Periyodik fonksiyon

Periyodik fonksiyon, matematikte belli zaman aralığıyla kendini tekrar eden olguları ifade eden fonksiyonlara verilen isimdir. Tekrar etme süresi "periyot" olarak bilinir. Trigonometrik fonksiyonlar (sin, cos vb.) en tipik periyodik fonksiyonlardır. Bununla birlikte, diğer periyodik fonksiyonlar da trigonometrik fonksiyonların toplamı olarak ifade edilebilirler.

Trigonometrik fonksiyon

(Ana madde Trigonometri)

Trigonometrik fonksiyon olarak sin, cos, tan, csc, sec ve cot fonksiyonları tarif edilmiştir.Ancak, bütün bu fonksiyonlar bir birlerine bağlı olduğundan, genellikle bu fonksiyonlardan herhangi birini (sin veya cos ) incelemek yeterli olur.En genel haliyle,

${\begin{aligned}Y(t)=A\cdot \sin(\omega t+\theta )\end{aligned}}$

Şayet aynı fonksiyon kosinüs ile gösterilirse,

${\begin{aligned}Y(t)=A\cdot \cos \left(\omega t+\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$

Bu ifadelerde, ${\begin{aligned}(\omega t+\theta )\end{aligned}}$ ve ${\begin{aligned}\left(\omega t+\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$ açıdır.

Uygulamada açı birimi olarak derece kullanılsa da, matematikte radyan birimi tercih edilir.

$\mathbf {\pi } =3.14159\dots$

${\begin{aligned}1{\text{ rad}}={\frac {180}{\pi }}\approx 57.295780{\text{ derece}}\end{aligned}}$

Açı ifadesinin içinde t zaman değişkeni, θ de faz farkı ve ω de açısal frekanstır.

Açısal frekans ile frekans (f) arasında şu ilişki vardır:

$\mathbf {\omega } =2\cdot \pi \cdot f$

Periyodik fonksiyonun her dalgası kendini belli zaman aralığı ile tekrar eder. Frekans tekrarlama sıklığıdır. Tekrarlama süresine de periyot (τ) denilir

$\mathbf {\tau } ={\frac {1}{f}}$

Frekans birim hertz (Hz.), açısal frekans birimi radyan/saniye (rad/s.) ve periyot birimi de saniyedir (s.)

Bazı örnekler

Sağdaki şekilde alt alta beş periyodik fonksiyonun çizimi gösterilmiştir. Bütün çizimlerde sinüs genliği olarak 1 birim alınmıştır. Periyot sayısı 4 tür. (1440 derece)

• Birinci örnek:

${\begin{aligned}Y(t)=\sin(\omega t)\end{aligned}}$

Bu örnekte, faz açısı 0 dır. Bu sebepten 0 anında sinüs fonksiyonun değeri de 0 dır. Değer +/- 1 arasında salınmaktadır.

• İkinci örnek:

${\begin{aligned}Y(t)=1+\sin(\omega t)\end{aligned}}$

Bu örnekte de, sinüs fonksiyonunun faz açısı 0 dır. Ancak sinüs fonksiyonu sabit bir genlikli bir fonksiyon ile toplanmıştır (1). Bu sebepten, 0 anında fonksiyon toplam değeri 1 birimdir. Fonksiyon değeri 0 ile 2 arasında salınmaktadır.

• Üçüncü örnek

${\begin{aligned}Y(t)=\sin \left(\omega t+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}$

Bu örnekte, açıda bir de faz farkı terimi gösterilmiştir. Faz açısı л/4 radyan ya da derece cinsinden 45 derecedir. Bu sebepten, 0 anında fonksiyon değeri (sin 45 = 0.707) dir. Salınım +/- 1 değerleri arasındadır.

• Dördüncü örnek :

${\begin{aligned}Y(t)=\cos(\omega t)\end{aligned}}$

Aslında kosinüs fonksiyonu da sinüs fonksiyonuna dönüştürülebilir.

${\begin{aligned}Y(t)=\cos(\omega t)=\sin \left(\omega t+{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$

olduğundan, bu fonksiyon л/2 radyan ya da derece cinsinden 90 derecedir. Bu sebepten, 0 anında fonksiyon değeri 1 dir. Salınım +/- 1 değerleri arasındadır.

• Beşinci örnek:

${\begin{aligned}Y(t)=\sin(\omega t)+\sin(2\omega t)\end{aligned}}$

Bu örnekte fonksiyon çiziminin alışılmış sinüs sinyaline benzemediği görülmektedir.Ama bu fonksiyon da gerçekte iki sinüs fonksiyonunun toplamından başka bir şey değildir. Gerçi 0 anında fonksiyon değeri 0 dır. Ama salınım, +/- 1.76 aralığındadır.

Fourier dönüşümleri

Ana madde: Fourier serileri

Fransız fizikçi Joseph Fourier (1768-1830) adıyla onurlandırılan Fourier dönüşümleri tanımlı herhangi bir periodik fonksiyonun sonsuz sinüs (ya da kosinüs) serileri ile ifade edilebileceğini gösterir. (yukardaki beşinci örnek gibi) Hatta kare veya testere dişi şeklindeki fonksiyonlar bile sinüs serileri toplamı olarak gösterilebilir.

Kare dalga için,

$Y(t)={\frac {4}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\left((2k-1)\omega t\right)} \over (2k-1)}.$

Testeredişi dalga için ise,

${\begin{aligned}Y(t)&=2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\sin(k\omega t)\end{aligned}}$

(Denklemlerin elde edilmesi ve tanımlı bölge için Fourier serileri maddesine bakılmalıdır.)

Testeredişi ve kare fonksiyonların çizimi şekildedir. Bu şekillerde, sonsuz serinin ilk 10 terimi kullanılmıştır.Süre yukardaki örneklerde olduğu gibi, 4 periyottur.

Testeredişi için;

${\begin{aligned}Y(t)=2\cdot \left(\sin(\omega t)-{\frac {1}{2}}\sin(2\omega t)+\ldots -{\frac {1}{10}}\sin(10\omega t)\right)\end{aligned}}$

Kare için,

${\begin{aligned}Y(t)={\frac {4}{\pi }}\cdot \left(\sin(\omega t)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega t)+\ldots +{\frac {1}{19}}\sin(19\omega t)\right)\end{aligned}}$

Periyodik fonksiyonların üstsel fonksiyon olarak gösterilmesi

Üstel fonksiyon (ya da kuvvetsel fonksiyon) ile trigonometrik fonksiyonlar arasında şu ilişki vardır.

${\begin{aligned}\exp(j\omega t)=e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\cdot \sin(\omega t)\end{aligned}}$

Burada exp üstel fonksiyon dur. j ise sanal operatördür. (Mühendislikte j, matematikte ise i harfi kullanılır.)

Buna göre,

${\begin{aligned}\cos(\omega t)={\frac {\exp(j\omega t)+\exp(-j\omega t)}{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin(\omega t)={\frac {\exp(j\omega t)-\exp(-j\omega t)}{2j}}\end{aligned}}$

Bir başka deyişle argümenti sanal sayı olan üstsel fonksiyon da periyodik fonksiyondur.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Frekans
• Trigonometri
• Fourier dönüşümü