Дробно-линейное преобразование

Эта статья об отображении комплексного пространства на себя; об отображении комплексного пространства на одномерное пространство см. Дробно-линейная функция.

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние, или дро́бно-лине́йное отображе́ние, — это отображение комплексного пространства на себя, которое осуществляется дробно-линейными функциями.

Формальное определение

Дробно-линейное преобразование — это невырожденное отображение комплексного пространства любой размерности на себя

$\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}:z\to w,$ $z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),$

$w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})=(L_{1}(z),L_{2}(z),\dots ,L_{n}(z)),$

осуществляемое $n$ дробно-линейными функциями

$L_{k}(z)={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\cdots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1k}z_{1}+c_{2k}z_{2}+\cdots +c_{nk}z_{n}+d_{k}}},$ $k=1,2,\dots ,n,$

где $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ — комплексные переменные, $a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},$ $c_{1k},c_{2k},\dots ,c_{nk},$ $b_{k},d_{k}$ — комплексные коэффициенты,

$|c_{1k}|+|c_{2k}|+\dots +|c_{nk}|+|d_{k}|>0$.

Основная статья: Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

В случае комплексной плоскости $\mathbb {C} ^{1}=\mathbb {C}$ получаем отличное от константы отображение вида

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$

где $ad-bc\neq 0$.

Источники

• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. С. 384—387.