Ortogonalidade hiperbólica
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Em geometria, a relação de ortogonalidade hiperbólica entre duas retas separadas pelas assíntotas de uma hipérbole é um conceito usado na relatividade especial para definir eventos simultâneos. Dois eventos serão simultâneos quando estiverem em uma linha hiperbolicamente ortogonal a uma linha de tempo específica. Essa dependência de uma certa linha do tempo é determinada pela velocidade e é a base para a relatividade da simultaneidade.
Geometria
[editar | editar código-fonte]Duas linhas são ortogonais hiperbólicas quando são reflexões uma da outra sobre a assíntota de uma dada hipérbole. Duas hipérboles particulares são frequentemente usadas no plano:
- xy = 1 com y = 0 como assíntota.
Quando refletida no eixo x, uma linha y = mx torna-se y = −mx.
Nesse caso, as linhas são ortogonais hiperbólicas se suas inclinações forem inversas aditivas [en]. - x2 − y2 = 1 com y = x como assíntota. Para linhas y = mx com −1 < m < 1, quando x = 1/m, então y = 1. O ponto (1/m, 1) na linha é refletido através de y = x para (1, 1/m ). Portanto, a linha refletida tem inclinação 1/m e as inclinações das linhas ortogonais hiperbólicas são recíprocas uma da outra.
A relação de ortogonalidade hiperbólica realmente se aplica a classes de retas paralelas no plano, onde qualquer reta particular pode representar a classe. Assim, para uma dada hipérbole e assíntota A, um par de retas (a, b) é ortogonal hiperbólico se existe um par (c, d) tal que , e c é a reflexão de d em A.
Semelhante à perpendularidade de um raio de círculo para a tangente, um raio para uma hipérbole é ortogonal hiperbólico para uma tangente para a hipérbole.[1][2]
Uma forma bilinear é usada para descrever a ortogonalidade na geometria analítica, com dois elementos ortogonais quando sua forma bilinear desaparece. No plano dos números complexos , a forma bilinear é , enquanto no plano dos números hiperbólicos a forma bilinear é
- Os vetores z1 e z2 no plano dos números complexos e w1 e w2 no plano dos números hiperbólicos são ditos respectivamente ortogonais euclidianos ou ortogonais hiperbólicos se seus respectivos produtos internos [formas bilineares] forem zero.[3]
A forma bilinear pode ser calculada como a parte real do produto complexo de um número pelo conjugado do outro. Então
- acarreta perpendicularidade no plano complexo , enquanto
- implica que os ws são ortogonais hiperbólicos .
A noção de ortogonalidade hiperbólica surgiu na geometria analítica, em consideração de diâmetros conjugados de elipses e hipérboles.[4] Se g e g′ representam as inclinações dos diâmetros conjugados, então no caso de uma elipse e no caso de uma hipérbole. Quando a = b, a elipse é um círculo e os diâmetros conjugados [en] são perpendiculares enquanto a hipérbole é retangular e os diâmetros conjugados são hiperbólicos ortogonais.
Na terminologia da geometria projetiva, a operação de tomar a linha ortogonal hiperbólica é uma involução. Suponha que a inclinação de uma linha vertical seja denotada por ∞ de modo que todas as linhas tenham uma inclinação na linha real estendida projetivamente. Então, qualquer que seja a hipérbole (A) ou (B) usada, a operação é um exemplo de involução hiperbólica em que a assíntota é invariante. Linhas hiperbolicamente ortogonais estão em diferentes setores do plano, determinadas pelas assíntotas da hipérbole, portanto a relação de ortogonalidade hiperbólica é uma relação heterogênea [en] em conjuntos de linhas no plano.
Simultaneidade
[editar | editar código-fonte]Desde os fundamentos de Hermann Minkowski para o estudo do espaço-tempo (em 1908), o conceito de pontos em um plano do espaço-tempo sendo hiperbólicos ortogonais a uma linha do tempo (tangente a uma linha de mundo) tem sido usado para definir simultaneidade de eventos em relação à linha do tempo, ou relatividade da simultaneidade. No desenvolvimento de Minkowski, a hipérbole do tipo (B) acima está em uso.[5] Dois vetores (x1, y1, z1, t1) e (x2, y2, z2, t2 são normais (significando ortogonais hiperbólicos) quando
Quando c = 1 e os ys e zs são zero, x1 ≠ 0, t2 ≠ 0, então .
Dada uma hipérbole com assíntota A, sua reflexão em A produz a hipérbole conjugada. Qualquer diâmetro da hipérbole original é refletido em um diâmetro conjugado [en]. As direções indicadas pelos diâmetros conjugados são tomadas para os eixos do espaço e do tempo na relatividade. Como E. T. Whittaker escreveu, em 1910, "[a] hipérbole é inalterada quando qualquer par de diâmetros conjugados são tomados como novos eixos, e uma nova unidade de comprimento é tomada proporcional ao comprimento de qualquer um desses diâmetros."[6] Com base neste princípio da relatividade, ele então escreveu a transformação de Lorentz na forma moderna usando rapidez.
Edwin Bidwell Wilson e Gilbert N. Lewis desenvolveram o conceito dentro da geometria sintética, em 1912. Eles observaram que "em nosso plano, nenhum par de linhas perpendiculares [hiperbólicas-ortogonais] é mais adequado para servir como eixos coordenados do que qualquer outro par"[1]
Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ a b Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the American academy of arts and sciences (em inglês), volume 48, páginas 387 – 507, esp. 415 doi:10.2307/20022840
- ↑ Bjørn Felsager (2004). «Through the looking glass – A glimpse of Euclid's twin geometry, the Minkowski geometry» (PDF) (em inglês). Copenhagen: ICME-10. pp. 6 & 7. Cópia arquivada (PDF) em 16 de julho de 2011.
- ↑ Sobczyk, G. (1995). «Hyperbolic number plane» (PDF) (em inglês). College mathematics journal. pp. 268 – 280
- ↑ Barry Spain (1957). «Analytical conics – Ellipse §33 e Hyperbola §41» (em inglês). HathiTrust. pp. 38 e 49
- ↑ Minkowski, Hermann (1909), «Raum und zeit», Physikalische zeitschrift (em alemão), 10: 75 – 88
- Várias traduções para o inglês no Wikisource: Space and time
- ↑ E. T. Whittaker (1910), A history of the theories of aether and electricity, Dublin: Longmans, Green and Co. [en] (ver página 441)
- G. D. Birkhoff (1923) Relativity and modern physics (em inglês), páginas 62,3, Harvard university press.
- Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski space (em inglês), Birkhäuser Verlag, Basel. Ver página 38, Pseudo-orthogonality.
- Robert Goldblatt [en] (1987) Orthogonality and spacetime geometry, capítulo 1: A trip on Einstein's train, Universitext Springer-Verlag ISBN 0-387-96519-X MR0888161
- J. A. Wheeler; C. Misner; K. S. Thorne (1973). Gravitation (em inglês). [S.l.]: W. H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0