اک
میٹرکس
دا دترمینان ایويں تعریف کيتا جاندا اے:
انگریزی وچ اسنوں determinant کہندے نيں۔ دترمینان دے ہندسہ معنی دے لئی تھلے "مسلئہ اثباندی 4" دیکھو۔
اک
میٹرکس
![{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502a1cdd0e3e67213adf96e9cbc49fcff57ce75b)
کا دترمینان ایہ ہوئے گا
![{\displaystyle \det(A)=a_{0,0}a_{1,1}a_{2,2}+a_{0,1}a_{1,2}a_{2,0}+a_{0,2}a_{1,0}a_{2,1}-a_{0,2}a_{1,1}a_{2,0}-a_{0,1}a_{1,0}a_{2,2}-a_{0,0}a_{1,2}a_{2,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5262e399ee92006e571ba66588b80fccb8ee993)
اسی طرح اک
میٹرکس A دا دترمینان ایويں لکھیا جا سکدا اے
![{\displaystyle \det(A)=\sum \pm a_{0,k_{0}}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n-1,k_{n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b88c95f1a70ed3fabba85dca081803cfd6c8c42)
جتھے
اک تَبَدُّلِ کامل اے، اعداد
کی، اس طرح کہ اک رقم وچ دو
اک قطار توں نہ ہاں تے نہ ہی دو
اک ستون توں ہون۔ غور کرو کہ ایتھے
رقماں جمع ہوئے رہیاں نيں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی اے اس بنا اُتے کہ تَبَدُّلِ کامل دا نمبر جفت عدد اے یا طاق عدد۔
(ایتھے
توں مراد n دا عامَلیّہ اے۔)
یہ طریقہ دترمینان دی تعریف سمجھنے دے لئی اے۔ عملی طور اُتے دترمینان نکالنے دا اک طریقہ اسيں ہن دسدے نيں:
دترمینان نکالنے دا اک طریقہ
[سودھو]
تعریف: اک
میٹرکس A دا (i,j) والا چھوٹا ایسی
میٹرکس
نوں کہندے نيں جو
میٹرکس دی i واں قطار تے j واں ستون نوں ضائع کرنے توں بنائی جائے۔
انگریزی وچ اسنوں minor کہندے نيں۔ مثلاً میٹرکس
کا (1,2) واں چھوٹا ایويں لکھياں گے
تعریف: میڑکس A دے چھوٹے
تے
میٹرکس دے دترمینان نوں جاندے ہوئے اسيں اک
میٹرکس
کا دترمینان ایويں کڈ سکدے نيں (پہلے ستون نوں استعمال کردے ہوئے):
میٹرکس جنہاں دا سائیز
ہوئے
- جے میٹرکس A دی کِسے قطار نوں
توں ضرب دے کے میٹرکس B حاصل کيتی جائے تو:
![{\displaystyle \ \det(B)=\alpha \det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d20c3d40bd0b8f81b2522ba9207bdb01adb6a0a)
- جے میٹرکس A دی کوئی دو قطاراں دی جگہ آپس وچ تبدیل کر کے میٹرکس B حاصل کيتی جائے تو:
![{\displaystyle \ \det(B)=-\det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9857479ef642ecafd00ca90434bde877ae4e415f)
- جے میٹرکس A دی کِسے قطار نوں کِسے عدد توں ضرب دے کے کِسے دوسری قطار وچ جمع کر دتا جائے تے اس نويں میٹرکس نوں B کہیا جائے تو:
![{\displaystyle \ \det(B)=\det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c53cb00c6b908974b1f3fb408607906727f2847)
![{\displaystyle \ \det(I)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d2424a52929ea13c0b5707f7eaca5ceee5e9fe)
- میٹرکس A دے اُلٹ دا دترمیناں
![{\displaystyle \ \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d778102d59aaa84839705192a445778cf91113)
- میٹرکس A دے پلٹ دا دترمیناں
![{\displaystyle \ \det(A^{t})=\det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca14e4c047be0c48aed50ce61131182f86e455b6)
- میٹرکس نوں اک سکیلر (عدد) توں ضرب دینے دے بعد دا دترمینان
![{\displaystyle \ \det(\alpha A)=\alpha ^{n}\det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee8f3a1a916cdf4c9a3da0f2c7da1bead88919a)
میٹرکس جنہاں دا سائیز
ہوئے
- جے کِسے میٹرکس A دی کوئی قطار سب صفر ہوئے تاں:
- جے کِسے میٹرکس دی دو قطاراں برابر ہون، تو:
میٹرکس جنہاں دا سائیز
ہوئے تاں میٹرکس ضرب دا دترمینان:
لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب
، جتھے میٹرکس A دا سائیز
اے تے اس دا ہر جُز میدان
وچ اے۔ ایہ "میٹرکس فنکشن" علاقہE نوں علاقہ f(E) وچ بھیجتی اے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے رقبہ دی ریشو میٹرکسA دے دترمینان دی مطلق (absolute) قیمت دے برابر ہوئے گی:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Area\ of\ } f(E)}{\mathrm {Area\ of\ } E}}=|\det(A)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d4e784dd925bcfea5edb16698022e23d354e63)
(تصویر دے لئی دیکھو)
لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب
، جتھے میٹرکس A دا سائیز
اے تے اس دا ہر جُز میدان
وچ اے۔ ایہ "فنکشن" علاقہE نوں علاقہ f(E) وچ بھیجتی اے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے حجم دی ریشو میٹرکسA دے دترمینان دی مطلق قیمت دے برابر ہوئے گی:
E=mc2
پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نوں کھبے توں سجے LTR پڑھو ریاضی علامات