Curvatura

Uma migração da célula Dictyostelium discoideum do tipo selvagem, cujo limite é colorido por curvatura. Barra de escala: 5 µm; Duração: 22 segundos.

Em matemática, uma curvatura é qualquer um de uma série de conceitos vagamente relacionadas em diferentes áreas da geometria. Intuitivamente, curvatura é a quantidade na qual um objeto geométrico se desvia do plano, ou reto no caso de uma linha, mas esta é definida de diferentes formas, dependendo do contexto. Há uma diferença fundamental entre a curvatura extrínseca, que é definida para objetos incorporados em outro espaço (geralmente um espaço euclidiano) de um modo que se relaciona com o raio de curvatura de círculos que tocam o objeto, e curvatura intrínseca, que é definida em cada ponto de uma variedade de Riemann. Este artigo lida principalmente com o primeiro conceito.

O exemplo clássico de curvatura extrínseca é a de um círculo, que em todos os lugares tem curvatura igual ao inverso do seu raio. Círculos menores dobram-se mais acentuadamente, e, portanto, têm maior curvatura. A curvatura de uma curva suave é definida como a curvatura do seu círculo osculador em cada ponto.

Mais vulgarmente isto é uma quantidade escalar, mas pode-se também definir um vetor de curvatura que leva em conta a direção da dobra, bem como a sua nitidez. A curvatura de objetos mais complexos (tais como superfícies ou até mesmo curvas n-dimensionais de espaços) é descrita por mais objetos complexos de álgebra linear, tais como o tensor de curvatura geral de Riemann.

História

A curvatura de uma curva diferenciável foi originalmente definida através de círculos osculantes . Nesse cenário, Augustin-Louis Cauchy mostrou que o centro da curvatura é o ponto de interseção de duas linhas normais infinitamente próximas da curva.^[1]

Geometria diferencial

Seja C o gráfico de uma função vetorial, no espaço bi ou tridimensional, parametrizada em função do comprimento de arco. A ideia de curvatura está ligada à variação do vetor tangente com respeito ao comprimento de arco s. O vetor tangente T varia somente em direção, visto que tem comprimento constante de norma unitária. Se C for uma reta, a direção de T permanece constante e dizemos então que tem curvatura nula. Note também que um círculo terá curvatura constante, já que o raio da curvatura do círculo é constante.

Se C for uma curva lisa no espaço bi ou tridimensional parametrizada pelo comprimento do arco, então a curvatura de C, é uma função escalar denotada por $\kappa =\kappa (s)$ (onde κ é a letra grega kappa) e é definida por:

$\kappa (s)=\left\Vert {dT \over ds}\right\Vert =\lVert r''(s)\rVert$

Observe que $\kappa (s)$ é uma função real de s, uma vez que é o comprimento de $d{\vec {T}}/ds$ que mede a curvatura.

Temos que $d{\vec {T}}/ds$ é paralelo ao vetor normal ${\vec {N}}$ ^[2], ou seja

${d{\vec {T}} \over ds}=\kappa {\vec {N}}$ , onde $\kappa (t)>0$

Os vetores $T$ e $N$ em dois pontos em uma curva plana, uma versão traduzida do segundo quadro (pontilhada) e a alteração em $T$ : $δ T$ $δs$ é a distância entre os pontos. No limite $d T ds$ estará na direção $N$ e a curvatura descreve a velocidade de rotação do quadro.

Fórmulas Frenet – Serret para curvas planas

A expressão da curvatura Em termos de parametrização no comprimento do arco, é essencialmente a primeira fórmula de Frenet – Serret:

$\mathbf {T} '(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),$

onde os primos se referem às derivadas em relação ao comprimento do arco $s$ , e $N (s)$ é o vetor unitário normal na direção de $T' (s)$ .

Como as curvas planares têm torção zero, a segunda fórmula de Frenet-Serret fornece a relação

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}$

Para uma parametrização geral por um parâmetro $t$ , é necessário expressões envolvendo derivadas em relação a $t$ . Como estes são obtidos pela multiplicação por ${\operatorname {d} \!s \over \operatorname {d} \!t}$ dos derivados em relação a $s$ , é necessário, para qualquer parametrização adequada

$\mathbf {N} '(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}'(t).$

A curvatura em termos de um parâmetro qualquer t

Seja ${\vec {r}}(t)$ uma função vetorial lisa no espaço bi ou tridimensional. A curvatura $\kappa$ pode ser determinada por^[3]:

$\kappa (t)={\lVert {\vec {T'}}(t)\rVert \over \lVert {\vec {r'}}(t)\rVert }$

$\kappa ={\frac {\sqrt {\left(z''y'-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-z''x'\right)^{2}+\left(y''x'-x''y'\right)^{2}}}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

$\kappa ={\lVert {\vec {r'}}\times {\vec {r''}}\rVert \over \lVert {\vec {r'}}\rVert ^{3}}$

A representação de limite para a curvatura de uma curva no seu ponto $P(x,y)$ é $\kappa =\lim \limits _{\Delta s\rightarrow 0}{\frac {\Delta \theta }{\Delta s}}$ , onde $\Delta s$ é o comprimento da curva entre o ponto $P(x,y)$ e um ponto $Q(x,y)$ , também na curva, de modo que a distância entre P e Q tenda a 0. $\Delta \theta$ é o ângulo de giro da tangente da curva, entre o ponto P e Q.

Interpretação da curva no espaço bidimensional:

$k={|d\Phi | \over |ds|}$

A curvatura no espaço bidimensional pode ser interpretada como a magnitude da taxa de variação do ângulo (medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo até o vetor tangente unitário) com relação à posição s. Quanto maior for a curvatura, mais rápido varia o ângulo em relação a s. No caso de uma reta, o ângulo é constante e, consequentemente, a curvatura é nula.

Curvas de espaço

Como no caso de curvas em duas dimensões, a curvatura de uma curva espacial regular $C$ em três dimensões (e superior) é a magnitude da aceleração de uma partícula que se move com a velocidade unitária ao longo de uma curva. Assim, se $γ (s)$ é a parametrização de $C$ comprimento do arco, o vetor tangencial unitário $T (s)$ é dado por

$\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s)$

e a curvatura é a magnitude da aceleração:

$\kappa (s)=\|\mathbf {T} '(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}''(s)\|.$

A direção da aceleração é o vetor normal de unidade $N (s)$ , definido por

$\mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}}.$

O plano que contém os dois vetores $T (s)$ e $N (s)$ é o plano osculador da curva em $γ (s)$ . A curvatura tem a seguinte interpretação geométrica. Existe um círculo no plano osculador tangente a $γ (s)$ cuja série de Taylor para segunda ordem no ponto de contato concorda com a de $γ (s)$ . Este é o círculo de curvatura para a curva. O raio do círculo $R (s)$ é chamado raio de curvatura e a curvatura é recíproca do raio de curvatura:

$\kappa (s)={\frac {1}{R(s)}}.$

A tangente, a curvatura e o vetor normal juntos descrevem o comportamento de segunda ordem de uma curva perto de um ponto. Em três dimensões, o comportamento de terceira ordem de uma curva é descrito por uma noção relacionada de torção, que mede a extensão em que uma curva tende a se mover em um caminho helicoidal no espaço. A torção e a curvatura são relacionadas pelo Triedro de Frenet (em três dimensões) e sua generalização (em dimensões mais altas).

Raio de Curvatura

Em geral, se uma curva C no espaço bidimensional tem curvatura $\kappa$ não nula no ponto P, então o círculo de raio $\rho =1/\kappa$ que tangencia a curva C no ponto P e centro no lado côncavo da curva em P é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P. Nesse ponto P, além de o círculo e a curva se tangenciarem, ambos têm a mesma curvatura. O círculo de curvatura em P é o círculo que melhor aproxima a curva C na vizinhança de P^[3].

Curvatura na física

A Relatividade geral prevê que um corpo de grande massa pode alterar a geometria do espaço-tempo, tornando-o curvo. Essa curvatura do espaço-tempo quadridimensional altera a trajetória dos corpos que passem em torno de si, como a deflexão da luz, que tem seus feixes arqueados para dentro pelo campo gravítico do corpo. Nesse espaço-tempo a geodésica entre dois observadores não é a reta.

Ver também

Referências

↑ Borovik, Alexandre; Katz, Mikhail G. (2011), «Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus», Foundations of Science, 17 (3): 245–276, Bibcode:2011arXiv1108.2885B, arXiv:1108.2885, doi:10.1007/s10699-011-9235-x
↑ SAUTER, Esequia; SOUTO DE AZEVEDO, Fabio; ALMEIDA KONZEN, Pedro Henrique (2018). Cálculo Vetorial - Um Livro Colaborativo. Porto Alegre: [s.n.] p. 11
↑ ^a ^b ANTON, Howard (2014). Cálculo. Porto Alegre: Bookman. p. 877. ISBN 9788582602454

17, Mikhail G.; Alexandre (2011). Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus. [S.l.: s.n.] pp. 245–276

Notas

Coolidge. «The Unsatisfactory Story of Curvature». American Mathematical Monthly. 59: 375–379. JSTOR 2306807. doi:10.2307/2306807
Sokolov, D. D. (2001), «Curvature», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
Kline, Morris (1998). Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Dover. [S.l.: s.n.] pp. 457–461. ISBN 978-0-486-40453-0 (restricted online copy no Google Livros)
Klaf, A. Albert (1956). Calculus Refresher. Dover. [S.l.: s.n.] pp. 151–168. ISBN 978-0-486-20370-6 (restricted online copy no Google Livros)
Casey, James (1996). Exploring Curvature. Vieweg+Teubner. [S.l.: s.n.] ISBN 978-3-528-06475-4

Ligações externas

A História da Curvatura
Curvatura, Intrínseca e Extrínseca em MathPages

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[Cauchy-1] Borovik, Alexandre; Katz, Mikhail G. (2011), «Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus», Foundations of Science, 17 (3): 245–276, Bibcode:2011arXiv1108.2885B, arXiv:1108.2885, doi:10.1007/s10699-011-9235-x

[2] SAUTER, Esequia; SOUTO DE AZEVEDO, Fabio; ALMEIDA KONZEN, Pedro Henrique (2018). Cálculo Vetorial - Um Livro Colaborativo. Porto Alegre: [s.n.] p. 11

[:0-3] ANTON, Howard (2014). Cálculo. Porto Alegre: Bookman. p. 877. ISBN 9788582602454

[1]

[2]

[3]

v d e Várias noções de curvatura definida em geometria diferencial
Geometria diferencial de curvas	Curvatura Torsão de uma curva Fórmulas de Frenet–Serret Raio de curvatura Curvatura afim Curvatura total Curvatura total absoluta
Geometria diferencial de superfícies	Curvatura principal Curvatura gaussiana Curvatura média Darboux frame Equações de Gauss–Codazzi Primeira forma fundamental Segunda forma fundamental
Geometria de Riemann	Curvatura de variedades riemanianas Curvatura seccional Escalar de curvatura de Ricci Tensor de curvatura Tensor de curvatura de Ricci
Curvatura de conecções	Forma de curvatura Tensor de torção Co-curvatura Holonomia