Wikipedia — ирекле энциклопедия проектыннан ([http://tt.wikipedia.org.ttcysuttlart1999.aylandirow.tmf.org.ru/wiki/Евклид фәзасы latin yazuında])
3-үлчәмле Евклид фәзасында һәр нокта 3 координата белән билгеләнә Евклид фәзасы — Евклидча геометриянең аксиомалары белән тасвирлана торган 3-үлчәмле фәза яки гомуми мәгънәдә: уңай тамгалы скаляр тапкырчыгыш билгеләнгән фәза.
Евклид фәзасында тискәре һәм уңай почмаклар:
φ
=
arccos
(
(
x
,
y
)
|
x
|
|
y
|
)
.
{\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).}
n
{\displaystyle n}
E
n
,
{\displaystyle \mathbb {E} ^{n},}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Евклид фәзасы уңай чын скаляр тапкырчыгыш барлыгы белән билгеләнә, шуннан скаляр тапкырчыгышның үзлекләре бөтен фәзага хас:
Бисызыклылык: һәр векторлар
u
,
v
,
w
{\displaystyle u,v,w}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
(
a
u
+
b
v
,
w
)
=
a
(
u
,
w
)
+
b
(
v
,
w
)
{\displaystyle \quad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)}
(
u
,
a
v
+
b
w
)
=
a
(
u
,
v
)
+
b
(
u
,
w
)
;
{\displaystyle (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);}
Симметриялелек: һәр векторлар
u
,
v
{\displaystyle u,v}
(
u
,
v
)
=
(
v
,
u
)
;
{\displaystyle \quad (u,v)=(v,u);}
Уңай тамгалы итеп билгеләнү: һәр
u
{\displaystyle u}
(
u
,
u
)
⩾
0
,
{\displaystyle \quad (u,u)\geqslant 0,}
(
u
,
u
)
=
0
⇒
u
=
0.
{\displaystyle (u,u)=0\Rightarrow u=0.}
Евклид фәзасы мисалы —
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
скаляр тапкырчыгыш белән:
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
⋯
+
x
n
y
n
.
{\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}
Евклид фәзасында
u
{\displaystyle u}
(
u
,
u
)
{\displaystyle {\sqrt {(u,u)}}}
|
u
|
{\displaystyle |u|}
Евклид фәзасында
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
φ
=
arccos
(
(
x
,
y
)
|
x
|
|
y
|
)
.
{\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).}
Коши-Буняковский тигезсезлегеннән
|
(
x
,
y
)
|
x
|
|
y
|
|
⩽
1.
{\displaystyle \left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.}
arccos
(
(
x
,
y
)
|
x
|
|
y
|
)
{\displaystyle \arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
d
(
x
,
y
)
=
‖
x
−
y
‖
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
.
{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}
Евклид фәзалары мисаллары:
1
{\displaystyle 1}
E
1
{\displaystyle \mathbb {E} ^{1}}
чын туры сызык )
2
{\displaystyle 2}
E
2
{\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}
евклид яссылыгы )
3
{\displaystyle 3}
E
3
{\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}
3-үлчәмле евклид фәзасы )Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с. 
