சதுர அணி

நான்காம் வரிசை சதுர அணி. முதன்மை மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகள் a_ii, i = 1, 2, 3, 4. a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

ஒரு அணியின் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கை சமமாக இருந்தால் அந்த அணி சதுர அணி (square matrix) எனப்படும். n x n வரிசையுள்ள ஒரு அணி, n வரிசையுடைய சதுர அணி என அழைக்கப்படுகிறது. இரு சதுர அணிகளின் வரிசைகள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவற்றைக் கூட்டவும், பெருக்கவும் முடியும்.

நறுக்கம், சுழற்சி போன்ற எளிய நேரியல் கோப்புகளைக் குறிக்கச் சதுர அணிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக R என்பது ஒரு சுழற்சியைக் குறிக்கும் சுழற்சி அணி; v என்பது வெளியிலமைந்த ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கும் நிரல் திசையன் எனில், இவ்விரு அணிகளின் பெருக்கற்பலன் அணி Rv என்பது சுழற்சியினால் ஏற்படும் அப்புள்ளியின் புதிய நிலையைக் குறிக்கும் நிரல் திசையனாக இருக்கும். v ஒரு நிரைத் திசையனாக இருந்தால் சுழற்சியினால் ஏற்படும் புள்ளியின் புது நிலையை vR^T மூலம் பெறலாம் (இதில் R^T என்பது R இன் இடமாற்று அணி).

முதன்மை மூலைவிட்டம்

முதன்மைக் கட்டுரை: முதன்மை மூலைவிட்டம்

ஒரு சதுர அணியின் a_ii (i = 1, ..., n) உறுப்புகள், அவ்வணியின் முதன்மை மூலைவிட்டத்தை அமைக்கும். இவ்வுறுப்புகள் சதுர அணியின் இடப்பக்க மேல் மூலையிலிருந்து வலப்பக்க கீழ் மூலையை இணைக்கும் கற்பனைக் கோட்டின் மீதமைகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, மேலே தரப்பட்டுள்ள அணியின் முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள்: a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

சதுர அணியின் வலதுபக்க மேல் மூலையிலிருந்து இடதுபக்க கீழ்மூலையை இணைக்கும் மூலைவிட்டம் எதிர்மூலைவிட்டம் (antidiagonal , counterdiagonal) எனப்படும்.

சிறப்பு வகைகள்

பெயர்	எடுத்துக்காட்டு: n = 3
மூலைவிட்ட அணி	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
கீழ் முக்கோண அணி	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
மேல் முக்கோண அணி	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

மூலைவிட்ட அணியும் முக்கோண அணியும்

ஒரு சதுர அணியின் முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் தவிர்த்த ஏனைய உறுப்புகள் அனைத்தும் பூச்சியமெனில் அந்த அணி மூலைவிட்ட அணி எனப்படும். முதன்மை மூலைவிட்டத்திற்கு மேல் (அல்லது கீழ்) உள்ள உறுப்புகள் மட்டும் பூச்சியமாக இருந்தால் அந்த மூலைவிட்ட அணி கீழ் (அல்லது மேல்) முக்கோண அணி என்றழைக்கப்படும்.

முற்றொருமை அணி

ஒரு n x n சதுர அணியின் முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் அனைத்தும் 1 ஆகவும், ஏனைய உறுப்புகள் பூச்சியமாகவும் இருந்தால் அந்தச் சதுர அணி முற்றொருமை அணி (I_n) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

முற்றொருமை அணி I_nn , சதுர அணியாக மட்டுமல்லாது, ஒரு சிறப்பு வகை மூலைவிட்ட அணியாகவும் உள்ளது. எந்தவொரு அணியையும் முற்றொருமை அணியால் பெருக்கும்போது கிடைக்கும் விடை மூல அணியாகவேக் கிடைப்பதால் முற்றொருமை அணிக்கு இப்பெயர் அளிக்கப்பட்டுள்ளது.

AI_n = I_mA = A (A ஒரு m x n அணி).

சமச்சீர் அணி

ஒரு சதுர அணியும் அதன் இடமாற்று அணியும் சமமானவைகளாக இருந்தால், அச்சதுர அணி சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

சதுர அணி A ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:

A = A^T

எதிர் சமச்சீர் அணி

ஒரு சதுர அணியும் அதன் இடமாற்று அணியின் எதிரணியும் சமமானவைகளாக இருந்தால் அச்சதுர அணி எதிர் சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

சதுர அணி A ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:

A = −A^T

ஹெர்மைட் அணி

சிக்கலெண் அணிகளில் சமச்சீர் அணி என்பது ஹெர்மைட் அணி என்ற கருத்துருவாக உள்ளது. சிக்கலெண் உறுப்புகள் கொண்ட சதுர அணி A ஆனது அதன் இணைச் சிக்கலெண் அணியின் இடமாற்று அணிக்குச் சமமாக இருந்தால் அது ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.

$a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ அல்லது $A={\overline {A^{\text{T}}}}$

மெய்யெண் சமச்சீர் அணிகளும், சிக்கலெண் ஹெர்மைட் அணி களும் ஐகென் மதிப்பு கொண்டவை. அதாவது ஒவ்வொரு திசையனையும் ஐகன் திசையன்களின் நேரியல் சேர்வாக எழுத முடியும். இரண்டிலும் ஐகென் மதிப்புகள் மெய்யெண்களாக இருக்கும்.

நேர்மாற்றக் கூடிய அணி

A ஒரு சதுர அணி; கீழ்வரும் முடிவை நிறைவு செய்யும் வகையில் அணி B உண்டெனில் A ஒரு நேர்மாற்றக் கூடிய அணி அல்லது வழுவிலா அணியாகும்:

AB = BA = I_n.

இந்த B அணி தனித்துவமானதாக இருக்கும் A இன் நேர்மாறு அணி எனப்படுகிறது. A இன் நேர்மாறு அணியின் குறியீடு A⁻¹.

B = A⁻¹

செங்குத்து அணி

செங்குத்து அணி ஒரு சதுர அணியாக, மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளதோடு நிரைகளையும் நிரல்களையும் செங்குத்து அலகு திசையன்களாகக் கொண்டிருக்கும்.

A ஒரு செங்குத்து அணி எனில்:

• A இன் இடமாற்று அணியும், நேர்மாறு அணியும் சமமானவை

$A^{\mathrm {T} }=A^{-1}\,$

• இதனால் பின்வரும் முடிவும் உண்மையாக இருக்கும்

$A^{\mathrm {T} }A=AA^{\mathrm {T} }=I\,$ I முற்றொருமை அணி.

• A கண்டிப்பாக நேர்மாற்றத் தக்கது

A⁻¹ = A^T

• A ஒரு அலகுநிலை அணி

A⁻¹ = A*

• A ஒரு இயல்நிலை அணி

A*A = AA*

• A இன் அணிக்கோவை மதிப்பு +1 அல்லது −1 ஆகும். அணிக்கோவை மதிப்பு +1 ஆகவுள்ள செங்குத்து அணி ஒரு சிறப்பு செங்குத்து அணியாகும். ஒரு நேரியல் கோப்பாக, +1 அணிக்கோவை மதிப்புள்ள ஒவ்வொரு செங்குத்து அணியும் ஒரு தனித்த சுழற்சியாகவும்,  −1 அணிக்கோவை மதிப்புள்ள செங்குத்து அணியும் தனித்த எதிரொளிப்பாகவோ அல்லது எதிரொளிப்பு மற்றும் சுழற்சி இரண்டின் தொகுப்பாகவோ இருக்கும்.

செயல்கள்

சுவடு

சதுர அணி A இன் சுவடு என்பது அவ்வணியின் மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

• tr(AB) = tr(BA).

$\scriptstyle \operatorname {tr} ({\mathsf {AB}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} ({\mathsf {BA}}).$

tr(A) = tr(A^T).

அணிக்கோவை

முதன்மைக் கட்டுரை: அணிக்கோவை

படத்திலுள்ள அணியால் சுட்டப்படும் R² இல் நிகழும் ஒரு நேரியல் உருமாற்றம். இவ்வணியின் அணிக்கோவை மதிப்பு −1, வலப்புறமுள்ள பச்சைநிற இணைகரத்தின் பரப்பளவு 1; ஆனால் மூலவுருவின் திசைப்போக்கு உருமாற்றத்தால் எதிராகியுள்ளது.

சதுர அணி A இன் அணிக்கோவை det(A) அல்லது |A| என்பது அவ்வணியின் குறிப்பிட்ட சில பண்புகளைக் குறிக்கும் எண்ணாகும்.

• ஒரு அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமற்றதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவ்வணி நேர்மாற்றக்கூடியதாக இருக்கும்.
• அணிக்கோவையின் தனி மதிப்பு இருபரிமாணத்தில் (R²) அலகு சதுரத்தின் எதிருருவின் பரப்பளவுக்கும், முப்பரிமாணத்தில் (R³) அலகு கனசதுரத்தின் எதிருருவின் கனவளவுக்கும் சமமாக இருக்கும். அணிக்கோவையின் மதிப்பின் குறி நேரியல் கோப்பின் திசைப்போக்கைக் குறிக்கும். திசைப்போக்கு மாற்றமடையாமல் இருந்தால் மட்டுமே அணிக்கோவையின் மதிப்பு நேரெண்ணாக இருக்கும்.

• 2X2 அணிகளின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு:

$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

ஒரு 3x3 அணியின் அணிக்கோவையை மூலைவிட்டங்களின் மூலம் சாரசு விதிப்படி கணக்கிடுதல்.

• 3X3 அணிகளின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு ஆறு உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg.\$

• n×n அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பு

A ஒரு n×n அணி; a_i,j i ஆவது நிரை மற்றும் j ஆவது நிரலிலுள்ள உறுப்பு எனில். அணிக்கோவையின் மதிப்பு காணும் லீபினிட்சின் வாய்ப்பாடு:

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i}$

• இரு சதுர அணிகளின் பெருக்கற்பலன் அணியின் அணிக்கோவையும், அவ்விரு அணிகளின் தனித்தனி அணிக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனும் சமமாக இருக்கும்.

det(AB) = det(A) · det(B).

• அணிக்கோவையின் எந்தவொரு நிரையின் (நிரல்) மடங்கை வேறொரு நிரையோடு (நிரல்) கூட்டினால் அணிக்கோவையின் மதிப்பு மாறாது. அணிக்கோவையின் இரு நிரை (நிரல்)களைப் பரிமாற்றம் செய்தால் அணிக்கோவையின் மதிப்பு -1 ஆல் பெருக்கப்படும். இச்செயல்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் எந்தவொரு அணியையும் கீழ் (மேல்) முக்கோண அணிகளாக மாற்றலாம். அவ்வாறு மாற்றப்பட்ட பின் அவ்வணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும். எனவே இம்முறையில் ஒரு அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பை எளிதாகக் கணக்கிட முடியும்.