Metoda Romberga

Metoda Romberga – jedna z metod całkowania numerycznego, opierająca się na metodzie ekstrapolacji Richardsona, pozwalająca przybliżać wartość całki:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$

nieznanej (jawnie) funkcji $f.$ Funkcja ta jest zazwyczaj znana tylko na dyskretnym zbiorze argumentów (np. jako wynik pomiarów stanu urządzenia (wartość funkcji) dla różnych stanów (argument funkcji)).

Niech dany będzie zbiór $a=x_{0},x_{1},\dots ,x_{2^{i}}=b$ dzielących przedział $(a,b)$ na $2^{i}$ równych części taki, że znane są wartości funkcji $f(x_{i})=y_{i}$

Niech $h_{i}={\frac {b-a}{2^{i}}},$ oznacza długość kroku.

Metodę Romberga można opisać rekurencyjnie:

${\begin{cases}R_{0,i}&:R_{2^{i}}=h_{i}\cdot \sum _{k=0}^{2^{i}-1}\left({\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}\right)\\[1ex]\ R_{m,i}&:{\frac {4^{m}\cdot R_{m-1,i+1}-R_{m-1,i}}{4^{m}-1}}\end{cases}}.$

$R_{0,i}$ jest wzorem trapezów, po obliczeniu pierwszej kolumny tzw. tablicy Romberga, kolejne kolumny obliczane są rekurencyjnie, otrzymując coraz lepsze przybliżenie funkcji:

$R_{0,0}$

$R_{0,1}$ $R_{1,0}$

$R_{0,2}$ $R_{1,1}$ $R_{2,0}$

$R_{0,3}$ $R_{1,2}$ $R_{2,1}$ $R_{3,0}$

$\dots$

Przykład wykorzystania metody Romberga

Wizualizacja elementu numer 1 tabeli algorytmu Romberga, który powstał z dwóch wyliczeń całek metodą trapezową – dla 1 i 2 przedziałów

Załóżmy, że dane są wyniki pomiarów pewnej funkcji w punktach $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$

$i$	0	1	2	3	4
$x_{i}$	0	0,25	0,5	0,75	1
$y_{i}$	1	2	2	0	1

Dla tego przypadku:

• $i=2,$
• $a=0,$
• $b=1,$
• $h_{0}={\frac {1-0}{1}}=1,$
• $h_{1}={\frac {1-0}{2}}=0{,}5,$
• $h_{2}={\frac {1-0}{2^{2}}}=0{,}25.$

Ponieważ $i=2$ poszukiwana będzie tablica Romberga typu:

$R_{0,0},$

$R_{0,1}$ $R_{1,0},$

$R_{0,2}$ $R_{1,1}$ $R_{2,0}.$

Obliczenie pierwszej kolumny tablicy Romberga:

$R_{0,0}=h_{0}\cdot \sum _{k=0}^{0}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}={\frac {1+1}{2}}=1,$

$R_{0,1}=h_{1}\cdot \sum _{k=0}^{1}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}=0{,}5\cdot \left({\frac {1+2}{2}}+{\frac {2+1}{2}}\right)=1{,}5,$

$R_{0,2}=h_{2}\cdot \sum _{k=0}^{3}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}=0,25\cdot \left({\frac {1+2}{2}}+{\frac {2+2}{2}}+{\frac {2+0}{2}}\ +{\frac {0+1}{2}}\right)=1{,}25.$

Oraz kolejnych wyrazów korzystając z poprzednich wyników:

$R_{1,0}={\frac {4^{1}\cdot R_{0,1}-R_{0,0}}{4^{1}-1}}={\frac {5}{3}}=1{,}666667,$

$R_{1,1}={\frac {4^{1}\cdot R_{0,2}-R_{0,1}}{4^{1}-1}}={\frac {7}{6}}=1{,}166667,$

$R_{2,0}={\frac {4^{2}\cdot R_{1,1}-R_{1,0}}{4^{2}-1}}={\frac {17}{15}}=1{,}133333.$

Błąd metody Romberga

Oznaczając $h_{n}={\tfrac {1}{2^{n}}}(b-a),$ błąd, tj. przekłamanie wyniku otrzymanego metodą Romberga względem wyniku prawdziwego w notacji dużego O wynosi (Mysovskikh 2002)

$O\left(h_{n}^{2m+2}\right)$ dla wyrazu R(n,m).