Monoid

Monoid (z gr. μονοειδές od μόνος monos „jedyny” i εἶδος eîdos „wygląd, postać, kształt”) – półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie monoid to algebra $(S,e,*),$ sygnatury $(0,2),$ gdzie $S$ jest niepustym zbiorem, natomiast

$*\colon S\times S\to S$

jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki:

1. $\forall _{a\in S}\;e*a=a*e=a$       ($e$ jest elementem neutralnym),
2. $\forall _{a,b,c\in S}\;\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)$       (działanie jest łączne).

Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie:

klasa półgrup $\supseteq$ klasa monoidów $\supseteq$ klasa grup.

Każdy monoid $M$ jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry $M.$ Jest to uogólnienie twierdzenia Cayleya.

Przykłady

• Liczby naturalne (koniecznie z zerem) z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.

• Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).

• Przedziały dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego (posetu) tworzą monoid z działaniem przekroju zbiorów. Elementem neutralnym jest tutaj cały rozważany poset.

• Każdej półgrupie $(S,*)$ można przyporządkować jej monoid $M(S)$ w następujący sposób:

Jeśli $S$ ma element neutralny $e,$ to monoidem tym jest $M(S)=(S,e,*),$

Jeśli $S$ nie ma elementu neutralnego, to monoidem tym jest $M(S)=(S\cup \{1\},1,\circ ),$ dla pewnego $1\notin S,$ przy czym:

dla wszystkich $x,y\in S$ zachodzi $x\circ y=x*y,$

dla każdego $x\in S$ spełniona jest równość $x\circ 1=1\circ x=x,$

$1\circ 1=1.$

• Monoid wolny. $\left(X^{*},\varepsilon ,\sim \right)$ – zbiór słów nad alfabetem $X,$ z $\varepsilon$ jako słowem pustym i $\sim$ jako operacją konkatenacji. Jeśli $X=\{0,1\},$ to słowami są na przykład: $110111,\,011000,\,000,\,1111,$ a przykładami konkatenacji są:

$110111\sim 000=110111000,$

$\varepsilon \sim 000=000.$

• Własność uniwersalności monoidu wolnego. Po utożsamieniu elementów zbioru $X$ ze słowami jednoelementowymi można uznać $X$ za podzbiór monoidu wolnego $X^{*}$

Uniwersalność monoidu wolnego

$i:a\mapsto a,$

przy czym podzbiór ten generuje $X^{*}$ i odwzorowanie

$i:X\to X^{*}$

ma następującą własność uniwersalności: dla dowolnego odwzorowania zbioru $X$ w monoid $M$

$\alpha :X\to M$

istnieje jedyny taki homomorfizm

$\alpha ^{*}:X^{*}\to {M}$

dla którego następujący diagram jest przemienny.

• Zbiór wszystkich odwzorowań dowolnego zbioru $M$ w zbiór $M$ wraz z działaniem składania odwzorowań tworzy monoid. Jedynką jest w nim odwzorowanie identycznościowe na $M.$ Półgrupę tę nazywa się często pełną półgrupą przekształceń lub półgrupą symetryczną.

• Jeśli $M$ jest monoidem, $A$ jest półgrupą, a $h:M\to A$ jest homomorfizmem na $A,$ to $A$ jest monoidem.

Bibliografia

• J.S. Milne: Group Theory. [dostęp 2011-08-23].
• Скорняков Л.А.: Элементы алгебры. Москва: Наука, 1986.

Literatura dodatkowa

• A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964.

Linki zewnętrzne

• Monoid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].