Ślimak Teodorosa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Spiral_of_Theodorus.svg/400px-Spiral_of_Theodorus.svg.png)
Ślimak Teodorosa, spirala Teodorosa – konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z danej liczby naturalnej[1]. Zasada konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny. Autorem konstrukcji był Jakob Heinrich Anderhub, matematyk amator, który opisał ją w pracy Joco-Seria, aus den Papieren eines reisenden Kaufmanns z 1941 roku[2].
Opis konstrukcji
[edytuj | edytuj kod]- Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1. Przeciwprostokątna trójkąta ma długość
- Konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny, którego jedną przyprostokątną jest przeciwprostokątna trójkąta z pkt. 1, a druga przyprostokątna ma długość 1. Przeciwprostokątna otrzymanego trójkąta ma długość
- Czynność tę powtarzamy, tworząc kolejne trójkąty prostokątne. Za każdym razem jedna z przyprostokątnych jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta z poprzedniego kroku, a druga ma długość 1. Długości przeciwprostokątnych są pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych.
Konstrukcja w 17 kroku prowadzi do nakładania się trójkątów na siebie[1], jak na ilustracji obok. Jeśli będzie kontynuowana, trzecia grupa trójkątów podwójnie nakładających się na siebie nastąpi w 54. kroku itd.
Najprostsze własności
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Spiral_of_Theodorus_triangle.svg/220px-Spiral_of_Theodorus_triangle.svg.png)
Niech oznacza kąt ostry -tego trójkąta o wierzchołku w środku całej konstrukcji. Wówczas:
Stąd oczywiście:
Suma
wyznacza kąt dla przeciwprostokątnej -tego trójkąta o długości względem przyprostokątnej o długości 1-go trójkąta poprowadzonej ze środka konstrukcji.
W 1958 roku Erich Teuffel udowodnił, że żadne dwie przeciwprostokątne nie pokryją się, tzn.
- dla [3].
Historia
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Spiral_of_Theodorus_extended.svg/400px-Spiral_of_Theodorus_extended.svg.png)
Konstrukcja zwana ślimakiem Teodorosa była niekiedy przypisywana Teodorosowi jako stosowana przez niego metoda wyznaczania odcinka o długości proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z całkowitej wielokrotności danego odcinka jednostkowego. W rzeczywistości pitagorejczycy, którzy opracowali i rozwinęli metodę kwadratury wielokątów, potrafili „pierwiastkować” odcinki o dowolnej rzeczywistej nieujemnej długości. Np. kwadratura dowolnego trójkąta o podstawie 2 i wysokości prowadziła „w jednym kroku” do konstrukcji kwadratu o boku podczas gdy metoda użyta w ślimaku Teodorosa jest niepraktyczna i żmudna – wyznaczenie odcinka długości wymaga -krotnego powtórzenia każdego kroku konstrukcji.
Ślimak Teodorosa jest znany głównie dzięki fragmentowi dialogu Platona Teajtet[4] będącego relacją z badań Teodorosa nad niewymiernością boków kwadratów o danych całkowitych polach[5].
Wzmianka o siedemnastostopowym kwadracie w zdaniu
...i tak po jednym każdy kwadrat brał pod uwagę aż do siedemnastostopowego; na tym się jakoś zatrzymał.
Platon Parmenides. Teajtet, przeł. Władysław Witwicki. Kęty: Wydawnictwo Antyk, 2002, s. 99.
wywoływała wiele domysłów i spekulacji próbujących znaleźć przyczynę zatrzymania się Teodorosa w swoich badaniach właśnie na kwadracie o polu 17[2].
Przez zbieżność tej siedemnastki z siedemnastym krokiem konstrukcji ślimaka Teodorosa, w którym trójkąt nakłada się na pierwszy już narysowany, konstrukcja ta była traktowana jako jedno z możliwych wyjaśnień tego fragmentu z Platona.
Funkcja Teodorosa i stała Teodorosa
[edytuj | edytuj kod]Linia łamana, utworzona przez krótsze przyprostokątne opisanych wyżej trójkątów prostokątnych (przyprostokątne o długości 1), bywa niekiedy nazywana dyskretną spiralą Teodorosa[6]. Philip Davis określił położenie wierzchołków tej spirali na płaszczyźnie zespolonej poprzez równanie rekurencyjne[7]:
gdzie jest jednostką urojoną, oznacza moduł liczby zespolonej
Wzór
łatwo można wykazać indukcyjnie, bo oraz
w miejscu oznaczonym gwiazdką (*) wykorzystano założenie indukcyjne
Korzystając z powyższej własności, Davis przekształcił wzór rekurencyjny w postaci iteracyjnej[7]
Zagadnienie, jak zinterpolować wierzchołki dyskretnej spirali Teodorusa za pomocą krzywej gładkiej, postawił i rozwiązał Davis[8], wykorzystując analogię z wzorem Eulera dla funkcji gamma jako rozszerzenia silni. Jako rozwiązanie zagadnienia przedstawił wzór:
wykazał jego zbieżność dla i zaproponował dla niego nazwę funkcja Teodorosa.
Stałą Teodorosa nazwał Davis nachylenie (gradient) funkcji Teodorosa w punkcie [a][9]:
gdzie jest funkcją dzeta Riemanna.
Stosując zaawansowane metody analityczne i numeryczne, stałą Teodorosa do 50. miejsca po przecinku obliczył Walter Gautschi[10][11].
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Stałą Teodorosa bywa także nazywana wartość
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b Mateusz Majka: Ślimak Teodorosa. zobaczycmatematyke.krk.pl. [dostęp 2017-07-13]. (pol.).
- ↑ a b Davis 1993 ↓, s. 7–8.
- ↑ Erich Teuffel. Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke. „Math.-Phys. Semesterber.”. 6, s. 148–152, 1958.
- ↑ J.J. O’Connor, E.F. Robertson: Theodorus of Cyrene. MacTutor History of Mathematics. [dostęp 2017-07-24]. (ang.).
- ↑ Kwestię tę dokładnie wyjaśniają Jean Itard, Les livres arithmétiques d’Euclide, s. 33–39, Hermann, Paris 1961 oraz Wilbur R. Knorr, The evolution of the Euclidean Elements, Reidel, Dordrecht-Boston 1975, s. 62–108.
- ↑ Eric W. Weisstein , Theodorus Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-07-24] (ang.).
- ↑ a b Davis 1993 ↓, s. 33–34.
- ↑ Davis 1993 ↓, s. 38.
- ↑ Eric W. Weisstein , Theodorus’s Constant, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-07-27] (ang.).
- ↑ Davis 1993 ↓, s. 67–87.
- ↑ Walter Gautschi: The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions. Purdue University, Department of Computer Science. [dostęp 2017-07-27].
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Philip J. Davis: Spirals. From Theodorus to Chaos. Wellesley: A. K. Peters, 1993. ISBN 1-56881-010-5.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Konstrukcja ślimaka Teodorosa. blogiceo.nq.pl. [dostęp 2017-07-13]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-05-04)]. (pol.).
- Eric W. Weisstein , Theodorus Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-07-24] (ang.).