Difeomorfismo

Em matemática, um difeomorfismo é um isomorfismo na categoria das variedades diferenciáveis. Ele é uma invertível que leva uma variedade diferenciável em outra, de modo que tanto a função quanto sua inversa sejam suaves.

A imagem de uma malha retangular em um quadrado sob um difeomorfismo do quadrado sobre si mesmo.

Definição

Duas variedades diferenciáveis dizem-se difeomeomorfas se existir uma aplicação entre essas variedades que seja diferenciável, invertível e a sua inversa seja diferenciável.

Seja $f:M\rightarrow N$ uma aplicação entre variedades diferenciáveis. Então $f$ diz-se um difeomorfismo se as funções $\phi _{i}f\psi _{i}^{-1}$ forem invertíveis e tanto elas como as suas inversas tiverem derivadas de todas as ordens.

Exemplos

1 Seja $M\subset R^{n}$ um subconjunto. Se $f:M\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ é uma aplicação suave, então o gráfico de $f$ é difeomorfo a $M$.

2 Para qualquer $p\in S^{n}$, tem-se que ${\frac {S^{n}}{p}}$ é difeomorfo a $R^{n}$. Assim este difeomorfismo é a canônica aplicação estereográfica.

3 Sejam $\alpha :I\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ uma curva regular e $s:I\rightarrow \alpha (I)=J$ a função comprimento de arco a partir de $t_{0}\in I$. Então $s:I\rightarrow J$ é um difeomorfismo.

4 A aplicação $h=X^{-1}\circ Y$$:$$Y^{-1}(W)\rightarrow X^{-1}(W)$ é um difeomorfismo $C^{\infty }$.

Outras noções de igualdade topológica

• Homeomorfismo
• Equivalência homotópica
• Geometria diferencial