Jump to content

Teorema e vlerës mesatare

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Për çdo funksion që është aktiv i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm në ka të paktën një vlerë në intervalin të tillë që sekanti që bashkon pikat fundore të intervalit është paralel me tangjenten në .

matematikë, teorema e vlerës mesatare (ose teorema e Lagranzhit ) thotë, përafërsisht, se për një hark të caktuar planar midis dy pikave, ekziston të paktën një pikë në të cilën tangjentja me harkun është paralele me sekantin përmes pikave fundore të tij. Është një nga rezultatet më të rëndësishme në analizën reale . Kjo teoremë përdoret për të vërtetuar pohime për një funksion në një interval duke u nisur nga hipotezat vendore për derivatet në pikat e intervalit.

Më saktësisht, teorema thotë se nëse është një funksion i vazhdueshëm në intervalin e mbyllur dhe i diferencueshëm në intervalin e hapur , atëherë ekziston një pikë të tillë që tangjentja në është paralel me vijën sekante nëpër pikat fundore dhe , kjo eshte,

Deklaratë zyrtare

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Funksioni arrin pjerrësinë e sekantit ndërmjet dhe si derivat në pikë .
Është gjithashtu e mundur që të ketë tangjente të shumta paralele me sekantin.

Le të jetë një funksion i vazhdueshëm në intervalin e mbyllur , dhe i diferencueshëm në intervalin e hapur , ku . Pastaj ka disa sikurse

Teorema e vlerës mesatare është një përgjithësim i teoremës së Rolle-s, e cila supozon , në mënyrë që ana e djathtë sipër të jetë zero.

Teorema e vlerës mesatare është ende e vlefshme në një mjedis pak më të përgjithshëm. Duhet vetëm të supozohet se është i vazhdueshëm në , dhe atë për çdo limiti

ekziston si numër i fundëm ose i barabartë ose . Nëse është i kufizuar, ai kufi është i barabartë . Një shembull ku zbatohet ky version i teoremës jepet nga hartëzimi i funksionit të rrënjës së kubit me vlerë reale , derivati i të cilit tenton në pafundësi pranë origjinës.

Teorema, siç u tha, është e rreme nëse një funksion i diferencueshëm është me vlera komplekse në vend të vlerave reale. Për shembull, përcaktoni për te gjitha . reale. Atëherë

derisa për çdo . real.

Teorema 1: Supozojmë se është një funksion i vazhdueshëm, me vlera reale, i përcaktuar në një interval arbitrar të vijës reale. Nëse derivati i në çdo pikë të brendshme të intervalit ekziston dhe është zero, atëherë është konstante në brendësi të intervalit.


Teorema 2: Nëse për të gjitha në një interval të fushës së këtyre funksioneve, atëherë është konstante, dmth ku është a konstante në .

Vërtetim: Le të jetë , atëherë në intervalin ( a, b ), kështu që teorema e mësipërme 1 tregon se është një konstante c ose .

Teorema 3: Nëse është një integral i pacaktuar i në një interval , atëherë integrali i pacaktuar më i përgjithshëm i është ku është një konstante.

Teorema e vlerës mesatare të Koshisë

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Teorema e vlerës mesatare të Koshisë, e njohur gjithashtu si teorema e vlerës mesatare të zgjeruar, [1] është një përgjithësim i teoremës së vlerës mesatare. Ai thotë: nëse funksionet dhe janë të dyja të vazhdueshme në intervalin e mbyllur dhe i diferencueshëm në intervalin e hapur , atëherë ka disa , të tilla që [2]

Kuptimi gjeometrik i teoremës së Koshisë

Sigurisht, nëse dhe , kjo është e barabartë me:

Gjeometrikisht, kjo do të thotë se ka një tangjente në grafikun e kurbës [3]

e cila është paralele me drejtëzën e përcaktuar nga pikat dhe . Megjithatë, teorema e Koshiut nuk pretendon ekzistencën e një tangjenteje të tillë në të gjitha rastet kur dhe janë pika të dallueshme, pasi mund të kënaqet vetëm për ndonjë vlerë me , me fjalë të tjera një vlerë për të cilën kurba e përmendur është e palëvizshme ; në pika të tilla nuk ka gjasa të përcaktohet fare tangjenti i kurbës. Një shembull i kësaj situate është kurba e dhënë nga

e cila në intervalin shkon nga pika te , megjithatë kurrë nuk ka një tangjente horizontale; megjithatë ajo ka një pikë të palëvizshme (në fakt një kulm ) në .

Teoremat e vlerës mesatare për integrale të përcaktuara

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Teorema e parë e vlerës mesatare për integrale të përcaktuara

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Gjeometrikisht: duke interpretuar si lartësinë e një drejtkëndëshi dhe si gjerësi, ky drejtkëndësh ka të njëjtën sipërfaqe me rajonin poshtë kurbës nga ab [4]

Le të jetë një funksion i vazhdueshëm. Atëherë ekziston c e tillë që

Meqenëse vlera mesatare e përcaktohet si

ne mund ta interpretojmë përfundimin pasi e arrin vlerën e saj mesatare në disa c. [5]

Në përgjithësi, nëse është i vazhdueshëm dhe është një funksion i integrueshëm që nuk ndryshon shenjën në , atëherë ekziston c i tillë që

Një analog probabilist i teoremës së vlerës mesatare

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Le të jenë dhe ndryshore të rastit jo negative të tilla që dhe (dmth është më i vogël se në rendin e zakonshëm stokastik ). Pastaj ekziston një ndryshore e rastësishme absolutisht e vazhdueshme jo-negative që ka funksion të densitetit të probabilitetit

Le të jetë një funksion i matshëm dhe i diferencueshëm i tillë që , dhe le të jetë derivati i tij i matshëm dhe i integrueshëm nga Riemann në intervalin për të gjithë . Atëherë, është e fundme dhe [6]

Teorema e vlerës mesatare në ndryshore komplekse

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Siç u përmend më lart, teorema nuk vlen për funksionet e diferencueshme me vlera komplekse. Në vend të kësaj, një përgjithësim i teoremës është deklaruar i tillë: [7]

Le të jetë një funksion holomorfik në bashkësinë e hapur konveks Ω, dhe le të jenë a dhe b pika të dallueshme në Ω. Atëherë ekzistojnë pika u, v në brendësi të segmentit të drejtëzës nga ab të tilla që

  1. ^ W., Weisstein, Eric. "Extended Mean-Value Theorem". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2018-10-08.{{cite web}}: Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)
  2. ^ Kirshna's Real Analysis: (General) (në anglisht). Krishna Prakashan Media.
  3. ^ "Cauchy's Mean Value Theorem". Math24 (në anglishte amerikane). Arkivuar nga origjinali më 18 prill 2023. Marrë më 2018-10-08.
  4. ^ "Mathwords: Mean Value Theorem for Integrals". www.mathwords.com. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  5. ^ Michael Comenetz (2002). Calculus: The Elements. World Scientific. fq. 159. ISBN 978-981-02-4904-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  6. ^ Di Crescenzo, A. (1999). "A Probabilistic Analogue of the Mean Value Theorem and Its Applications to Reliability Theory". J. Appl. Probab. 36 (3): 706–719. doi:10.1239/jap/1032374628. JSTOR 3215435. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  7. ^ 1 J.-Cl. Evard, F. Jafari, A Complex Rolle’s Theorem, American Mathematical Monthly, Vol. 99, Issue 9, (Nov. 1992), pp. 858-861.