Kardinalnost
Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom.
K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.[1]
Kardinalnost množice se običajno označuje z , kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še in # A.
Primerjava množic
[uredi | uredi kodo]- . V tem primeru imata množici enako kardinalnost, če obstaja bijektivna preslikava (to pomeni injektivna in surjektivna funkcija iz v ).
- Zgled: množica nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica naravnih števil, ker je funkcija bijektivna preslikava iz v .
- . V tem primeru ima množica večjo ali enako kardinalnost kot , če obstaja injektivna funkcija za preslikavo iz v .
- . V tem primeru je kardinalnost množice večja od kardinalnosti množice . To se zgodi, če obstaja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo
iz množice v množico .
Kardinalno število
[uredi | uredi kodo]Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.
Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z
Za vsako ordinalno število je najmanjše kardinalno število večje od (oznaka je hebrejska črka alef).
Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z , (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja , kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je . To pa pomeni,da je najmanjše kardinalno število večje od . To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.
Kardinalnost kontinuuma
[uredi | uredi kodo]Kardinalnost kontinuuma se označuje s . Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka ). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil.
- .
Domneva kontinuuma trdi, da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil. To zapišemo na naslednji način:
kjer je:
- kardinalnost naravnih števil (alef nič)
- število bet
Opombe in sklici
[uredi | uredi kodo]- ↑ Weisstein, Eric W. "Cardinal Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html
Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]- Kardinalno število (angleško)
- Kardinalnost na PlanethMath Arhivirano 2011-06-04 na Wayback Machine. (angleško)
- Kardinalnost na MathWorld (angleško)
- Kardinalnost (angleško)