Адиабатический инвариант

Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы — таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе.

Возникновение термина

Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина «адиабатическая оболочка»(др.-греч. ἀδιάβατος — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.

Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау) стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название «адиабатический инвариант» появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.

В настоящее время слово «адиабатический» снова используется в первоначальном значении («процесс без теплообмена со средой»), но термин «адиабатический инвариант» уже устоялся.

Классическая механика

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом $T$ и зависит от параметра $\lambda$, адиабатичность изменения параметра определяется условием

$T{\frac {d\lambda }{dt}}\ll \lambda$.

Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра

${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )$

Внутренние переменные $q$ и $p$ меняются со временем быстро, с периодом $T$. Но энергия системы $E$ является интегралом движения при неизменном параметре $\lambda$. При изменении параметра во времени

${\frac {dE}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}$.

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр $\lambda$ неизменен.

${\overline {\frac {dE}{dt}}}={\frac {d\lambda }{dt}}{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}$,

где усреднение определено как

${\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}\,dt$.

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной $q$:

$dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}$.

В таком случае период $T$ равен

$T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}$,

где интегрирование проводится вперёд и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс как функцию энергии $E$, координаты $q$ и параметра, после некоторых преобразований можно получить

$\oint \left({\frac {\partial p}{\partial E}}{\overline {\frac {\partial E}{\partial t}}}+{\frac {\partial p}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)\,dq=0$.

Окончательно можно записать

${\overline {\frac {dI}{dt}}}=0$,

где величина

$I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq$

и будет адиабатическим инвариантом.

Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами $p$ и $q$. Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл $\oint p\,dq$ равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.

Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться

$I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq$.

Пример. Гармонический осциллятор

Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}$,

где $\omega$ — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии $H(p,q)=E$ и поэтому имеет вид

${\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E$.

Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями ${\sqrt {2mE}}$ и ${\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}$, соответственно его площадь, делённая на $2\pi$, равна ${\frac {E}{\omega }}$. Таким образом, величина $I={\frac {E}{\omega }}$ является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.

Свойства адиабатического инварианта

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделённому на $2\pi$.

$2\pi {\frac {\partial I}{\partial E}}=T$,

или

${\frac {\partial E}{\partial I}}=\omega$,

где $\omega$ — циклическая частота.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 199—202. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
• Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 400 с. — ISBN 978-5-8114-6958-1.