Przestrzeń Baire’a

Przestrzeń Baire’a – termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwu przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Własność przestrzeni topologicznych

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że $X$ jest przestrzenią Baire’a jeśli część wspólna każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów $X$ jest gęstym podzbiorem $X.$

Niektórzy autorzy używają zwrotu $X$ ma własność Baire’a (zamiast „ $X$ jest przestrzenią Baire’a”). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire’a podzbiorów przestrzeni.

Przykłady

Prosta rzeczywista $\mathbb {R}$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych $\mathbb {R} ^{n}$ jest przestrzenią Baire’a.
Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire’a.
Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire’a.
Każda lokalnie zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią Baire’a.
Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire’a.
Przestrzeń $(\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times 0)$ z metryką euklidesową jest przestrzenią Baire’a (bo dla dowolnego jej podzbioru domkniętego brzegowego $F$ zbiór $F\cup (\mathbb {R} \times 0)$ jest domknięty brzegowy w $\mathbb {R} \times [0,\infty ),$ która jest przestrzenią Baire’a), ale nie jest zupełna w sensie Čecha (bo jej domkniętym podzbiorem jest $\mathbb {Q} \times 0,$ która nie jest metryzowalna w sposób zupełny).

Własności

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

$X$ jest przestrzenią Baire’a,
żaden otwarty niepusty podzbiór $X$ nie jest pierwszej kategorii,
wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
dla każdych domkniętych zbiorów $F_{1},F_{2},F_{3},\dots \subseteq X,$ jeśli $\operatorname {int} {\big (}\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}{\big )}\neq \emptyset ,$ to $\operatorname {int} (F_{i})\neq \emptyset$ dla pewnego $i.$

Szczególna przestrzeń topologiczna

Definicja

Nazwa przestrzeń Baire’a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z $\mathbb {N}$ w $\mathbb {N} .$ Zbiór ten może być traktowany jako produkt $\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {N}$ przeliczalnie wielu kopii zbioru $\mathbb {N} .$ Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze $\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {N}$ możemy wprowadzić topologię produktową $\tau _{B}.$ Przestrzeń topologiczna $(\mathbb {N} ^{\mathbb {N} },\tau _{B})$ jest nazywana przestrzenią Baire’a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire’a jest często oznaczana przez $\omega ^{\omega }$ (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez $\omega$ ). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire’a jest oznaczana przez ${\mathcal {N}}.$ To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

Własności i zastosowanie

Przestrzeń Baire’a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych $f,g\in {\mathcal {N}}$ kładziemy $n(f,g)=\min\{n\in \mathbb {N} :f(n)\neq g(n)\}.$ Definiujemy

d(f,g)=0

jeśli

f=g

oraz

d(f,g)=2^{-n(f,g)}

w przeciwnym wypadku.

Łatwo można sprawdzić, że

d

jest metryką zupełną na zbiorze

\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }

generującą topologię

\tau _{B}.

${\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}$ jest homeomorficzne z ${\mathcal {N}}.$ I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni ${\mathcal {N}}$ jest homeomorficzny z ${\mathcal {N}}.$
Przestrzeń ${\mathcal {N}}$ jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni $\mathbb {R}$ ).
Przestrzeń ${\mathcal {N}}$ jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
W dodatku do struktury topologicznej, ${\mathcal {N}}$ ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację $\leqslant ^{*}$ na ${\mathcal {N}}$ przez

f\leqslant ^{*}g

wtedy i tylko wtedy gdy

{\big (}\exists N\in \mathbb {N} {\big )}{\big (}\forall n\geqslant N{\big )}(f(n)\leqslant g(n){\big )}

Wówczas

\leqslant ^{*}

jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej

{\mathcal {N}}.

Np. liczba dominująca

{\mathfrak {d}}

występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów

{\mathcal {N}}

potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

Zobacz też