Norma matrike

Norma matrike je v matematiki razširitev pojma norme vektorja na matrike.

Definicija

Označimo s $K\,$ obseg realnih ali kompleksnih števil. S $K^{m\times n}$ pa označimo vektorski prostor matrik z razsežnostjo $m\times n\,$ v $K\,$.

Norma matrike $A\,$, ki jo označimo z $||A||\,$ je vektorska norma na $K^{m\times n}$ z lastnostmi:

• $\|A\|>0$ če je$A\neq 0$ in $\|A\|=0$, če in samo, če je $A=0,$
• $\|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|$ za vse $\alpha$ v $K$ in vse matrike $A$ v $K^{m\times n}$
• $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$ za vse matrike $A\,$ in $B\,$ v $K^{m\times n}\,$
• $||AB||\leq ||A||\cdot ||B||\,$.

P norma matrik

Tudi matrikam lahko določimo p normo, ki odgovarja vektorski p-normi. Ta je določena kot

$\left\|A\right\|_{p}=\max \limits _{x\neq 0}{\frac {\left\|Ax\right\|_{p}}{\left\|x\right\|_{p}}}.$.

Če pa je $p=1\,$ ali lahko normi izračunamo po obrazcu

$\left\|A\right\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$. To pa je največja absolutna vrednost vsote stolpcev matrike.

Kadar pa je $p=\infty \,$, dobimo normo s pomočjo

$\left\|A\right\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$. To pa je največja absolutna vrednost vrstic matrike.

Primer: Imamo matriko

$A={\begin{bmatrix}3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},$.

Za normo $||A||_{1}\,$ dobimo $||A||_{1}=max(5,13,19)=19\,$. Norma $||A||_{\infty }=max(15,12,10)=15\,$.

Kadar pa je $p=2\,$ (Evklidska norma) in je matrika kvadratna ($n=m\,$), se norma imenuje spektralna norma.

Spektralna norma matrike $A\,$ je največja singularna vrednost ali kvadratni koren največje lastne vrednosti pozitivno definitne matrike $A^{*}A\,$

$\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\text{max}}(A^{^{*}}A)}}=\sigma _{\text{max}}(A)$

kjer je

• $A^{*}\,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A\,$
• $\lambda \,$ lastna vrednost matrike

Frobeniusova norma

Norna matrike $A\,$ iz $\mathbb {C} ^{m,n}\,$ za $p=2\,$ se imenuje Frobeniusova norma

$\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} (A^{{}^{*}}A)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,\,n\}}\sigma _{i}^{2}}}$

kjer je

• $A^{*}\,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A\,$
• $\sigma _{i}\,$ singularna vrednost matrike $A\,$
• $\operatorname {tr} \,$ sled matrike $A\,$.

Norma se imenuje po nemškem matematiku Ferdinandu Georgu Frobeniusu (1849 – 1917). Včasih jo imenujejo tudi Hilbert-Schmidtova norma.

Zunanje povezave

• Matrične norme(poglavje 3)(slovensko)
• Frobeniusova norma (angleško)
• Frobeniusova norma Arhivirano 2008-07-19 na Wayback Machine. (angleško)
• Norma matrike Arhivirano 2011-11-25 na Wayback Machine. (angleško)