Octaedru triakis

Descriere
Octaedru triakis

(animație și model 3D)
Tip	Poliedru Catalan
Fețe	24 (triunghiuri isoscele)
Laturi (muchii)	36
Vârfuri	14
χ	2
Configurația vârfului	8{3}+6{8}
Configurația feței	V3.8.8
Simbol Conway	kO
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	O_h, B₃, [4,3], (*432), ordin
Grup de rotație	O, [4,3]⁺, (432), ordin
Arie	≈ 10,673 a² (a = latura mică)
Volum	≈ 2,914 a³ (a = latura mică)
Unghi diedru	147° 21′ 00″ arccos(−3 + 8√2/17)
Poliedru dual	Cub trunchiat
Proprietăți	Poliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată

În geometrie, un octaedru triakis este un poliedru Catalan cu 24 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul tetraedrului triakis este cubul trunchiat.

Octaedrul triakis poate fi considerat un octaedru cu o piramidă triunghiulară adăugată pe fiecare față, adică este un Kleetop al octaedrului. Numele său exprimă faptul că are câte trei fețe triunghiulare pentru fiecare față a octaedrului.

Acest poliedru convex este similar topologic cu octaedrul stelat concav. Au aceeași conexiune a fețelor, dar diferă distanțele relative față de centru ale vârfurilor.

Dacă laturile sale mai scurte au lungimea 1, aria și volumul acestuia sunt:

{\begin{aligned}A&=3{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}\\V&={\frac {3+2{\sqrt {2}}}{2}}\end{aligned}}

Coordonate carteziene

Cu $\alpha ={\sqrt {2}}-1$ , cele 14 puncte $(\pm \alpha ,\pm \alpha ,\pm \alpha )$ și $(\pm 1,0,0)$ , $(0,\pm 1,0)$ și $(0,0,\pm 1)$ sunt vârfurile octaedrului triakis centrat în origine.

Dacă lungimea laturilor lungi este ${\sqrt {2}}$ , cea a laturilor scurte este $2{\sqrt {2}}-2$ .

Fețele sunt triunghiuri isoscele cu un unghi obtuz și două unghiuri ascuțite. Unghiul obtuz este de $\arccos({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}})\approx 117,200\,570\,380\,16^{\circ }$ iar cele ascuțite de $\arccos({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}})\approx 31,399\,714\,809\,92^{\circ }$ .

Proiecții ortogonale

Octaedrul triakis are trei poziții de simetrie particulare, două situate pe vârfuri și una la mijlocul laturilor:

Proiecții ortogonale
Simetrie proiectivă	[2]	[4]	[6]
Octaedru triakis
Cub trunchiat

Poliedre înrudite

Octaedrul triakis face parte din familia dualelor poliedrelor uniforme legate de cub și de octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme v • d • m
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= sau	= sau	=

Dualele celor de mai sus
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Octaedrul triakis este o parte a unei secvențe de poliedre și pavări, extinzându-se în planul hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de reflexie (*n32) în notația orbifold.

Variante ale pavărilor trunchiate cu simetrie *n32: t{n,3}
Smetrie *n32 [n,3]	Sferice				Euclid.	Hiperb. compacte		Paracomp.	Hiperbolice necompacte
Smetrie *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Figuri trunchiate
Schläfli	t{2,3}	t{3,3}	t{4,3}	t{5,3}	t{6,3}	t{7,3}	t{8,3}	t{∞,3}	t{12i,3}	t{9i,3}	t{6i,3}
Figuri triakis
Config.	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Octaedrul triakis este și o parte a unei secvențe de poliedre și pavări, extinzându-se în planul hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de reflexie (*n42) în notația orbifold.

Variante de simetrii *n42 ale pavărilor trunchiate: n.8.8
Simetrie *n42 [n,4]	Sferice]		Euclidiană	Compacte hiperbolice				Paracompactă
Simetrie *n42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Figuri trunchiate
Config.	2.8.8	3.8.8	4.8.8	5.8.8	6.8.8	7.8.8	8.8.8	∞.8.8
Figuri n-kis
Config.	V2.8.8	V3.8.8	V4.8.8	V5.8.8	V6.8.8	V7.8.8	V8.8.8	V∞.8.8

Bibliografie

en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 17, Triakisoctahedron)
en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008) The Symmetries of Things ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis octahedron)