Полиномы Белла
В математике, в частности в комбинаторике, полиномы Белла — это полиномы вида
где сумма берётся по всем последовательностям j1, j2, j3, ..., jn−k+1 неотрицательных целых чисел таким, что
- и
Полиномы Белла названы так в честь математика Э. Белла.
Полные полиномы Белла
[править | править код]Сумма
иногда называется n-м полным полиномом Белла. Для отличия от полных полиномов Белла, полиномы Bn, k, определённые выше, иногда называют «частичными» полиномами Белла.
Полные полиномы Белла удовлетворяют следующим условиям:
Комбинаторная интерпретация
[править | править код]Если в разбиении числа n слагаемое 1 появляется j1 раз, 2 появляется j2 раза, и т.д., то количество разбиений множества мощности n, в котором мощности частей образуют это разбиение числа n, равно соответствующему коэффициенту полинома Белла.
Примеры
[править | править код]Для n = 6, k = 2 мы имеем
потому что есть
- 6 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 5 + 1,
- 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 2,
- 10 способов разбить множество мощности 6 на подножества мощностей 3 + 3.
Аналогично,
потому что есть
- 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 1 + 1,
- 60 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 3 + 2 + 1, and
- 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 2 + 2 + 2.
Свойства
[править | править код]Связь с числами Стирлинга и Белла
[править | править код]Значение полинома Белла Bn,k(x1, x2, …), где все xi равны 1 является числом Стирлинга второго рода:
Сумма
есть n-е число Белла (количество разбиений множества мощности n).
Тождество свертки
[править | править код]Для последовательности xn, yn, n = 1, 2, …, определёна свёртка:
(Заметим, что пределы суммирования здесь 1 и n − 1, а не 0 и n.)
Положим, что есть n-й член последовательности
Тогда
Для примера вычислим . Так как
то
Применения
[править | править код]Формула Фаа-ди-Бруно
[править | править код]Формула Фаа-ди-Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:
Кроме того, мы можем использовать полиномы Белла, если
- и
то
В частности, полные полиномы Белла появляются в разложении экспоненты формального степенного ряда
Моменты и кумулянты
[править | править код]Сумма
есть n-й момент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которых равны κ1, …, κn. Другими словами, n-й момент равен значению n-го полного полинома Белла на первых n кумулянтах.
Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа
[править | править код]Для заданной последовательности чисел a1, a2, a3, … положим
Тогда эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип, т.е. она удовлетворяет биномиальным условиям
- для n ≥ 0.
- Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа представляются в таком виде.
Eсли мы рассмотрим
как формальный степенной ряд, то для всех n,
Программное обеспечение
[править | править код]- Полиномы Белла, полные полиномы Белла и обобщённые полиномы Белла реализованы в Mathematica как BellY Архивная копия от 20 марта 2014 на Wayback Machine.
Источники
[править | править код]- Eric Temple Bell. Partition Polynomials (неопр.) // Annals of Mathematics. — 1927–1928. — Т. 29, № 1/4. — С. 38—46. — doi:10.2307/1967979. — .
- Louis Comtet. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions (англ.). — Dordrecht, Holland / Boston, U.S.: Reidel Publishing Company, 1974.
- Steven Roman[англ.]. The Umbral Calculus (неопр.). — Dover Publications.
- Khristo N. Boyadzhiev. Exponential Polynomials, Stirling Numbers, and Evaluation of Some Gamma Integrals (англ.) // Abstract and Applied Analysis[англ.] : journal. — 2009. — Vol. 2009. — P. Article ID 168672. — doi:10.1155/2009/168672. (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
- Silvia Noschese, Paolo E. Ricci. Differentiation of Multivariable Composite Functions and Bell Polynomials (англ.) // Journal of Computational Analysis and Applications : journal. — 2003. — Vol. 5, no. 3. — P. 333—340. — doi:10.1023/A:1023227705558. '
- Vassily G. Voinov, Mikhail S. Nikulin. On power series, Bell polynomials, Hardy-Ramanujan-Rademacher problem and its statistical applications (англ.) // Kybernetika : journal. — 1994. — Vol. 30, no. 3. — P. 343—358. — ISSN 00235954.
- Kruchinin, V.V., 2011 , Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind Архивная копия от 11 сентября 2015 на Wayback Machine(ArXiv)
- Конспект лекции Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine по полиномам Белла, примеры