Twierdzenie Hilberta o zerach

Twierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.

Sformułowanie

W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane słaby Nullstellensatz oraz mocny Nullstellensatz.

Słaby Nullstellensatz charakteryzuje ideały maksymalne w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:

Niech

k

będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wtedy każdy ideał maksymalny

I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]

jest postaci

I=(x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots ,x_{n}-a_{n})

dla pewnych

a_{1},\dots ,a_{n}\in k

Dla $S\subseteq k^{n},$ oznaczmy $I(S)=\{f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]:\forall s\in S\quad f(s)=0\}.$ Mocny Nullstellensatz mówi:

Jeżeli

J\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]

jest nietrywialnym ideałem w ciele algebraicznie domkniętym, to

I(V(J))={\sqrt {J}},

gdzie

{\sqrt {J}}

oznacza radykał ideału

J,

zatem funkcje

I,V

są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy ideałami radykalnymi a rozmaitościami algebraicznymi.

Związek pomiędzy algebrą a geometrią

Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych $n$ zmiennych $f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\dots ,f_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ ma rozwiązanie: niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że ideał $I=(f_{1},\dots ,f_{k})$ nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym ${\mathfrak {m}},$ który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci ${\mathfrak {m}}=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})$ dla pewnych $a_{1},\dots ,a_{n}.$ Ponieważ $f_{i}\in I\subseteq {\mathfrak {m}},$ otrzymujemy, że $f_{i}=(x_{1}-a_{1})g_{i1}+(x_{2}-a_{2})g_{i2}+\ldots +(x_{n}-a_{n})g_{in},$ dla pewnych $g_{ij}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ a wtedy oczywiście $f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})=0,$ co oznacza, że punkt $(a_{1},\dots ,a_{n})$ jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów $f_{1},\dots ,f_{k}.$

Oznaczając przez $V(I)=\{(u_{1},\dots ,u_{n})\in k^{n}:\forall f\in I\,f(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})=0\}$ zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału $I,$ otrzymujemy, że $I\neq k[x_{1},\dots ,x_{n}]\Rightarrow V(I)\neq \emptyset ,$ czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli $I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ jest ideałem maksymalnym, to $V(I)\neq \emptyset$ oznacza, że pewien punkt $(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I),$ czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu $\phi :k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to k,\phi (x_{i})=a_{i},$ ale I jest ideałem maksymalnym, zatem $I=\ker \phi .$ Z drugiej strony, $x_{i}-a_{i}\in \ker \phi ,$ oraz ideał $(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})\subseteq \ker \phi$ jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem $I=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n}).$

Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej $k^{n}$ odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu $I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}].$

Zobacz też

twierdzenie Hilberta o bazie

Bibliografia

Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7.