Аналітичний поліедр

У математиці, зокрема теорії функій багатьох комплексних змінних, аналітичним поліедром називається підмножина комплексного простору Cⁿ, яку можна розглядати як узагальнення многогранників у дійсних просторах.

Аналітичні поліедри є областями голоморфності і є важливими у вивченні загальних областей голоморфності.

Означення

Нехай D є областю (тобто зв’язаною відкритою підмножиною) у просторі Cⁿ, а $f_{j}$ — скінченною кількістю функцій, голоморфних на D.

Якщо множина

$P=\{z\in D:|f_{j}(z)|<1,\;\;1\leqslant j\leqslant N\}$

є відносно компактною у D, то P називається аналітичним поліедром.

Якщо $f_{j}$ вище є многочленами, то ця множина називається поліноміальним поліедром.

Властивості

• Кожен аналітичний поліедр є областю голоморфності і, таким чином, є псевдоопуклою множиною.

Якщо точка $w$ є граничною точкою для аналітичного поліедра P, то $|f_{k}(w)|=1$ для деякого k із означення. Тоді функція ${\textstyle g(z):={\frac {1}{f_{k}(z)-f_{k}(w)}}}$ є голоморфною на P, але виродженою в точці $w$. Зважаючи на довільність вибору, звідси випливає, що для кожної граничної точки існує функція, що є голоморфною на P, але виродженою в точці. Тому за означенням P є областю голоморфності.

• Аналітичний поліедр P є областю Бергмана.
• Нехай D є областю голоморфності у просторі Cⁿ і K — відносно компактна підмножина у D. Якщо ${\hat {K}}$ є голоморфно опуклою оболонкою множини K і $D_{0}$ є відкритою множиною, що містить ${\hat {K}}$ як відносно компактну підмножину і сама є відносно компактною підмножиною у D, то існує аналітичний поліедр P , для якого ${\hat {K}}\subset P\subset D_{0}.$ При цьому ${\hat {K}}$ є відносно компактною підмножиною у P і P є відносно компактною у $D_{0}$.

Якщо точка $w$ є граничною точкою для $D_{0}$, то існує голоморфна на D функція $g_{w}$ для якої $|g_{w}(w)|>1$ і $|g_{w}(z)|<1$ для всіх $z\in {\hat {K}}.$ Також можна обрати окіл $N_{w}$ точки $w$ для якого $|g_{w}(z)|>1$ для всіх $z\in N_{w}.$ Але границя множини $D_{0}$ є компактною тому існує скінченна послідовність $w_{1},\ldots ,w_{n}$ точок, околи яких $N_{w_{1}},\ldots ,N_{w_{n}}$ покривають цю границю. Тоді аналітичний поліедр визначений як $P:=\{z\in D_{0}:|g_{w_{j}}(z)|<1,\ j\in 1,\ldots ,n\}$ задовольняє умови твердження.

• Нехай D є областю голоморфності у просторі Cⁿ. Тоді існує зростаюча послідовність аналітичних поліедрів $P_{j}$, така що $P_{j}$ є відносно компактною підмножиною у $P_{j+1}$ і $D=\cup _{j=1}^{\infty }P_{j}.$

Для D можна вибрати зростаючу послідовність відкритих підмножин $D_{j}$, така що $D_{j}$ є відносно компактною підмножиною у $D_{j+1}$ і $D=\cup _{j=1}^{\infty }D_{j}.$ Якщо розглядати голоморфно опуклі оболонки ${\hat {D}}_{j}$ то їх об'єднання теж є рівним D. Окрім того, із того, що D є областю голоморфності, кожен ${\hat {D}}_{j}$ є компактною підмножиною і міститься у деякій множині $D_{k}$, де $k>j$. Тому можна обрати таку підпослідовність ${\hat {D}}_{j}$, що ${\hat {D}}_{j}\subset D_{j+1}\subset {\hat {D}}_{j+1}$ і всі включення є відносно компактними. Згідно з попередньою властивістю в цю послідовність між ${\hat {D}}_{j}$ і $D_{j+1}$ можна також включити аналітичний поліедр $P_{j}$ і всі включення будуть відносно компактними. Послідовність $P_{j}$ задовольняє умови твердження.

• Границя аналітичного многогранника міститься в об'єднанні множини гіперповерхонь

$\sigma _{j}=\{z\in D:|f_{j}(z)|=1\},\;1\leqslant j\leqslant N.$

• Аналітичний поліедр є «поліедром Вейля», або областю Вейля, якщо перетин будь-якої k із зазначених вище гіперповерхонь має розмірність не більше, ніж 2n-k.

Див. також

• Область голоморфності

Література

• Åhag, Per; Czyż, Rafał; Lodin, Sam; Wikström, Frank (2007), Plurisubharmonic extension in non-degenerate analytic polyhedra (PDF), Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, Fasciculus XLV: 139—145, MR 2453953, Zbl 1176.31010.
• Khenkin, G. M. (1990), The Method of Complex Integral Representations in Complex Analysis, у Vitushkin, A. G. (ред.), Several Complex Variables I, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, т. 7, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, с. 19–116, ISBN 3-540-17004-9, MR 0850491, Zbl 0781.32007 (also available as ISBN 0-387-17004-9).
• Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice–Hall series in Modern Analysis, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, с. xiv+317, ISBN 9780821869536, MR 0180696, Zbl 0141.08601.
• Gunning, Robert C. (1990), Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables. Volume I: Function Theory, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Belmont, California: Wadsworth & Brooks/Cole, с. xx+203, ISBN 0-534-13308-8, MR 1052649, Zbl 0699.32001.
• Hörmander, Lars (1990) [1966], An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North–Holland Mathematical Library, т. 7 (вид. 3rd (Revised)), Amsterdam–London–New York–Tokyo: Elsevier North-Holland, ISBN 0-444-88446-7, MR 1045639, Zbl 0685.32001.
• Kaup, Ludger; Kaup, Burchard (1983), Holomorphic functions of several variables, de Gruyter Studies in Mathematics, т. 3, Berlin–New York: Walter de Gruyter, с. XV+349, ISBN 978-3-11-004150-7, MR 0716497, Zbl 0528.32001.
• Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (італ.), Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, с. XIV+255, Zbl 0094.28002.