Analiz (matematik): Revizyonlar arasındaki fark

[kontrol edilmemiş revizyon]

← Önceki sürümle aradaki fark Sonraki sürümle aradaki fark →

İçerik silindi İçerik eklendi

Satır içi

Sayfanın 17.24, 13 Kasım 2024 tarihindeki hâli

Analiz matematiğin önemli ana dallarından biridir. Limit, sonsuz diziler, seriler, süreklilik, türev, integral ve ölçü gibi kavramlar üzerine kurulmuştur.^[1]^[2]

Bu kavramlar genellikle gerçel ve karmaşık sayılar ve genellikle bu sayılar üzerinde tanımlı fonksiyonlar bağlamında incelenir. Analiz, yine analizin temel kavramlarını ve tekniklerini içeren ve analizde giriş sayılabilecek kalkülüsten evrilmiştir. Analiz, geometriden ayırt edilebilir; ancak, civârlık tanımı (topolojik uzay) veya nesneler arasındaki belirli mesafeler (metrik uzay) olan herhangi bir matematiksel nesne uzayına uygulanabilir.

Tarihi

Antik dönem

Analiz resmen 17. yüzyılda Bilimsel Devrim sırasında geliştirildi^[3]; ancak, analizdeki fikirlerin çoğu daha önceki matematikçilere kadar izlenebilir. Analizdeki erken dönem sonuçları, antik Yunan matematiğinin erken dönemlerinde örtük olarak mevcuttu. Örneğin, sonsuz bir geometrik toplam, Zenon'un dikotomi paradoksu örtük olarak mevcuttur.^[4] ^{[not 1]} Daha sonra, Knidoslu Ödoksus ve Arşimet gibi Yunan matematikçiler, bölgelerin ve katıların alanını ve hacmini hesaplamak için tüketme yöntemini kullandıklarında limit ve yakınsama kavramlarını daha açık, ancak gayrı resmi olarak kullandılar.^[5]Sonsuz küçüklerin açık kullanımı, 20. yüzyılda Arşimet'in yeniden keşfedilen bir eseri olan Mekanik Teoremler Yöntemi'nde görülür..^[6] Asya'da, Çinli matematikçi Liu Hui, bir dairenin alanını bulmak için 3. yüzyılda tüketme yöntemini kullandı.^[7] Jain literatürüne göre ise, Hinduların MÖ 4. yüzyıla kadar giden erken bir tarihte aritmetik ve geometrik serilerin toplamı için formüllere sahip olduğu anlaşılıyor.^[8] Ācārya Bhadrabāhu, MÖ 433'te Kalpasūtra adlı eserinde geometrik bir serinin toplamını kullanır.^[9]

Ortaçağ

Zu Chongzhi, 5. yüzyılda bir kürenin hacmini bulmak için daha sonra Cavalieri ilkesi olarak adlandırılacak bir yöntem oluşturdu.^[10] 12. yüzyılda, Hintli matematikçi Bhāskara II sonsuz küçükleri kullandı ve günümüzde Rolle teoremi olarak bilinen sonucu kullandı.^[11]

14. yüzyılda Sangamagramalı Madhava, sinüs, kosinüs, tanjant ve arktanjant gibi fonksiyonların günümüzde Taylor serisi olarak adlandırılan sonsuz seri açılımlarını geliştirdi.^[12] Trigonometrik fonksiyonların Taylor serilerini geliştirmesinin yanı sıra, bu serilerin kesilmesinden kaynaklanan hata terimlerinin büyüklüğünü de tahmin etti ve bazı sonsuz seriler için rasyonel bir yaklaşım verdi. Kerala Astronomi ve Matematik Okulu'ndaki takipçileri, çalışmalarını 16. yüzyıla kadar ilerlettiler.

Modern çağ

Temeller

Analizin modern temelleri 17. yüzyıl Avrupa'sında atılmıştır.^[3] Bu, Fermat ve Descartes'ın modern kalkülüsün öncüsü olan analitik geometriyi geliştirmeleriyle başlamıştır. Fermat'nın eşitlik yöntemi, fonksiyonların maksimum ve minimumlarını ve eğrilerin teğetlerini belirlemesine olanak sağlamıştır.^[13] Descartes'ın 1637'de Kartezyen koordinat sistemini tanıtan La Géométrie'yi yayınlaması, analizin kuruluşu olarak kabul edilir. Birkaç on yıl sonra Newton ve Leibniz, 18. yüzyıl boyunca devam eden uygulamalı çalışmaların teşvikiyle, varyasyonlar hesabı, adi ve kısmi diferansiyel denklemler, Fourier analizi ve üretim fonksiyonu gibi analiz konularına dönüşen sonsuz küçükler hesabını bağımsız olarak geliştirdiler. Bu dönemde, kalkülüs teknikleri ayrık problemlere sürekli problemlerle yaklaşım için uygulandı.

Modernizasyon

18. yüzyılda Euler, matematikteki fonksiyon kavramını ortaya koydu.^[14] Gerçel analiz, Bernard Bolzano 1816'da sürekliliğin modern tanımını ortaya koyduğunda bağımsız bir konu olarak ortaya çıkmaya başladı^[15]; ancak, Bolzano'nun çalışması 1870'lere kadar yaygın olarak bilinmedi. 1821'de Cauchy, özellikle Euler tarafından daha önceki çalışmalarda yaygın olarak kullanılan cebirin genelliği ilkesini reddederek kalkülüsü sağlam bir mantıksal temele oturtmaya başladı. Bunun yerine Cauchy, kalkülüsü geometrik fikirler ve sonsuz küçükler açısından formüle etti. Bu nedenle, Cauchy'nin süreklilik tanımı, $y$ 'deki sonsuz küçük bir değişime karşılık gelmesi için $x$ 'teki sonsuz küçük bir değişimi gerektiriyordu. Ayrıca bugün Cauchy dizisi denilen kavramı ortaya koydu ve karmaşık analizin örgün teorisini başlattı. Poisson, Liouville, Fourier ve diğerleri kısmi diferansiyel denklemleri ve harmonik analizi üzerine çalıştılar. Bu matematikçilerin ve Weierstrass gibi diğerlerinin katkıları, (ε, δ)-limit tanımını geliştirerek modern analiz alanını kurdu. Aynı zamanlarda, Riemann integral teorisini tanıttı ve karmaşık analizde önemli ilerlemeler kaydetti.

19. yüzyılın sonlarına doğru, matematikçiler kanıt olmaksızın gerçel sayıların süreyinin varlığını varsaydıklarından endişe duymaya başladılar. Dedekind daha sonra gerçel sayıları, irrasyonel sayıların resmen tanımlandığı ve rasyonel sayılar arasındaki "boşlukları" doldurmaya yarayan Dedekind kesimleriyle oluşturdu ve böylece tam bir küme yarattı ki bu da Simon Stevin tarafından ondalık açılımlar aracılığıyla daha önce geliştirilmiş olan gerçel sayılar süreyini yarattı. O sıralarda, Riemann integralinin teoremlerini iyileştirme girişimleri, gerçek fonksiyonların süreksizlik kümesinin "büyüklüğünün" incelenmesine yol açtı .

Ayrıca, yaygın olarak "canavarlar" olarak bilinen çeşitli patolojik nesneler (örneğin hiçbir yerde sürekli olmayan fonksiyonlar, sürekli ancak hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonlar ve uzayı dolduran eğriler) araştırılmaya başlandı. Bu bağlamda, Jordan kendi ölçü teorisini geliştirdi, Cantor günümüzde bilinen adıyla, naif küme teorisini geliştirdi ve Baire, Baire kategori teoremini kanıtladı. 20. yüzyılın başlarında, kalkülüs aksiyomatik bir küme teorisi kullanılarak resmileştirildi. Lebesgue ölçü teorisini büyük ölçüde geliştirdi ve günümüzde Lebesgue integrali olarak bilinen kendi integral teorisini tanıttı ve bu teorinin Riemann'ınkine göre büyük bir gelişme olduğu görüldü. Hilbert, integral denklemlerini çözmek için Hilbert uzaylarını tanımladı. Normlu vektör uzayı fikri hissediliyordu ve 1920'lerde Banach fonksiyonel analizi yarattı .

Önemli kavramlar

Metrik uzaylar

Matematikte, bir metrik uzay, elemanları arasında uzaklık kavramının (metrik olarak adlandırılır) tanımlandığı bir kümedir.

Analizin çoğu bazı önemli metrik uzaylarda yapılır. En yaygın kullanılanlar gerçel sayılar doğrusu, karmaşık düzlem, Öklid uzayı, diğer vektör uzayları ve tam sayılardır. Metrik içermeyen analiz örnekleri arasında ölçü teorisi (uzaklıktan ziyade büyüklük ölçüsü tanımlar) ve fonksiyonel analizin bir kısmı (uzaklık kavramına ihtiyaç duymayan topolojik vektör uzaylarını inceler) bulunur.

Ana dallar

Kalkülüs/Temel analiz

Gerçel analiz

Gerçel analiz ya da daha geleneksel adıyla "gerçel değişkenli fonksiyonlar teorisi", gerçel sayılarla ve gerçel değişkenlere bağlı ve gerçel değerler alan fonksiyonlarla ilgilenen bir analiz dalıdır.^[16]^[17] Özellikle, gerçel fonksiyon ve dizilerin analitik özellikleriyle ilgilenir; bunlara, gerçel sayı dizilerinin yakınsaklığı ve limitleri, gerçek sayıların hesabı ve gerçel değerli fonksiyonların sürekliliği, türevliliği ve ilgili özellikleri dahildir.

Karmaşık analiz

Karmaşık analiz, kompleks analiz ya da daha geleneksel adıyla "karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi" olarak bilinir), karmaşık sayıların fonksiyonlarını inceleyen analiz dalıdır.^[18] }}Cebirsel geometri, sayılar teorisi, uygulamalı matematik dahil olmak üzere matematiğin birçok dalında; ayrıca hidrodinamik, termodinamik, makine mühendisliği, elektrik mühendisliği ve özellikle kuantum alan teorisi dahil olmak üzere fiziğin değişik alanlarında faydalıdır .

Karmaşık analiz özellikle karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlarla (veya daha genel olarak meromorf fonksiyonlarla) ilgilenir. Herhangi bir analitik fonksiyonun gerçel ve sanal kısımları Laplace denklemini sağlamak zorunda olduğundan, karmaşık analiz fizikteki iki boyutlu problemlere yaygın olarak uygulanabilir.

Fonksiyonel analiz

Harmonik analiz

Diferansiyel denklemler

Ölçü teorisi

Sayısal analiz

Skaler analiz

Tensör analizi

Notlar

^ Kesin olarak konuşmak gerekirse, paradoksun amacı sonsuz toplamın var olduğunu reddetmektir.

Kaynakça

^ Edwin Hewitt ve Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965
^ Stillwell, John Colin. "analysis | mathematics". Encyclopædia Britannica. 2015-07-26 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-07-31.
^ ^a ^b Jahnke, Hans Niels (2003). A History of Analysis. History of Mathematics. 24. American Mathematical Society. s. 7. doi:10.1090/hmath/024. ISBN 978-0821826232. 2016-05-17 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-11-15.
^ Stillwell, John Colin (2004). "Infinite Series". Mathematics and its History (2nd bas.). Springer Science+Business Media Inc. s. 170. ISBN 978-0387953366. Sonsuz seriler Yunan matematiğinde mevcuttu, [...] Örneğin, Zeno'nun ikilik paradoksunun (Bölüm 4.1), sayı 1'in sonsuz ¹⁄₂ + ¹⁄₂² + ¹⁄₂³ + ¹⁄₂⁴ + ... serisine ayrıştırılmasıyla ilgili olduğu ve Arşimet'in parabolik parçanın alanını (Bölüm 4.4) esasen sonsuz 1 + ¹⁄₄ + ¹⁄₄² + ¹⁄₄³ + ... = ⁴⁄₃ serisini toplayarak bulduğu konusunda hiçbir soru yoktur . Bu iki örnek de geometrik bir serinin toplamı olarak ifade ettiğimiz sonucun özel durumlarıdır
^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0486204307. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)
^ Pinto, J. Sousa (2004). Infinitesimal Methods of Mathematical Analysis. Horwood Publishing. s. 8. ISBN 978-1898563990. 2016-06-11 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-11-15.
^ Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné (1966). A comparison of Archimedes' and Liu Hui's studies of circles. Chinese studies in the history and philosophy of science and technology. 130. Springer. s. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7. 2016-06-17 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-11-15. , Chapter, p. 279 2016-05-26 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
^ Singh, A. N. (1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris. 1: 606–628. doi:10.1086/368443. JSTOR 301627.
^ K. B. Basant, Satyananda Panda (2013). "Summation of Convergent Geometric Series and the concept of approachable Sunya" (PDF). Indian Journal of History of Science. 48: 291–313.
^ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 bas.). Jones & Bartlett Learning. s. xxvii. ISBN 978-0763759957. 2019-04-21 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-11-15.
^ Seal, Sir Brajendranath (1915), "The positive sciences of the ancient Hindus", Nature, 97 (2426), s. 177, Bibcode:1916Natur..97..177., doi:10.1038/097177a0, hdl:2027/mdp.39015004845684 Geçersiz |hdl-access=free (yardım)
^ Rajagopal, C. T.; Rangachari, M. S. (June 1978). "On an untapped source of medieval Keralese Mathematics". Archive for History of Exact Sciences. 18 (2): 89–102. doi:10.1007/BF00348142.
^ Pellegrino, Dana. "Pierre de Fermat". 2008-10-12 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2008-02-24.
^ Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. s. 17. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)
^ Cooke, Roger (1997). "Beyond the Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. s. 379. ISBN 978-0471180821. Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)
^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd bas.). McGraw–Hill. ISBN 978-0070542358. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)
^ Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387950600.
^ Ahlfors, Lars Valerian (1979). Complex Analysis (3rd bas.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0070006577.

[5] Kesin olarak konuşmak gerekirse, paradoksun amacı sonsuz toplamın var olduğunu reddetmektir.

[1] Edwin Hewitt ve Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965

[Stillwell_Analysis-2] Stillwell, John Colin. "analysis | mathematics". Encyclopædia Britannica. 2015-07-26 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-07-31.

[analysis-3] Jahnke, Hans Niels (2003). A History of Analysis. History of Mathematics. 24. American Mathematical Society. s. 7. doi:10.1090/hmath/024. ISBN 978-0821826232. 2016-05-17 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-11-15.

[Stillwell_2004-4] Stillwell, John Colin (2004). "Infinite Series". Mathematics and its History (2nd bas.). Springer Science+Business Media Inc. s. 170. ISBN 978-0387953366. Sonsuz seriler Yunan matematiğinde mevcuttu, [...] Örneğin, Zeno'nun ikilik paradoksunun (Bölüm 4.1), sayı 1'in sonsuz ¹⁄₂ + ¹⁄₂² + ¹⁄₂³ + ¹⁄₂⁴ + ... serisine ayrıştırılmasıyla ilgili olduğu ve Arşimet'in parabolik parçanın alanını (Bölüm 4.4) esasen sonsuz 1 + ¹⁄₄ + ¹⁄₄² + ¹⁄₄³ + ... = ⁴⁄₃ serisini toplayarak bulduğu konusunda hiçbir soru yoktur . Bu iki örnek de geometrik bir serinin toplamı olarak ifade ettiğimiz sonucun özel durumlarıdır

[Smith_1958-6] Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0486204307. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)

[7] Pinto, J. Sousa (2004). Infinitesimal Methods of Mathematical Analysis. Horwood Publishing. s. 8. ISBN 978-1898563990. 2016-06-11 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-11-15.

[8] Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné (1966). A comparison of Archimedes' and Liu Hui's studies of circles. Chinese studies in the history and philosophy of science and technology. 130. Springer. s. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7. 2016-06-17 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-11-15. , Chapter, p. 279 2016-05-26 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[9] Singh, A. N. (1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris. 1: 606–628. doi:10.1086/368443. JSTOR 301627.

[10] K. B. Basant, Satyananda Panda (2013). "Summation of Convergent Geometric Series and the concept of approachable Sunya" (PDF). Indian Journal of History of Science. 48: 291–313.

[11] Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 bas.). Jones & Bartlett Learning. s. xxvii. ISBN 978-0763759957. 2019-04-21 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-11-15.

[12] Seal, Sir Brajendranath (1915), "The positive sciences of the ancient Hindus", Nature, 97 (2426), s. 177, Bibcode:1916Natur..97..177., doi:10.1038/097177a0, hdl:2027/mdp.39015004845684 Geçersiz |hdl-access=free (yardım)

[rajag78-13] Rajagopal, C. T.; Rangachari, M. S. (June 1978). "On an untapped source of medieval Keralese Mathematics". Archive for History of Exact Sciences. 18 (2): 89–102. doi:10.1007/BF00348142.

[Pellegrino-14] Pellegrino, Dana. "Pierre de Fermat". 2008-10-12 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2008-02-24.

[function-15] Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. s. 17. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)

[16] Cooke, Roger (1997). "Beyond the Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. s. 379. ISBN 978-0471180821. Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)

[17] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd bas.). McGraw–Hill. ISBN 978-0070542358. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)

[18] Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387950600.

[Ahlfors_1979-19] Ahlfors, Lars Valerian (1979). Complex Analysis (3rd bas.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0070006577.

[1]

[2]

[3]

[4]

[not 1]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

@@ 1. satır: / 1. satır: @@
 {{hakkında|matematiğin ana dalı olan Analiz|Analizin diğer anlamları |Analiz (anlam ayrımı)}}
-{{Kaynaksız|tarih=Şubat 2020}}
 {{Matematik konuları kenar çubuğu}}
-'''Analiz''' [[Matematik|matematiğin]] önemli ana dallarından biridir. [[Limit]], [[Dizi|sonsuz diziler]], [[seriler]], [[sürekli fonksiyon|süreklilik]], [[türev]], [[integral]] ve [[Ölçü (matematik)|ölçü]] gibi kavramlar üzerine kurulmuştur.
+'''Analiz''' [[Matematik|matematiğin]] önemli ana dallarından biridir. [[Limit]], [[Dizi|sonsuz diziler]], [[seriler]], [[sürekli fonksiyon|süreklilik]], [[türev]], [[integral]] ve [[Ölçü (matematik)|ölçü]] gibi kavramlar üzerine kurulmuştur.<ref>[[Edwin Hewitt]] ve Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965</ref><ref name="Stillwell_Analysis">{{cite encyclopedia |title=analysis {{!}} mathematics |url=https://www.britannica.com/topic/analysis-mathematics |access-date=2015-07-31 |encyclopedia=Encyclopædia Britannica |author-first=John Colin |author-last=Stillwell |author-link=John Colin Stillwell |date= |archive-date=2015-07-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150726223522/https://www.britannica.com/topic/analysis-mathematics |url-status=live}}</ref>
+Bu kavramlar genellikle gerçel ve karmaşık sayılar ve genellikle bu sayılar üzerinde tanımlı fonksiyonlar bağlamında incelenir. Analiz, yine analizin temel kavramlarını ve tekniklerini içeren ve analizde giriş sayılabilecek kalkülüsten evrilmiştir. Analiz, geometriden ayırt edilebilir; ancak, civârlık tanımı ([[Topolojik uzaylar|topolojik uzay]]) veya nesneler arasındaki belirli mesafeler ([[metrik uzay]]) olan herhangi bir matematiksel nesne uzayına uygulanabilir.
-Eğri, yüzey ve [[fizik]] problemlerini bünyesine alarak gelişti. Bu tür konular, özel veya farklı değer kümeleriyle meşgul olan [[cebir]] ve [[aritmetik|aritmetiğin]] dışındaki problemlerdir. Bununla beraber, sonsuz kümelerin limit değerlerini kural haline getirme işlemlerini ihtiva ederler.
+== Tarihi ==
-Analizin en temel kavramlarından biri bir sonsuz dizinin limitidir. Uygulamada bir [[fonksiyon]]un limiti, özellikle [[türev]], [[integral]] ve [[diferansiyel denklemler]]in çözümü şeklindeki problemlerde görülür. Modern matematiğin tesirli bir sahası olan analiz, matematik kuvvetlerin düşüncesi üzerine kurulmuştur.
+=== Antik dönem===
+Analiz resmen 17. yüzyılda [[Bilimsel devrim|Bilimsel Devrim]] sırasında geliştirildi<ref name=analysis>{{cite book|last=Jahnke|first=Hans Niels|title=A History of Analysis|series=History of Mathematics |url=https://books.google.com/books?id=CVRZEXFVsZkC&pg=PR7|date=2003|volume=24 |publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0821826232|page=7|access-date=2015-11-15|archive-date=2016-05-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20160517180439/https://books.google.com/books?id=CVRZEXFVsZkC&pg=PR7|url-status=live|doi=10.1090/hmath/024}}</ref>; ancak, analizdeki fikirlerin çoğu daha önceki matematikçilere kadar izlenebilir. Analizdeki erken dönem sonuçları, [[Yunan matematiği|antik Yunan matematiği]]nin erken dönemlerinde örtük olarak mevcuttu. Örneğin, [[geometrik seri|sonsuz bir geometrik toplam]], [[Elealı Zenon|Zenon]]'un [[dikotomi paradoksu]] örtük olarak mevcuttur.<ref name="Stillwell_2004">{{cite book |author-first=John Colin |author-last=Stillwell |author-link=John Colin Stillwell |title=Mathematics and its History |edition=2nd |publisher=[[Springer Science+Business Media Inc.]] |isbn=978-0387953366 |date=2004 |chapter=Infinite Series |page=170 |quote= Sonsuz seriler Yunan matematiğinde mevcuttu, [...] Örneğin, Zeno'nun ikilik paradoksunun (Bölüm 4.1), sayı 1'in sonsuz <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub> + <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><sup>2</sup> + <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><sup>3</sup> + <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><sup>4</sup> + ... serisine ayrıştırılmasıyla ilgili olduğu ve Arşimet'in parabolik parçanın alanını (Bölüm 4.4) esasen sonsuz 1 + <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub> + <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub><sup>2</sup> + <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub><sup>3</sup> + ... = <sup>4</sup>⁄<sub>3</sub> serisini toplayarak bulduğu konusunda hiçbir soru yoktur . Bu iki örnek de geometrik bir serinin toplamı olarak ifade ettiğimiz sonucun özel durumlarıdır}}</ref> <ref group="not">Kesin olarak konuşmak gerekirse, paradoksun amacı sonsuz toplamın var olduğunu reddetmektir.</ref> Daha sonra, [[Knidoslu Ödoksus]]
+ve [[Arşimet]] gibi Yunan matematikçiler, bölgelerin ve katıların alanını ve hacmini hesaplamak için [[Tüketme yöntemi|tüketme yöntemini]] kullandıklarında limit ve yakınsama kavramlarını daha açık, ancak gayrı resmi olarak kullandılar.<ref name="Smith_1958">{{cite book |author-last=Smith |author-first=David Eugene |author-link=David Eugene Smith |date=1958 |title=History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit |url-access=registration |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=978-0486204307}}</ref>[[Sonsuz küçükler]]in açık kullanımı, 20. yüzyılda  Arşimet'in yeniden keşfedilen bir eseri olan [[Mekanik Teoremler Yöntemi]]'nde görülür..<ref>{{cite book|last=Pinto|first=J. Sousa|title=Infinitesimal Methods of Mathematical Analysis|url=https://books.google.com/books?id=bLbfhYrhyJUC&pg=PA7|date=2004|publisher=Horwood Publishing|isbn=978-1898563990|page=8|access-date=2015-11-15|archive-date=2016-06-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20160611045431/https://books.google.com/books?id=bLbfhYrhyJUC&pg=PA7|url-status=live}}</ref> Asya'da, Çinli matematikçi [[Liu Hui]], bir dairenin alanını bulmak için 3. yüzyılda [[tüketme yöntemi|tüketme yöntemini]] kullandı.<ref>{{cite book|series=Chinese studies in the history and philosophy of science and technology|volume=130|title=A comparison of Archimedes' and Liu Hui's studies of circles|first1=Liu|last1=Dun|first2=Dainian|last2=Fan|first3=Robert Sonné|last3=Cohen|publisher=Springer|date=1966|isbn=978-0-7923-3463-7|page=279|url=https://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC|access-date=2015-11-15|archive-date=2016-06-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20160617055211/https://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC|url-status=live}}, [https://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC&pg=PA279 Chapter, p. 279] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160526221958/https://books.google.com/books?id=jaQH6_8Ju-MC&pg=PA279 |date=2016-05-26 }}</ref> Jain literatürüne göre ise, Hinduların MÖ 4. yüzyıla kadar giden erken bir tarihte aritmetik ve geometrik serilerin toplamı için formüllere sahip olduğu anlaşılıyor.<ref>{{cite journal | title = On the Use of Series in Hindu Mathematics | author = Singh, A. N. | journal  =    Osiris | volume = 1  |date = 1936  | pages = 606–628 | doi = 10.1086/368443 | jstor = 301627 | s2cid = 144760421 | url = https://www.jstor.org/stable/301627}}</ref> [[Bhadrabahu|Ācārya Bhadrabāhu]], MÖ 433'te Kalpasūtra adlı eserinde geometrik bir serinin toplamını kullanır.<ref>{{cite journal | title = Summation of Convergent Geometric Series and the concept of approachable Sunya | author = K. B. Basant, Satyananda Panda | journal = Indian Journal of History of Science | volume = 48  |date = 2013  | pages = 291–313 | url = https://insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJHS/Vol48_2_7_KBBasant.pdf}}</ref>
+=== Ortaçağ ===
-Ana konularından biri, diferansiyel ve integral hesaptır. Gerçel sayı sistemlerinin en iyi kullanıldığı sonsuz dizi ve seriler, analizin tafsilatlı çalışma formüllerini ihtiva eder.
+[[Zu Chongzhi]], 5. yüzyılda bir [[Küre|kürenin]] hacmini bulmak için daha sonra [[Cavalieri ilkesi]] olarak adlandırılacak bir yöntem oluşturdu.<ref>{{cite book|title=Calculus: Early Transcendentals|edition=3|first1=Dennis G.|last1=Zill|first2=Scott|last2=Wright|first3=Warren S.|last3=Wright|publisher=Jones & Bartlett Learning|date=2009|isbn=978-0763759957|page=xxvii|url=https://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C&pg=PR27|access-date=2015-11-15|archive-date=2019-04-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20190421114230/https://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C&pg=PR27|url-status=live}}</ref>  12. yüzyılda, [[Hint matematiği|Hintli]] matematikçi [[Bhāskara II]] sonsuz küçükleri kullandı ve günümüzde [[Rolle teoremi]] olarak bilinen sonucu kullandı.<ref>{{citation|title=The positive sciences of the ancient Hindus|journal=Nature|volume=97|issue=2426|page=177|first=Sir Brajendranath|last=Seal|date=1915|bibcode=1916Natur..97..177.|doi=10.1038/097177a0|hdl=2027/mdp.39015004845684|s2cid=3958488|hdl-access=free}}</ref>
-* [[Fonksiyonlar teorisi]], fonksiyonların grafiklerinin dışındaki özelliklerini yorumlamak suretiyle özel bir şekilde kurulmuştur.
-* Diferansiyel ve integral denklemler, tabiattaki pek çok fizik kanunlarının ifadeleridir.
-* Değişimler hesabı, maksimum ve [[minimum problemleri]]nin çözümünün ileri konularıdır.
-* [[Diferansiyel geometri]], hesaplamanın geometriye olan yaygın bir uygulamasıdır.
+. yüzyılda [[Sangamagramalı Madhava]], [[Sinüs (matematik)|sinüs]], [[kosinüs]], [[tanjant]] ve [[arktanjant]] gibi fonksiyonların günümüzde [[Taylor serisi]] olarak adlandırılan sonsuz seri açılımlarını geliştirdi.<ref name=rajag78>
-== Çeşitleri ==
+{{cite journal
-* [[Fonksiyonel analiz]]
+ | title =       On an untapped source of medieval Keralese Mathematics
-* [[Gerçel analiz]]
+ | first1=      C. T.
-* [[Karmaşık analiz]]
+ | last1=      Rajagopal
-* [[Kesirli analiz]]
+ | first2 =      M. S.
+ | last2=      Rangachari
+ | journal  =    Archive for History of Exact Sciences
+ | volume =      18 | number=2
+ |date=June 1978
+ | pages =       89–102 | doi = 10.1007/BF00348142
+| s2cid= 51861422
+ }}</ref> [[Trigonometrik fonksiyonlar]]ın Taylor serilerini geliştirmesinin yanı sıra, bu serilerin kesilmesinden kaynaklanan hata terimlerinin büyüklüğünü de tahmin etti ve bazı sonsuz seriler için rasyonel bir yaklaşım verdi. [[Kerala astronomi ve matematik okulu|Kerala Astronomi ve Matematik Okulu]]'ndaki takipçileri, çalışmalarını 16. yüzyıla kadar ilerlettiler.
-== Ayrıca bakınız ==
+=== Modern çağ ===
+==== Temeller ====
-* [[Fonksiyonel analiz]]
+Analizin modern temelleri 17. yüzyıl Avrupa'sında atılmıştır.<ref name=analysis/> Bu, [[Pierre de Fermat|Fermat]] ve [[René Descartes|Descartes]]'ın modern kalkülüsün öncüsü olan [[analitik geometri]]yi geliştirmeleriyle başlamıştır. Fermat'nın [[adaequalitas|eşitlik]] yöntemi, fonksiyonların maksimum ve minimumlarını ve eğrilerin teğetlerini belirlemesine olanak sağlamıştır.<ref name=Pellegrino>{{cite web | last = Pellegrino | first = Dana | title = Pierre de Fermat | url = http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/pellegrino.html | access-date = 2008-02-24 | archive-date = 2008-10-12 | archive-url = https://web.archive.org/web/20081012024028/http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/pellegrino.html | url-status = live }}</ref> Descartes'ın 1637'de [[Kartezyen koordinat sistemi]]ni tanıtan [[La Géométrie]]'yi yayınlaması, analizin kuruluşu olarak kabul edilir. Birkaç on yıl sonra [[Isaac Newton|Newton]] ve [[Gottfried Leibniz|Leibniz]], 18. yüzyıl boyunca devam eden uygulamalı çalışmaların teşvikiyle, [[Varyasyonlar hesabı|varyasyonlar hesabı]], [[Adi diferansiyel denklem|adi]] ve [[kısmi diferansiyel denklemler]], [[Fourier analizi]] ve [[üretim fonksiyonu]] gibi analiz konularına dönüşen [[sonsuz küçükler hesabı]]nı bağımsız olarak geliştirdiler. Bu dönemde, kalkülüs teknikleri [[Ayrık matematik|ayrık problemlere]] sürekli problemlerle yaklaşım için uygulandı.
-* [[Fourier analizi|Harmonik analiz]]
-* [[Gerçel analiz]]
-* [[Karmaşık analiz]]
-* [[Nümerik analiz]]
-* [[Sayısal analiz]]
-* [[Sonsuz küçük]]ler
+==== Modernizasyon ====
-{{Matematik-altdal}}
+. yüzyılda [[Leonhard Euler|Euler]], matematikteki [[fonksiyon]] kavramını ortaya koydu.<ref name="function">{{cite book| last = Dunham| first = William| title = Euler: The Master of Us All| url = https://archive.org/details/eulermasterofusa0000dunh| url-access = registration| date = 1999| publisher =The Mathematical Association of America | page= [https://archive.org/details/eulermasterofusa0000dunh/page/17 17]}}</ref> Gerçel analiz, [[Bernard Bolzano]] 1816'da sürekliliğin modern tanımını ortaya koyduğunda bağımsız bir konu olarak ortaya çıkmaya başladı<ref>{{cite book |first=Roger |last=Cooke |author-link=Roger Cooke (mathematician) |title=The History of Mathematics: A Brief Course |publisher=Wiley-Interscience |date=1997 |isbn=978-0471180821 |page=[https://archive.org/details/historyofmathema0000cook/page/379 379] |chapter=Beyond the Calculus |quote=Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848) |chapter-url=https://archive.org/details/historyofmathema0000cook/page/379 }}</ref>; ancak, Bolzano'nun çalışması 1870'lere kadar yaygın olarak bilinmedi. 1821'de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], özellikle Euler tarafından daha önceki çalışmalarda yaygın olarak kullanılan [[cebirin genelliği]] ilkesini reddederek kalkülüsü sağlam bir mantıksal temele oturtmaya başladı. Bunun yerine Cauchy, kalkülüsü geometrik fikirler ve [[sonsuz küçükler]] açısından formüle etti. Bu nedenle, Cauchy'nin süreklilik tanımı, <math>y</math>'deki sonsuz küçük bir değişime karşılık gelmesi için <math>x</math>'teki sonsuz küçük bir değişimi gerektiriyordu. Ayrıca bugün [[Cauchy dizisi]] denilen kavramı ortaya koydu ve [[karmaşık analiz]]in örgün teorisini başlattı. [[Siméon Denis Poisson|Poisson]], [[Joseph Liouville|Liouville]], [[Jean-Baptiste Joseph Fourier|Fourier]] ve diğerleri kısmi diferansiyel denklemleri ve [[Harmonik analiz|harmonik analizi]] üzerine çalıştılar. Bu matematikçilerin ve [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] gibi diğerlerinin katkıları, [[(ε, δ)-limit tanımı]]nı geliştirerek modern analiz alanını kurdu. Aynı zamanlarda, [[Bernhard Riemann|Riemann]] [[integral]] teorisini tanıttı ve karmaşık analizde önemli ilerlemeler kaydetti.
-{{Otorite kontrolü}}
-{{Uygulamalı matematik}}
+. yüzyılın sonlarına doğru, matematikçiler kanıt olmaksızın gerçel sayıların [[sürey|süreyinin]] varlığını varsaydıklarından endişe duymaya başladılar. [[Richard Dedekind|Dedekind]] daha sonra gerçel sayıları, irrasyonel sayıların resmen tanımlandığı ve rasyonel sayılar arasındaki "boşlukları" doldurmaya yarayan [[Dedekind kesimi|Dedekind kesimleriyle]] oluşturdu ve böylece [[Tam metrik uzay|tam]] bir küme yarattı ki bu da [[Simon Stevin]] tarafından [[ondalık açılım|ondalık açılımlar]] aracılığıyla daha önce geliştirilmiş olan gerçel sayılar süreyini yarattı. O sıralarda, Riemann integralinin teoremlerini iyileştirme girişimleri, gerçek fonksiyonların süreksizlik kümesinin "büyüklüğünün" incelenmesine yol açtı .
-{{matematik-taslak}}
+Ayrıca, yaygın olarak "canavarlar" olarak bilinen çeşitli patolojik nesneler (örneğin hiçbir yerde sürekli olmayan fonksiyonlar, sürekli ancak hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonlar ve uzayı dolduran eğriler) araştırılmaya başlandı. Bu bağlamda, [[Camille Jordan|Jordan]] [[Jordan ölçüsü|kendi ölçü teorisini]] geliştirdi, Cantor günümüzde bilinen adıyla, [[naif küme teorisi]]ni geliştirdi ve [[René-Louis Baire|Baire]], [[Baire kategori teoremi]]ni kanıtladı. 20. yüzyılın başlarında, kalkülüs aksiyomatik bir [[küme teorisi]] kullanılarak resmileştirildi. [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]] ölçü teorisini büyük ölçüde geliştirdi ve günümüzde [[Lebesgue integrali]] olarak bilinen kendi integral teorisini tanıttı ve bu teorinin Riemann'ınkine göre büyük bir gelişme olduğu görüldü. Hilbert, [[integral denklemleri]]ni çözmek için [[Hilbert uzayı|Hilbert uzaylarını]] tanımladı. [[Normlu vektör uzayı]] fikri hissediliyordu ve 1920'lerde Banach [[fonksiyonel analiz]]i yarattı .
+== Önemli kavramlar ==
+=== Metrik uzaylar ===
+{{Ana|Metrik uzay}}
+Matematikte, bir metrik uzay, elemanları arasında [[uzaklık]] kavramının ([[Metrik uzay|metrik]] olarak adlandırılır) tanımlandığı bir [[küme]]dir.
+Analizin çoğu bazı önemli metrik uzaylarda yapılır. En yaygın kullanılanlar [[sayı doğrusu|gerçel sayılar doğrusu]], [[karmaşık düzlem]], [[Öklid uzayı]], diğer [[vektör uzayı|vektör uzayları]] ve [[tam sayı]]lardır. Metrik içermeyen analiz örnekleri arasında [[ölçü teorisi]] (uzaklıktan ziyade büyüklük ölçüsü tanımlar) ve [[fonksiyonel analiz]]in bir kısmı (uzaklık kavramına ihtiyaç duymayan [[topolojik vektör uzayı|topolojik vektör uzaylarını]] inceler) bulunur.
+== Ana dallar==
+=== Kalkülüs/Temel analiz===
+{{Ana|Kalkülüs|Vektör hesabı}}
+{{Ayrıca bakınız| Vektör Analizinin Tarihi}}
+=== Gerçel analiz===
+{{Ana|Gerçel analiz}}
+Gerçel analiz ya da daha geleneksel adıyla "gerçel değişkenli fonksiyonlar teorisi", gerçel sayılarla ve gerçel değişkenlere bağlı ve gerçel değerler alan fonksiyonlarla ilgilenen bir analiz dalıdır.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=Walter |author-link=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |date=1976 |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0070542358}}</ref><ref>{{cite book |last=Abbott |first=Stephen |title=Understanding Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |isbn=978-0387950600 |date=2001 |location=New York |publisher=Springer-Verlag}}</ref>  Özellikle, gerçel fonksiyon ve dizilerin analitik özellikleriyle ilgilenir; bunlara,  gerçel sayı dizilerinin yakınsaklığı ve limitleri, gerçek sayıların hesabı ve gerçel değerli fonksiyonların sürekliliği, türevliliği ve ilgili özellikleri dahildir.
+Karmaşık analiz
+=== Karmaşık analiz===
+{{Ana|Karmaşık analiz|Çok değişkenli karmaşık analiz}}
+Karmaşık analiz, kompleks analiz ya da daha geleneksel adıyla "karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi" olarak bilinir), karmaşık sayıların fonksiyonlarını inceleyen analiz dalıdır.<ref name="Ahlfors_1979">{{cite book |author-last=Ahlfors |author-first=Lars Valerian |author-link=Lars Valerian Ahlfors |title=Complex Analysis |location=New York |publisher=[[McGraw-Hill]] |edition=3rd |date=1979 |isbn=978-0070006577 |url=https://books.google.com/books?id=2MRuus-5GGoC }}</ref>
+}}[[Cebirsel geometri]], [[sayılar teorisi]], [[uygulamalı matematik]] dahil olmak üzere matematiğin birçok dalında; ayrıca [[hidrodinamik]], [[termodinamik]], [[makine mühendisliği]], [[elektrik mühendisliği]] ve özellikle [[kuantum alan teorisi]] dahil olmak üzere fiziğin değişik alanlarında faydalıdır .
+Karmaşık analiz özellikle karmaşık değişkenli [[analitik fonksiyon|analitik fonksiyonlarla]] (veya daha genel olarak [[Meromorf fonksiyon|meromorf fonksiyonlarla]]) ilgilenir. Herhangi bir analitik fonksiyonun [[Gerçel kısım|gerçel]] ve [[sanal kısım]]ları [[Laplace denklemi|Laplace denklemini]] sağlamak zorunda olduğundan, karmaşık analiz fizikteki iki boyutlu problemlere yaygın olarak uygulanabilir.
+=== Fonksiyonel analiz===
+{{Ana|Fonksiyonel analiz}}
+=== Harmonik analiz===
+{{Ana|Harmonik analiz}}
+=== Diferansiyel denklemler ===
+{{Ana|Diferansiyel denklem}}
+=== Ölçü teorisi ===
+{{Ana|Ölçü (matematik)}}
+=== Sayısal analiz ===
+{{Ana|Sayısal analiz}}
+=== Skaler analiz ===
+{{Ana|Skaler analiz}}
+=== Tensör analizi ===
+{{Ana|Tensör analizi}}
+== Notlar==
+<references group="not"/>
 == Kaynakça ==
 {{Kaynakça}}
-[[Kategori:Matematiksel analiz| ]]
+{{Matematik-altdal}}
+{{Otorite kontrolü}}
+{{Uygulamalı matematik}}
+[[Kategori: Analiz (matematik)]]

g t d Matematiğin genel alanları
Matematik tarihi Matematiğin ana hatları Matematiğin dalları
Analiz	Diferansiyel denklemler Fonksiyonel analiz Gerçel analiz Harmonik analiz Hiperkompleks analiz Kalkülüs Karmaşık analiz Ölçü teorisi
Ayrık matematik	Çizge teorisi Kombinatorik Sıra teorisi
Cebir	Basit cebir Çokludoğrusal cebir Değişmeli cebir Doğrusal cebir Evrensel cebir Grup teorisi Homolojik cebir Soyut cebir
Geometri	Analitik geometri Aritmetik geometri Ayrık geometri Cebirsel geometri Diferansiyel geometri Öklid geometrisi Sonlu geometri
Hesaplamalı matematik	Algoritmalar teorisi Bilgisayar bilimi Hesaplamalı karmaşıklık teorisi Nümerik analiz Optimizasyon Sembolik hesap
Matematiğin temelleri	Bilgi teorisi Kategori teorisi Küme teorisi Matematik felsefesi Matematiksel mantık Tip teorisi
Sayılar teorisi	Analitik sayı teorisi Aritmetik Cebirsel sayı teorisi Diyofant geometrisi
Topoloji	Cebirsel topoloji Diferansiyel topoloji Genel topoloji Geometrik topoloji Homotopi teorisi
Uygulamalı matematik	İstatistik Matematiksel biyoloji Matematiksel ekonomi Finansal matematik Matematiksel fizik Matematiksel kimya Matematiksel psikoloji Matematiksel sosyoloji Mühendislik matematiği Olasılık teorisi Sistem bilimi Kontrol teorisi Oyun teorisi Yöneylem araştırması
İlişkin konular	Matematikçiler Matematikçi listeleri Matematik eğitimi Matematikçiler hakkındaki filmler

g t d Uygulamalı matematiğin ana başlıkları
Uygulamalı analiz	Yaklaştırım kuramı • Nümerik analiz • Dinamik dizgeler • Kontrol kuramı • Kaos kuramı
Ayrık matematik	Kombinatorik • Çizge teorisi • Oyun kuramı • Ayrık geometri • Hesaplanabilirlik kuramı • Karmaşıklık kuramı • Bilgi teorisi • Kriptografi
Olasılık	Olasılık dağılımı • Olasılık kuramı • İstatistik • Rassal süreç • Yöneylem araştırması
Diğer alanlar	En iyileme (optimizasyon) • Kriptografi • Finansal matematik • Teorik bilgisayar bilimi • Matematiksel biyoloji • Matematiksel kimya • Matematiksel ekonomi • Matematiksel fizik • Matematiksel psikoloji • Matematiksel sosyoloji