Интегральный логарифм
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/LogIntegral.png/220px-LogIntegral.png)
Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом
Для устранения сингулярности при иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:
Эти две функции связаны соотношением:
Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.
Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:
Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке (число Рамануджана — Солднера).
Разложение в ряд
[править | править код]Из тождества, связывающего и следует ряд:
где — постоянная Эйлера — Маскерони.
Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:
Интегральный логарифм и распределение простых чисел
[править | править код]Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем . При справедливости гипотезы Римана выполняется[1]
Для не слишком больших , однако доказано, что при некотором достаточно большом неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 1019[2] и 1,3971672·10316 ≈ e727,951336108[3].
Примечания
[править | править код]- ↑ Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11. - с. 30-31
- ↑ Jan Büthe. An analytic method for bounding ψ(x) // Math. Comp. — 2018. — Vol. 87. — P. 1991-2009. — arXiv:1511.02032. — doi:10.1090/mcom/3264. Доказательство использует гипотезу Римана.
- ↑ Yannick Saouter, Timothy Trudgian, and Patrick Demichel. A still sharper region where π(x) − li(x) is positive // Math. Comp. — 2015. — Vol. 84. — P. 2433-2446. — doi:10.1090/S0025-5718-2015-02930-5. MR: 3356033. Указанная оценка не требует гипотезы Римана.
Литература
[править | править код]- Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.
Для улучшения этой статьи желательно:
|