Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Якобіан — визна́чник матриці Якобі .
При заміні змінних
u
i
=
u
i
(
x
1
,
…
,
x
j
,
…
,
x
m
)
{\displaystyle u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{m})}
J
=
|
∂
u
1
∂
x
1
⋯
∂
u
1
∂
x
m
⋮
⋱
⋮
∂
u
m
∂
x
1
⋯
∂
u
m
∂
x
m
|
.
{\displaystyle J=\left|{\begin{matrix}{\dfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial u_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial u_{m}}{\partial x_{m}}}\end{matrix}}\right|.}
Якобіан використовується при зміні змінних при інтегруванні :
d
u
1
⋅
…
d
u
m
=
|
J
|
d
x
1
⋅
…
d
x
m
{\displaystyle du_{1}\cdot \ldots du_{m}=|J|dx_{1}\cdot \ldots dx_{m}}
Крім позначення літерою J використовується також позначення
J
=
D
(
u
1
,
…
,
u
m
)
D
(
x
1
,
…
,
x
m
)
{\displaystyle J={\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(x_{1},\ldots ,x_{m})}}}
Якобіан має ряд властивостей, подібних до властивостей похідної. Зокрема
D
(
u
1
,
…
,
u
m
)
D
(
t
1
,
…
,
t
m
)
=
D
(
u
1
,
…
,
u
m
)
D
(
x
1
,
…
,
x
m
)
D
(
x
1
,
…
,
x
m
)
D
(
t
1
,
…
,
t
m
)
{\displaystyle {\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(t_{1},\ldots ,t_{m})}}={\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(x_{1},\ldots ,x_{m})}}{\frac {D(x_{1},\ldots ,x_{m})}{D(t_{1},\ldots ,t_{m})}}}
D
(
u
1
,
…
,
u
m
)
D
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
1
D
(
x
1
,
…
,
x
m
)
D
(
u
1
,
…
,
u
m
)
{\displaystyle {\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {1}{\frac {D(x_{1},\ldots ,x_{m})}{D(u_{1},\ldots ,u_{m})}}}}
У сферичній системі координат
x
=
r
sin
θ
cos
φ
{\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi }
y
=
r
sin
θ
sin
φ
{\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi }
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle z=r\cos \theta \,}
Якобіан дорівнює
J
(
r
,
θ
,
φ
)
=
|
d
x
d
r
d
x
d
θ
d
x
d
φ
d
y
d
r
d
y
d
θ
d
y
d
φ
d
z
d
r
d
z
d
θ
d
z
d
φ
|
=
|
sin
θ
cos
φ
r
cos
θ
cos
φ
−
r
sin
θ
sin
φ
sin
θ
sin
φ
r
cos
θ
sin
φ
r
sin
θ
cos
φ
cos
θ
−
r
sin
θ
0
|
=
r
2
sin
θ
{\displaystyle J{\bigl (}r,\theta ,\varphi {\bigr )}=\left|{\begin{matrix}{dx \over dr}{dx \over d\theta }{dx \over d\varphi }\\{dy \over dr}{dy \over d\theta }{dy \over d\varphi }\\{dz \over dr}{dz \over d\theta }{dz \over d\varphi }\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{matrix}}\right|=r^{2}\sin \theta }
Тому
d
x
d
y
d
z
=
r
2
sin
θ
d
r
d
θ
d
φ
{\displaystyle dxdydz=r^{2}\sin \theta drd\theta d\varphi }
Григорій Михайлович Фіхтенгольц Курс диференціального та інтегрального числення . — 2024. — 2403 с.(укр.) Herbert Federer: Geometric measure theory. 1. Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4 (englisch). (Für die Definition)
Wolfgang Nolting: Klassische Mechanik. In: Grundkurs theoretische Physik. 8. Auflage. Band 1. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-34832-0 .
W. Tian, W. Gao, D. Zhang et. (2014) A general approach for error modeling of machine tools. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 79, 17–23. (застосування якобіана для багатокоординатної обробки об'єктів)
