Matricea lui Cauchy

Matricea lui Cauchy este o matrice A de tip $m\times n$, cu elementele de forma:

$a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n$

$A={\begin{bmatrix}{\frac {1}{x_{1}-y_{1}}}&{\frac {1}{x_{1}-y_{2}}}&\dots &{\frac {1}{x_{1}-y_{n}}}\\{\frac {1}{x_{2}-y_{1}}}&{\frac {1}{x_{2}-y_{2}}}&\dots &{\frac {1}{x_{2}-y_{n}}}\\\dots \dots \dots \\{\frac {1}{x_{m}-y_{1}}}&{\frac {1}{x_{m}-y_{2}}}&\dots &{\frac {1}{x_{m}-y_{n}}}\end{bmatrix}}$

Determinantul lui Cauchy

Pentru cazul particular $m=n$, determinantul matricii este:

$\det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-y_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}$

Proprietăți

• Determinantul lui Cauchy este nenul și astfel orice matrice pătrată de tip Cauchy este inversabilă. Inversa este A^-1=B = [b_ij] dată de:

$b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,$

unde A_i(x) și B_i(x) sunt polinoamele lui Lagrange pentru $(x_{i})$ , respectiv $y_{j}$.

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• A. Gerasoulis - A Fast Algorithm for the Multiplication of Generalized Hilbert Matrices with Vectors, Mathematics of Computation, 1988; vol. 50, pp. 179-188

Vezi și

• Matricea lui Toeplitz
• Matrice circulantă

Legături externe

{{Portal|Matematică))

• en Matricea lui Cauchy la PlanetMath Arhivat în 20 august 2008, la Wayback Machine.