Аналитичка геометрија
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Ellipsoide.png/150px-Ellipsoide.png)
Аналитичка геометрија представља изучавање геометрије[1]коришћењем принципа алгебре. Геометријске ликове посматра у дводимензионалном или тродимензионалном Декартовом координатном систему и представља их алгебарским једначинама. Другим речима, она дефинише геометријске облике на нумерички начин, и из такве репрезентације издваја нумеричке информације. Нумерички резултат може бити вектор или геометријски лик. Постоје мишљења да је појавом аналитичке геометрије започета модерна математика.[2][3]
Сматра се да је Рене Декарт објављивањем своје Геометрије, поставио основе данашњој аналитичкој геометрији. У питању је био један од три додатка његовој Расправи о методи (Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences, 1637) - трактату о научним методама, у коме он, на свега 116 страна, показује примену своје опште методе синтезе на примеру спајања алгебре и геометрије. Уједно, то је једино математичко дело које је објавио за живота.
Иако је пресудно утицала на развој аналитичке геометрије, у Декартовој Геометрији, онаквој каква је, нема неких њених основних елемената, као што су Декартове координате, једначина праве, једначине конусних пресека (иако се једном једначином другог реда означава конусни пресек), а већи део излагања је посвећен теорији алгебарских једначина.
Из сачуваних писама Пјера Ферма може се видети да је он развио идеју аналитичке геометрије пре објављивања Декартовог дела о тој теми. Декарт је предложио представљање криве једначином, изучавање добијене једначине и на тај начин утврђивање особина саме криве, док је Ферма суштински урадио исто проглашавајући једначину „специјалном особином“ криве и изводећи све остале особине посматране криве из ње.
Чињеница да је могуће интерпретирати еуклидску геометрију језиком аналитичке геометрије (што значи да је свака теорема прве, у исто време и теорема друге) је кључни корак у доказу Алфреда Тарског да је еуклидска геометрија конзистента и одлучива.
Координатни систем
[уреди | уреди извор]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Cartesien-system.svg/280px-Cartesien-system.svg.png)
Основа аналитичке геометрије је кориштење координатног система. Обично се користи Картезијев координатни систем.
Аналитичка геометрија у R2
[уреди | уреди извор]Координатни систем и трансформације
[уреди | уреди извор]Са (x, y) означавају се почетне координате, а са (x', y') нове.
Паралелно померање
[уреди | уреди извор]Ако x0, y0 су координате координатног почетка у новом систему, онда вреди:
Ротација
[уреди | уреди извор]Ако се угао ротирања сматра позитивним (угао којим се позитивна x-оса треба померати да би се подударила с позитивном y-осом) онда су формуле за трансформацију:
Удаљеност између две тачке
[уреди | уреди извор]Удаљеност између тачака (x1, y1) и (x2, y2) је:
Површина троугла
[уреди | уреди извор]Ако врхови троугла имају координате (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), њихова површина је
Да би T било позитивно, морају тачке (x1,y1), (x2, y2) и (x3, y3) следити једна другу у позитивном правцу , тј. супротно смеру кретања казаљки на сату.
Дељење удаљености
[уреди | уреди извор]Ако се удаљеност између тачака (x1, y1) и (x2, y2), дели у односу на m/n координате ће бити:
Коефицијент угла правца
[уреди | уреди извор]Нека је угао који правац затвара с x-осом. Ако правац пролази кроз тачке (x1, y1) и (x2,y2) онда је коефицијент угла правца:
Једначина правца
[уреди | уреди извор]Једначина правца је једначина првог реда по x и y и општа формула је
Свака једначина првог реда представља правац.
значи правац паралелан с y-осом и
працац паралелан с x-осом.
је правац кроз координатни почетак.
к-формула
[уреди | уреди извор]Правац се може написати и у облику
ако је правац паралелан с y-осом, тј. B је различито од нуле. Овдје је к коефицијент угла правца
и m y-координате додира правца с y-осом.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Intercept-form.svg/180px-Intercept-form.svg.png)
Пресек
[уреди | уреди извор]Параметри пресецања су тачке пресека праваца x-осе и y-осе и пишу се
где је a x-координата за тачку пресека правца с x-осом а b је y-координата за тачку пресека правца с y-осом или
Стандардни облик
[уреди | уреди извор]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/Line-normal-form.svg/180px-Line-normal-form.svg.png)
је стандардни облик правца. а m се одређује из
Znak kvadratnog korena se bira tako da m буде позитивно.
m је дужина нормале из координатног почетка до правца и је угао те нормале с x-осом.
Удаљеност тачке од правца
[уреди | уреди извор]Правац написан у стандардом облику
Онда је удаљеност тачке P с координатама (x1,y1):
где се знак + бира ако координатни почетак и P леже на различитим странама правца.
Формула правца кроз једну тачку
[уреди | уреди извор]Једначина за правац кроз тачку (x1, y1) с угаоним коефицијентом k је
Формула правца кроз две тачке
[уреди | уреди извор]Једначина за правац кроз тачке (x1, y1) и (x2, y2) је
Угао између два правца
[уреди | уреди извор]Ако су коефицијенти угла правца k1 и k2 угао између праваца израчунава се као:
Криве у равни
[уреди | уреди извор]Крива у ортогоналном координатном систему даје везу између координата x и y и може се написати као функција.
Једначина криве се може написати у експлицитном облику
у имплицитном облику
или у параметарском облику
У поларним координатама једначина криве је
или
Тангента
[уреди | уреди извор]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Tangent-2D.svg/200px-Tangent-2D.svg.png)
Коефицијент угла за тенгенту једног правца у правоугаоним координатима је једнак деривацији функције у тачки додира:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Asymptot.svg/200px-Asymptot.svg.png)
Асимптоте
[уреди | уреди извор]С асимптотом једне криве мисли се на правац такав да раздаљина између правца и тачке на кривој иде према нули где тачка иде у бесконачност. Ако се асимптота криве y = f(x) пише помоћу једначине y = kx + m, онда се k и m određuju prema:
Аналитичка геометрија у R3
[уреди | уреди извор]![Координатни систем у R3](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Coordinate-systen-R3.svg/280px-Coordinate-systen-R3.svg.png)
Координатни систем
[уреди | уреди извор]Координатни систем у R3 користи три равни, обично нормалне једна на другу. Тачке пресека се називају x-, y- и z-osа. Ove tri ravni označavaju se po ulaznim osama kao xy-раван, yz-раван и xz-раван.
Правоугаоне координате
[уреди | уреди извор]Косинус смера
[уреди | уреди извор]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Riktningscosiner.svg/200px-Riktningscosiner.svg.png)
Координате тачке P' (x, y, z) су нормалне удаљености до yz-, xz- и xy-равни. Ако су углови између вектора положаја дужине r и оса онда је
где
су косинуси смера означени са a, b и c за које вреди
Угао између два правца
[уреди | уреди извор]Ако имамо два правца, OA1 са косинусима смера a1, b1 и c1 i OA2 са косинусима смера a2, b2 и c2, онда вреди за угао између OA1 и OA2:
Ротација координатног система
[уреди | уреди извор]С прелазом из правоугаоног координатног система (xyz) у један други (x'y'z') са заједничким координатним почетком али различитим смеровима оса и смеровима косинуса у xyz-осе означене
- за x'-оса са
- за y'-оса са
- за z'-оса са
биће трансформације
Удаљеност између две тачке
[уреди | уреди извор]Удаљеност d између тачака (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) је
Ако су a, b и c косинуси правца за правац између две аочке, онда се израчунавају као
Раван у R3
[уреди | уреди извор]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Plane-definition-2.svg/240px-Plane-definition-2.svg.png)
Ако је (x0, y0, z0) јединични вектор до једне тачке у равни и (A, B, C) је нормалан вектор на раван, може се једначина равнини написати као скалрарни производ нормалног вектора и векторa (x - x0, y - y0, z - z0):
што даје генерални облик једначине равни као
где је D
Једначина првог реда увек представља раван. Косинуси правца за нормалу равни су
Знак пред кореном се изабире тако да је
- увек позитиван. На тај начин је нормала усмерена према равниној „позитивној” страни.
Нормални облик
[уреди | уреди извор]Дељењем са
добија се једначина равни у нормалном облику
где су углови које нормала на равац чини с координатним осама а p је удаљеност нормале од координатног почетка па до равни.
Векторски облик
[уреди | уреди извор]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Plane-definition.svg/240px-Plane-definition.svg.png)
Једначина равни с нормалним вектором n, датом тачком r0 и r као јединичним векторим за произвољну тачку (x, y, z) у равни је
Удаљеност тачке од равни
[уреди | уреди извор]Координате тачке се пишу у нормалном облику равни
а удаљеност је онда једнака левој страни једначине са предзнаком '-' ако се тачка и координатни почетак налазе на истој страни равни, иначе са предзнаком '+'.
Пример:
Израчунати удаљеност од тачке (1, -3, 2) до равни
Једначина равни у нормалном облику
Важни појмови аналитичке геометрије
[уреди | уреди извор]- векторски простор
- скаларни производ, за одређивање угла између два вектора
- векторски производ, за одређивање вектора нормалног на два дата вектора, као и запремине паралелопипеда који они одређују
- дефиниција равни
- проблем растојања
- криве другог реда
Многи од ових проблема улазе у домен линеарне алгебре.
Референце
[уреди | уреди извор]- ^ Мишић, Милан, ур. (2005). Енциклопедија Британика. А-Б. Београд: Народна књига : Политика. стр. 46. ISBN 86-331-2075-5.
- ^ Boyer, Carl B. (1944), „Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes”, Mathematics Teacher, 37 (3): 99—105, doi:10.5951/MT.37.3.0099
- ^ Coolidge, J. L. (1948), „The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions”, American Mathematical Monthly, 55 (2): 76—86, JSTOR 2305740, doi:10.2307/2305740
Литература
[уреди | уреди извор]- Дирк Ј. Стројк, Кратак преглед историје математике, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 1991.
- David Eugene Smith, History Of Mathematics, vol I, Dover Publications, New York, 1958.
- Boyer, Carl B. (2004) [1956], History of Analytic Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0486438320
- Cajori, Florian (1999), A History of Mathematics, AMS, ISBN 978-0821821022
- John Casey (1885) Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, link from Internet Archive.
- Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.), Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
- Struik, D. J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 978-0674823556
- Bissell, Christopher C. (1987), „Cartesian geometry: The Dutch contribution”, The Mathematical Intelligencer, 9: 38—44, doi:10.1007/BF03023730
- Boyer, Carl B. (1965), „Johann Hudde and space coordinates”, Mathematics Teacher, 58 (1): 33—36, doi:10.5951/MT.58.1.0033
- Pecl, J., Newton and analytic geometry
- Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
- Blass, Andreas (1984), „Existence of bases implies the axiom of choice” (PDF), Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, стр. 31—33, MR 763890
- Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces
, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
- Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
- Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3rd изд.), American Mathematical Soc., стр. 193—222, ISBN 978-0-8218-1646-2
- Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8
- Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 135 (2nd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3
- Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups, CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
- van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (на језику: немачки) (9th изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56799-8
Спољашње везе
[уреди | уреди извор]- Аналитичка геометрија на Mathworld
- Coordinate Geometry topics with interactive animations