ข้ามไปเนื้อหา

เกรเดียนต์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในสองภาพข้างบนได้แสดงแทนฟังก์ชันสเกลาร์ด้วยสีดำและสีขาว สีดำแทนตำแหน่งที่ฟังก์ชันมีค่าสูงกว่า และเกรเดียนต์ที่แต่ละจุดแสดงโดยลูกศรสีฟ้า สังเกตว่าเกรเดียนต์ชี้ไปทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่ามากขึ้น

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ (อังกฤษ: gradient) คือการดำเนินการกับฟังก์ชันหลายตัวแปร ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีค่าเป็นสเกลาร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือสนามเวกเตอร์ ที่ค่าที่แต่ละจุดจะชี้ไปในทิศทางที่ มีค่ามากขึ้นที่สุด[1] และขนาดของเวกเตอร์เท่ากับอัตราการเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น ๆ เรียกสนามเวกเตอร์นี้ว่า เกรเดียนต์ของ สัญลักษณ์ เรียกว่าสัญลักษณ์นาบลา (nabla) หรือ เดล (del)

เนื่องจากเกรเดียนต์ระบุทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นมากที่สุด และทิศทางตรงกันข้ามของเกรเดียนต์ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยที่สุด เกรเดียนต์จึงมีความสำคัญในวิชาการหาค่าเหมาะที่สุด เพื่อหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน ด้วยขั้นตอนวิธีการเคลื่อนลงตามความชัน (gradient descent)

แนวคิดจูงใจของเกรเดียนต์

[แก้]
เกรเดียนต์ของฟังก์ชันสองมิติ f(x, y) = xe−(x2 + y2) ถูกพล็อตโดยใช้ลูกศรเหนือค่าของฟังก์ชันซึ่งแสดงโดยใช้สี

พิจารณาห้องที่อุณหภูมิภายในกำหนดด้วยฟังก์ชันค่าสเกลาร์ นั่นคือที่จุด อุณหภูมิที่ตำแหน่งนั้นคือ และเป็นอิสระจากเวลา

เกรเดียนต์ของ ที่จุด จะบอกทิศทางที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดเมื่อเดินทางออกจากจุด และขนาดของเกรเดียนต์จะระบุอัตราเร็วที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น

พิจารณาพื้นผิวที่ความสูงจากระดับน้ำทะเลที่จุด กำหนดโดยฟังก์ชัน เกรเดียนต์ของ ที่จุด จะเป็นเวกเตอร์ที่ชี้บอกทิศทางที่ชันมากที่สุดจากจุดนั้น และความชันจะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์เกรเดียนต์

นอกจากนี้ เกรเดียนต์ยังสามารถใช้วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันค่าสเกลาร์ในทิศทางอื่นนอกเหนือไปจากทิศทางของเกรเดียนต์เอง โดยการหาผลคูณจุด สมมติว่าความชันสูงสุดที่จุด ๆ หนึ่งบนเนินเขาเท่ากับ 40% ถนนขึ้นเนินที่ทำมุมอื่น ๆ ย่อมจะมีความชันน้อยกว่า เราสามารถหาความชันได้โดยหาผลคูณจุดระหว่างเกรเดียนต์ที่จุดที่สนใจ และเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามทิศทางของถนน

โดยทั่วไปกว่านั้น ถ้าฟังก์ชัน ที่ระบุความสูงของเนิน เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วเกรเดียนต์ของ คูณสเกลาร์กับเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับความชันของเนินในทิศทางนั้น หรือก็คืออนุพันธ์ระบุทิศทางของ ในทิศทางของเวกเตอร์หน่วยนั้น

สัญลักษณ์ที่ใช้

[แก้]

เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน ที่จุด นิยมเขียนแทนด้วย แต่อาจจะมีสัญลักษณ์อื่น ๆ เช่น

  •  : เพื่อเจาะจงความเป็นเวกเตอร์ของเกรเดียนต์
  • and  : โดยใช้สัญกรณ์ของไอน์ชไตน์ (Einstein notation) โดยดรรชนีที่ซ้ำให้ถือว่าถูกบวกอยู่ (i)

นิยาม

[แก้]
เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน f(x,y) = −(cos2x + cos2y)2 แสดงผ่านสนามเวกเตอร์ที่ถูกฉายลงบนระนาบด้านล่าง

เกรเดียนต์ของฟังก์ชันสเกลาร์ เขียนแทนด้วย หรือ นิยามให้เป็นสนามเวกเตอร์ซึ่งมีเพียงแบบเดียวที่ผลคูณจุดกับเวกเตอร์ ที่จุด จะเท่ากับอนุพันธ์ระบุทิศทางของ ไปตาม [2]นั่นคือ

เมื่อพจน์ทางขวามือคืออนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน ในทางรูปนัยเราจะกล่าวว่าการหาอนุพันธ์เป็นดูอัลของเกรเดียนต์ มีวิธีการหาค่าของเกรเดียนต์หลายวิธีซึ่งเสนอไว้ด้านล่าง

สัญลักษณ์ เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สำหรับเวกเตอร์

ขนาดและทิศทางของเกรเดียนต์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดที่ใช้[3][4]

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

[แก้]

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติพร้อมกับเมตริกแบบยูคลิด เกรเดียนต์ถ้ามีค่าจะเป็นไปตามสมการ

เมื่อ i, j, k เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานในทิศทางของระบบพิกัด x, y และ z ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เกรเดียนต์ของฟังก์ชันคือหรือเขียนแทนด้วย

ในบางการใช้งานนิยมเขียนเกรเดียนต์เป็นเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์หลัก

อ้างอิง

[แก้]
  1. * Bachman (2007, p. 77)
  2. Garling, D. J. H. (2013). A course in mathematical analysis. Cambridge: Cambridge University Press. p. 486. ISBN 978-1-107-03203-3.
  3. Kreyszig (1972, pp. 308–309)
  4. Stoker (1969, p. 292)

บรรณานุกรม

[แก้]