розбити на $n+1$ частину так, що діаметр кожної частини буде меншим, ніж $d$ . Цю гіпотезу було доведено для розмірностей $2$ і $3$ , але спростовано для просторів більшої розмірності. За відомою сьогодні оцінкою вона не правильна для просторів розмірності 64 і більше^[2].

Задача Данцера — Ґрюнбаума полягає в пошуку скінченної множини з якомога більшої кількості точок у багатовимірному просторі, між якими можна побудувати тільки гострі кути.

Див. також

Примітки

↑ Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (2010). A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing. arXiv:1009.4322v1 [math.MG].
↑ Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture [Архівовано 26 Грудня 2018 у Wayback Machine.]

Посилання

Bezdek, András; Kuperberg, W. (2003). Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0968-3.
Bezdek, Károly (2010). Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer. ISBN 978-1-4419-0599-4.
Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005). Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-23815-8.
Pach, János; Agarwal, Pankaj K. (1995). Combinatorial geometry. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-58890-3.
Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-301-4.
Gruber, Peter M. (2007). Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer. ISBN 3-540-71132-5.
Matoušek, Jiří (2002). Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95374-4.
Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan, (1997). Excursions into Combinatorial Geometry. Springer. ISBN 3-540-61341-2.

[ChangWang-1] Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (2010). A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing. arXiv:1009.4322v1 [math.MG].

[2] Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture [Архівовано 26 Грудня 2018 у Wayback Machine.]

[1]

[2]