Dzielnik zera

Dzielnik zera – element $a$ pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element $b$ spełniający $ab=0$ ^[1].

W nietrywialnym pierścieniu, czyli takim, w którym $1\neq 0,$ dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości^[2]. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.

Własności

Zbiór dzielników zera pierścienia $A,$ w którym istnieją właściwe dzielniki zera, jest sumą mnogościową ideałów pierwszych.

Dowód Niech

a\in A

będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny

(a)

generowany przez

a

jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny

{\mathcal {M}},

którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny

(a).

Ponieważ

{\mathcal {M}}

jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności).

Dzielnik zera nie może być elementem odwracalnym.

Dowód: Gdyby dla elementu

a

istniały elementy

b\neq 0

i

c

takie, że

ab=0,

ac=ca=1,

to:

b=1\cdot b=(ca)b=c(ab)=c\cdot 0=0

wbrew założeniu.

Przykłady

W pierścieniu $\mathbb {Z} _{6}$ właściwymi dzielnikami zera są $2$ i $3,$ bowiem $2\cdot 3=0;$
W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest $(0,1),$ bowiem $(0,1)\cdot (0,1)=(0,0);$
W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są $(2,2)$ i $(3,-3),$ bowiem $(2,2)\cdot (3,-3)=(0,0);$
W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa ${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}$ ponieważ ${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Zobacz też

Przypisy

↑ dzielnik zera, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .
↑ M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 10.

[epwn-1] dzielnik zera, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .

[2] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 10.

[1]

[2]