Wikipedia — ирекле энциклопедия проектыннан ([http://tt.wikipedia.org.ttcysuttlart1999.aylandirow.tmf.org.ru/wiki/Геометрик прогрессия latin yazuında])
Геометрик прогрессия —
b
1
,
b
2
,
b
3
,
…
{\displaystyle b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ \ldots }
саннарының (прогрессия әгъзалары) эзлеклелеге, прогрессиянең һәр киләсе әгъзасы элекке әгъзасы һәм билгеләнгән сан
q
{\displaystyle q\quad }
(прогрессия ваклаучысы ) тапкырчыгышына тигез:
b
1
≠
0
{\displaystyle b_{1}\not =0}
,
q
≠
0
{\displaystyle q\not =0}
:
b
1
,
b
2
=
b
1
q
,
b
3
=
b
2
q
,
…
,
b
n
=
b
n
−
1
q
{\displaystyle b_{1},\ b_{2}=b_{1}q,\ b_{3}=b_{2}q,\ \ldots ,\ b_{n}=b_{n-1}q}
Геометрик прогрессиянең һәр әгъзасы түбәндәге тигезләмәдә исәпләнә:
b
n
=
b
1
q
n
−
1
{\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad }
b
1
>
0
{\displaystyle b_{1}>0}
һәм
q
>
1
{\displaystyle q>1}
булган очракта прогрессия артучы эзлеклелек дип атала
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0<q<1}
булган очракта прогрессия кимүче эзлеклелек дип атала
q
<
0
{\displaystyle q<0}
булган очракта прогрессия алмаш тамгалы эзлеклелек дип атала
Прогрессия геометрик дип йөртелә, чөнки аның төп үзлеге:
|
b
n
|
=
b
n
−
1
b
n
+
1
,
{\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}
ягъни һәр әгъзасы аның күршеләренең уртача геометрик зурлыгына тигез.
Геометрик прогрессия әгъзаларыннан логарифмнар арифметик прогрессияне төзи.
b
n
2
=
b
n
−
i
b
n
+
i
{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}
,
1
<
i
<
n
{\displaystyle 1<i<n}
өчен
тапкырчыгышлар:
P
n
=
(
b
1
⋅
b
n
)
n
2
{\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}}
.
P
k
,
n
=
P
n
P
k
−
1
{\displaystyle P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}
.
Геометрик прогрессиянең
n
{\displaystyle n}
әгъзалары суммасы:
S
n
=
{
∑
i
=
1
n
b
i
=
b
1
−
b
1
q
n
1
−
q
=
b
1
(
1
−
q
n
)
1
−
q
,
if
q
≠
1
n
b
1
,
if
q
=
1
{\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}(1-q^{n})}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}
Әгәр
|
q
|
<
1
{\displaystyle \left|q\right|<1}
булса:
n
→
+
∞
{\displaystyle n\to +\infty }
өчен
b
n
→
0
{\displaystyle b_{n}\to 0}
һәм
n
→
+
∞
{\displaystyle n\to +\infty }
өчен
S
n
→
b
1
1
−
q
{\displaystyle S_{n}\to {b_{1} \over 1-q}}
Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
Геометрическая прогрессия — статья из Большой советской энциклопедии (3-е издание).
Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.