Андреевское отражение
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Andreev_reflection.svg/200px-Andreev_reflection.svg.png)
Андреевское отражение — процесс отражения электрона, падающего из нормального металла на границу со сверхпроводником, при котором электрон превращается в дырку, меняет обе компоненты скорости на противоположные (при ретро-отражении), а в сверхпроводник попадает два электрона (куперовская пара). Названо по имени Александра Фёдоровича Андреева, теоретически предсказавшего такой тип отражения в 1964 году [1]. В то же время существует зеркальное андреевское отражение , при котором дырка не меняет проекцию скорости на границу. Этот эффект предсказан Бинаккером в 2006 году.
Суть явления
[править | править код]Основное состояние электронов в нормальном металле при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, — заполненные состояния с энергией ниже, чем энергия Ферми, и пустые состояния с энергией выше фермиевской. Элементарные возбуждения — электроны и дырки — могут иметь сколь угодно малую энергию. С другой стороны, спектр возбуждений в сверхпроводнике имеет зону запрещённых энергий , которую называют полной сверхпроводящей щелью. Поэтому проникновение в сверхпроводник из нормального металла электрона или дырки, энергия которых, отсчитанная от уровня Ферми , лежит ниже щели (), а также лежит в диапазоне щели вплоть до , является невозможным[2]. Если к контакту нормальный металл — сверхпроводник приложено напряжение , такое что , электрический ток через контакт за счёт прямого перехода электронов будет определяться лишь носителями, термически активированными выше щели, и будет экспоненциально мал.
В этой ситуации ток создаётся процессом андреевского отражения. Электрон, налетающий на границу, может отразившись от поверхности свехпроводника превратиться в дырку с той же энергией возбуждения. Так как заряд дырки противоположен заряду электрона, то при андреевском отражении, по закону сохранения заряда, заряд, равный удвоенной величине заряда электрона, переносится в сверхпроводник, образуя там куперовскую пару[2]. Таким образом, ток через NS-контакт примерно удваивается, что выражается на вольт-амперной характеристике контакта как линейный участок с удвоенным наклоном при малых напряжениях . При вольт-амперная характеристика идёт линейно вдоль омического закона.
В простейшем случае изотропного металла без магнитного поля и магнитной структуры, и сверхпроводника с s-спариванием процесс происходит следующим образом. При андреевском отражении сохраняется энергия возбуждения, то есть квазичастица переходит с электронной ветви в спектре возбуждений на дырочную с той же энергией. Импульс электрона при этом несколько отличается от импульса дырки, однако изменение импульса пренебрежимо мало по сравнению с импульсом Ферми в случае металлов где энергия Ферми велика. Однако групповая скорость дырки, (где и обозначают энергию и импульс квазичастиц) противоположна групповой скорости электрона[3]. Поэтому в координатном пространстве дырка двигается по траектории электрона, но в обратном направлении (англ. retroreflection). Иными словами, при андреевском отражении квазичастица меняет обе компоненты скорости на противоположные (при обычном отражении только нормальная компонента меняет знак). Так как в куперовской паре спины двух электронов противоположны, спины электрона и дырки также противоположны.
Теоретическое описание
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Dispersion_relation_of_metal_BdG_equation.svg/400px-Dispersion_relation_of_metal_BdG_equation.svg.png)
Большинство теоретических методов, использующихся для описания андреевского отражения, основаны на методе функций Грина. Так как описание, основанное на функциях Грина, для сверхпроводников громоздко, используют квазиклассическое приближение — уравнения Эйленбергера для чистых систем и уравнения Узаделя в случае, когда концентрация примесей достаточно высока[4]. Однако для большинства задач удаётся ещё более упростить формализм и использовать интуитивно понятные уравнения Боголюбова — де Жена, которые просто являются обобщением уравнения Шрёдингера на случай системы, содержащей как электроны, так и дырки.
BTK-теория[5] использует последнее приближение для нахождения характеристик ток-напряжение через контакт металл-сверхпроводник. Теория рассматривает одномерную задачу для чистых материалов, где волновой вектор частиц — это хорошее квантовое число и имеет один свободный параметр: высота барьера на границе. Уравнение Боголюбова — де Жена для сверхпроводника записываются в виде
где — редуцированная постоянная Планка, m — масса электрона, k — волновой вектор частицы, μ — химический потенциал, Δ =Δ0eiφ — сверхпроводящая щель, φ — фаза сверхпроводника, u и v — электронная и дырочные волновые функции, Gδ(x) — дельта-функция с амплитудой G. Собственные значения энергии ε находятся из характеристического уравнения
- .
На рисунке показаны дисперсионные соотношения для случая металла и сверхпроводника[6].
Из двух решений этого уравнения рассматривают только положительную энергию. Тогда для металла, где Δ = 0, найдётся четыре волновых вектора (при ε < μ), отвечающие плоским решениям для плоских волн. В таблице приведены все решения уравнения. Для электронов используется индекс «e», а для дырок с положительной энергией, то есть из зоны проводимости — индекс «h». В случае сверхпроводника, когда |Δ| > 0, следует различать два случая. Когда энергия ε > |Δ|, то существуют решения в виде плоских волн. Второй случай соответствует условию ε < |Δ|, когда существуют решения в виде затухающих волн, отвечающие известному эффекту подбарьерного туннелирования в квантовой механике.
Параметр | Металл | Сверхпроводник ε > Δ0 | Сверхпроводник ε < Δ0 |
---|---|---|---|
Волновые векторы для электронов | , ε > Δ0 | , ε < Δ0 | |
Волновые векторы для дырок | , ε > Δ0 | , ε < Δ0 | |
Электронные волновые функции | |||
Дырочные волновые функции | |||
Амплитуды электронные | |||
Амплитуды дырочные |
Теперь если использовать стандартную теорию для матрицы рассеяния в одномерном случае, где падающая, отражённая и прошедшая волны записываются в приведённой выше форме, то можно получить уравнения для коэффициентов отражения и прохождения, используя условия непрерывности волной функции на границе и условие скачка производной на границе в случае добавления дельта потенциала произвольной высоты. Для вывода также условие на групповую скорость, чтобы ток вероятности переносился согласно определению для падающей, отражённой и прошедшей волн, и рассматривается только одна падающая волна для электрона, а остальные рассеянные. Групповые скорости различаются для металла ve/h и сверхпроводника we/h
- ,
- ,
причём видно, что в сверхпроводнике групповая скорость приближается к нулю при приближении энергии к ширине щели. В случае андреевского отражения, когда уровень Ферми много больше энергии частиц и щели, амплитуды рассеяния (отражения и прохождения) запишутся в виде
- ,
- ,
- ,
- ,
где — параметр, определяющий прозрачность барьера. Соответствующие вероятности будут иметь вид квадратов модулей амплитуд. Полностью прозрачный барьер приведёт к занулению процесса e → e, то есть будет полностью отсутствовать отражение электрона, в то время как для процесса e → h получится следующее выражение ε < Δ0
- ,
а соответствующая вероятность будет равна 1. При больших энергиях ε > Δ0 амплитуда будет затухать при росте энергии
Андреевская проводимость
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
Необычное андреевское отражение
[править | править код]Граница нормальный металл — ферромагнетик
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
Сверхпроводник с d-спариванием
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
Графен
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Dispersion_relation_of_graphene_BdG_equation.svg/600px-Dispersion_relation_of_graphene_BdG_equation.svg.png)
Уравнение Боголюбова — де Жена для сверхпроводника имеет вид[7]
где H — гамильтониан для одной частицы, EF — уровень Ферми, Δ — энергетическая щель или параметр порядка, u и v — электронная и дырочные волновые функции, Θ — оператор инверсии времени, который вводится таким соотношением
где C — комплексное сопряжение. Так ε > 0 положительная энергия квазичастиц отсчитанная от уровня Ферми. В случае нормального состояния уравнения для электронов и дырок разделяются и решения независимы и симметричны по энергии. При включении взаимодействия между электронной и дырочной составляющими посредством парного потенциала Δ формируются связные состояния электронов и дырок. Без конкретного вида одночастичного гамильтониана уравнение Боголюбова — де Жена можно применить для любого закона дисперсии. В случае же графена с его линейной связью между энергией и волновым вектором гамильтониан примет вид
σx, σy, σz — матрицы Паули, действующие не в спиновом пространстве, а в пространстве подрешёток, ещё называемых псевдоспином, vF — фермиевская скорость, U — потенциальная энергия, которая отрицательна в области под сверхпроводником, |k|2=kx2+ky2 — квадрат волнового вектора. Подставляя этот гамильтониан в уравнение Боголюбова — де Жена, получим систему из восьми дифференциальных уравнений с волновыми функциями , . Эта система распадается на две системы по четыре уравнения, приводя к уравнениям Дирака — Боголюбова — де Жена с дисперсионным соотношением
- .
При выводе уравнения Боголюбова — де Жена принималось во внимание приближение среднего поля, при котором длина когерентности сверхпроводника много больше фермиевской длины в сверхпроводнике , но соотношение этих величин для сверхпроводника и нормального металла не имеет ограничений, и возможны два предельных случая, когда и . Эти два случая принципиально различаются: в случае, если энергия электрона , то при наблюдается обычное андреевское отражение, а при возникает зеркальное андреевское отражение, когда отражённая дырка сохраняет проекцию скорости на границу. Для графена также наблюдается отсутствие отражения при нормальном падении электронов на границу сверхпроводник-металл при любой разнице уровней Ферми благодаря сохранению киральности, в отличие от нормального металла, где существует отражение.
Контакт сверхпроводник — изолятор высокой прозрачности — сверхпроводник
[править | править код]Когда два сверхпроводника слабо связаны, например, в структуре сверхпроводник-изолятор-сверхпроводник (SIS), сверхток может протекать вследствие эффекта Джозефсона, который возникает из-за фиксированного различия фаз волновых функций носителей тока в двух сверхпроводниках поперек прослойки нормального металла[8] [9]. Такая приборная структура известна как джозефсоновский переход, причем максимальная величина сверхтока, протекающего через переход, определяется как джозефсоновский критический ток, Ic. В наиболее чистых обычных металлических переходах произведение сверхтока и сопротивления в нормальном состоянии является постоянной величиной, которая пропорциональна величине сверхпроводящей щели БКШ — 2Δ, то есть , где Ic — это джозефсоновский критический ток, а Rn — это сопротивление металла в нормальном состоянии (формула Амбегаокара — Баратова). Произведение IcRn не зависит от геометрии образца, поскольку одни и те же зависимые от геометрии образца параметры самоликвидируются в выражениях для Ic и Rn. Интересно, что новый мезоскопический режим возникает, когда ширина, w, нормального проводника сокращается, чтобы стать сравнимой с длиной волны Ферми, λF, носителей заряда, и его проводимость в нормальном состоянии становится квантованной в единицах e²/h, где e — заряд электрона, а h — постоянная Планка, слабо завися от ограничений, накладываемых на значение длины канала, которые обусловлены формированием одномерных подзон[10] [11]. Было предсказано [12], что универсальное произведение IcRn=πΔ/2e также играет важную роль в коротких джозефсоновских переходах с дискретными поперечными модами, где каждая из N мод формирует независимый уровень, связанный с андреевским отражением, и одинаковым образом вносит вклад в общий сверхток[13]. Таким образом, Ic=2πNeΔ/h, хотя такой режим и не был достигнут экспериментально[14] [15]. В большинстве предыдущих исследований сандвичей типа SIS структур, для того чтобы формировать переходы были использованы обычные металлы. В этих переходах сложно достигнуть режима, при котором w~λF, поскольку желательно реализовать стабильный и контролируемый переход шириной несколько атомных слоев[16]. Это ограничение может быть преодолено при использовании полупроводников вследствие наличия в них низкой плотности носителей заряда и соответственно большой длины волны Ферми, так как λF=2π/kF=(2π/p2D)1/2, где kF — Фермиевский волновой вектор, а p2D — двумерная концентрация дырок в яме.
Связанные состояния и эффект Джозефсона
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
Многократное Андреевское отражение
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
Андреевская интерферометрия
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
Примечания
[править | править код]- ↑ Андреев А. Ф. Теплопроводность промежуточного состояния сверхпроводников // ЖЭТФ. — 1964. — Т. 46, вып. 5. — С. 1823—1828.
- ↑ 1 2 Nazarov & Blanter, 2009, p. 98.
- ↑ Nazarov & Blanter, 2009, p. 98-99.
- ↑ А. В. Свидзинский. Пространственно-неоднородные задачи теории сверхпроводимости . — Наука (Москва), 1982. — С. 141—157. — ISBN 9780521832465..
- ↑ G. E. Blonder, M. Tinkham, and T. M. Klapwijk. Transition from metallic to tunneling regimes in superconducting microconstrictions: Excess current, charge imbalance, and supercurrent conversion (англ.) // Phys. Rev. B. — 1982. — Vol. 25. — P. 4515. — doi:10.1103/PhysRevB.25.4515. Архивировано 16 апреля 2019 года.
- ↑ Dolcini F. Andreev Reflection (англ.) // Lecture Notes for XXIII Physics GradDays. — 2009. (недоступная ссылка)
- ↑ Beenakker C. W. J. Specular Andreev reflection in graphene (англ.) // Phys. Rev. Lett.. — 2006. — Vol. 97. — P. 067007. — doi:10.1103/PhysRevLett.97.067007. Архивировано 6 мая 2021 года.
- ↑ Tinkham M. Introduction in Superconductivity. — Dover New York, 1996.
- ↑ Likharev K.K. Superconducting weak links // Rev. Mod. Phys.. — 1979. — Т. 51. — С. 101.
- ↑ Thornton T.J., Pepper M., Ahmed H., Andrews D., Davis G.J. One-dimentional conduction in the 2D electron gas of a GaAs-AlGaAs heterojunction // Phys. Rev. Letters. — 1986. — Т. 56. — С. 1198.
- ↑ van Wees B.J., van Houten H., Beenakker C.W.J., Williamoson J.G., Kouwenhowen D., van der Marel, Foxon C.W.J. Quantized conductance of point contact in two dimentional electron gas // Phys. Rev. Letters. — 1988. — Т. 60. — С. 848.
- ↑ Beenakker C.W.J., van Houten H. Josephson current through a superconducting quantum point contact shorter than the coherence length // Phys. Rev. Letters. — 1991. — Т. 66. — С. 3056.
- ↑ Klapwijk T.M. Proximity effect from an Andreev perspective // Journal of Superconductivity Incorporating Novel Magnetism. — 2004. — Т. 17. — С. 593.
- ↑ Takayanagi H., Akazaki T., Nitta J. Observation of maximum supercurrent quantization in a superconducting quantum point-contact. — Phys. Rev. Letters, 1995. — Т. 75. — С. 3533.
- ↑ Bauch T., Hurfeld E., Krasnov V.M., Delsing P., Takayanagi H., Akazaki T. Correlated quantization of supercurrent and conductance in a superconducting quantum point contact // Phys. Rev. B. — 2005. — Т. 71. — С. 174502.
- ↑ Muller C.J., Vanruitenbeek J.M., De Jongh L. J. Conductance and supercurrent discountinuities in atomic-scale metallic constrictions of variable width // Phys. Rev. Letters. — 1992. — Т. 69. — С. 140.
Литература
[править | править код]- Yuli V. Nazarov and Yaroslav M. Blanter. Quantum Transport: Introduction to Nanoscience (англ.). — Cambridge University Press (Cambridge), 2009. — P. 98—114. — ISBN 9780521832465.