Consideroma n'ansem E (ëd sòlit nen veuid).
As dis operassion (binaria), o laj ëd composission anterna ansima a E qualsëssìa fonsion
,
andoa a l'é 'l prodot cartesian d'E për chiel-midem.
L'operassion a assòcia donca a minca cobia ordinà n'element ch'as ciama arzultà dl'operassion f aplicà a la cobia ordinà (a,b).
Si a l'é n'operassion ansima a n'ansem E, soens as deuvra la notassion mesan-a, an ëscrivend pitòst che .
An dotand n'ansem E ëd n'operassion as oten n'esempi dë strutura algébrica .
Si a l'é n'operassion an sl'ansem E e , as dis che A a l'é stàbil rëspet a l'operassion si .
- Ant la strutura
l'ansem dij nùmer cobi a l'é stàbil, përchè l'adission ëd doi nùmer cobi a l'é sempe 'n nùmer cobi. Nopà, l'ansem dij nùmer dëscobi a l'é nen ëstàbil.
- Ant la strutura
l'ansem dij nùmer cobi e l'ansem dij nùmer dëscobi a son tuti doi stàbij, përchè la multiplicassion ëd doi nùmer cobi a l'é cobia e la multiplicassion ëd doi nùmer dëscobi a l'é dëscobia.
Consideroma n'operassion definìa an sn'ansem E.
A peul esse anteressant ëstudié vàire propietà che l'operassion a peul sodësfé.
As dis che l'operassion a l'é associativa si
.
Ant ës cas-sì, a-i é nen damanca ëd buté le paréntesi cand as fan d'aplicassion sucessive dl'operassion: i podoma bele mach ëscrive
![{\displaystyle a\circ b\circ c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355133039a1f9bc91bc674d78e4e2b59dce486d5)
dagià che col ch'a sia l'órdin anté che j'operassion a son calcolà, l'arzultà a cambia pa.
L'istess a resta vàlid s'i l'oma pì che un terno d'element.
Na strutura algébrica dotà ëd n'operassion associativa a l'é ciamà semistrop.
J'element a,b as diso përmutàbij si .
As dis che l'operassion a l'é comutativa si
.
N'element a l'é dit neutral (o idèntich, o indiferent) për l'operassion si
.
Si la strutura a l'ha n'element neutral, a-i në j'é mach un: an efet, si u e v a fusso tuti doi d'element neutraj, i l'avrìo
.
Notassion comun-e për andiché l'element neutral an na strutura a son 1 (o , ciamà un) cand l'operassion a l'é denotà ëd fasson multiplicativa , opura 0 (o , ciamà zero) si l'operassion a l'é scrivùa ëd fasson aditiva +.
N'element a l'é sit surbent për l'operassion si
.
Esempi d'element surbent a son 0 për la multiplicassion e për l'antërsession.
A-i é ëd propietà anteressante ch'a rësguardo vàire operassion considerà ansema.
Ch'as consìdero doe operassion e tute doe definìe ansima a E.
As dis che a l'é distributiva rëspet a si, për tuti j' ,
![{\displaystyle a\circ _{1}(b\circ _{2}c)=(a\circ _{1}b)\circ _{2}(a\circ _{1}c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a429e586aad6a1f651497e6ab8bb298c900a538)
e
.
Consideroma n'operassion ansima a n'ansem e n'operassion ansima a n'ansem .
Na fonsion a l'é dita morfism ëd le struture s'a l'é compatìbil con j'operassion, visadì
.
![{\displaystyle \mu :\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\mu (x)=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f9cefa879153372ee8980583239677f8dfbbdc)
- a l'é 'n morfism antra le struture
e , ma nen antra le struture e .
![{\displaystyle x\mapsto e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee414f477283eac0138240ce73ee26f0f8dc63b)
- a l'é un morfism antra le struture
e .
Ch'as consìdera un morfism antra le struture .
- La plancia
a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d' .
- Si x,y a son element përmutàbij d'
, antlora μ(x),μ(y) a son element përmutàbij d' .
- Si u a l'é element neutral d'
, antlora μ(u) a l'é element neutral d' .
|
|