Metody Newtona-Cotesa

Metody Newtona-Cotesa – zbiór metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.

Przyjmujemy, że wartości funkcji $f(x)$ są znane w równo oddalonych punktach (węzłach) $x_{i},$ dla $i=0,\dots ,n.$ Dla węzłów nierówno oddalonych od siebie maja zastosowanie inne wzory np. kwadratura gaussowska.

Jeżeli $a=x_{0}<x_{1}<x_{2},\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b$ są równoodległymi węzłami interpolacji funkcji $f(x)$ (tj. $x_{i}$ są elementami dziedziny $f,$ dla których znana jest wartość $f(x_{i})=y_{i}$), to całkę:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$

można aproksymować całką:

$\int \limits _{a}^{b}L_{n}(x)dx$

gdzie $L_{n}(x)dx$ jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a stopnia co najwyżej $n,$ przybliżającym funkcję $f(x)$ w węzłach interpolacji, tj.:

$L_{n}(x_{0})=y(x_{0}),L_{n}(x_{1})=y(x_{1}),\dots ,L_{n}(x_{n})=y(x_{n})$

Niech $h_{n}={\frac {b-a}{n}}$ oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.

Wprowadzając zmienną $t,$ taką że $x=a+th$ można zapisać:

$\lambda _{i}(x)=\lambda _{i}(a+th)=\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}=g(t).$

Wtedy:

$\int \limits _{a}^{b}L_{n}(x)dx=\int \limits _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \lambda _{i}(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \int \limits _{a}^{b}\lambda _{i}(x)dx$

$x=a+t\cdot h,$

$f(x_{i})=f(a+i\cdot h)$

$x_{i}=a+i\cdot h$

dla $a=x_{0}\quad t=0$

dla $x_{1}\quad t=1$

$\ldots$

dla $b=x_{n}\quad t=n$

$dx=(x)'=1$

$dt=(a+t\cdot h)dt=(a+t\cdot h)'=h=dt$

Zmieniając zmienną oraz granice całkowania, otrzymuje się:

$\int \limits _{a}^{b}L_{i}(x)dx=h\cdot \int \limits _{0}^{n}g(t)dt.$

Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla $n+1$ równo odległych węzłów przyjmuje postać:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}L_{n}(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \int \limits _{a}^{b}\lambda _{i}(x=a+t\cdot h)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}dt.$

Przyjmując za $A_{i}=h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}dt$ (nazywane współczynnikami kwadratury Newtona-Cotesa), otrzymuje się:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot A_{i}.$

• $A_{i}=A_{n-i}$

Dowód:

$A_{i}=h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}dt$

Niech $v=n-t.$

Wtedy:

$dt=-dv$

$A_{i}=-h\cdot \int \limits _{n}^{0}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {n-v-j}{i-j}}dv=$

Odwrócenie granic całkowania:

$=h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {n-j-v}{(n-j)-(n-i)}}dv=$

Niech $(n-j)=j'.$

$=h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j'=0\land j'\neq (n-i)}^{n}{\frac {j'-v}{j'-(n-i)}}dv=$

Po wyciągnięciu (–1) przed licznik i mianownik:

$=h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{v'=0\land v'\neq (n-i)}^{n}{\frac {v-v'}{(n-i)-v'}}dv=A_{n-i}$

Definiuje się dwa typy wzorów Newtona-Cotesa:

• otwarte, które nie wykorzystują wartości funkcji w skrajnych punktach, oraz
• zamknięte, wykorzystujące wszystkie wartości funkcji.

Zamknięty wzór Newtona-Cotesa rzędu $n{:}$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),$

gdzie $x_{i}=hi+x_{0},$ z $h$ (nazywanym rozmiarem kroku) równym $(x_{n}-x_{0})/n$ oraz $w_{i}$ są wagami. Wagi można wyprowadzić z wielomianów bazowych Lagrange’a. To oznacza, że zależą tylko od $x_{i},$ a nie od funkcji $f.$ $L(x)$ wielomianem interpolacji w postaci Lagrange’a dla punktów $(x_{0},f(x_{0})),\dots (x_{n},f(x_{n}))$

${\begin{aligned}&\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\\\approx {}&\int \limits _{a}^{b}L(x)\,dx\\={}&\int \limits _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx\\={}&\sum _{i=0}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx\\={}&\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.\end{aligned}}$

Otwarty wzór Newtona-Cotesa rzędu $n{:}$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i})$

wagi znajdujemy w sposób analogiczny do powyższego.

• Możemy skonstruować wzór Newtona-Cotesa dowolnego rzędu.
• Niektóre wzory niskich rzędów mają swoje tradycyjne nazwy.
• W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamkniętego.
• Notacja $f_{i}$ oznacza $f(x_{i}).$

Rząd	Tradycyjna nazwa	Wzór	Błąd
1	wzór trapezów	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$
2	wzór Simpsona	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )$
3	reguła 3/8	${\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3\,h^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )$
4	wzór Boole’a czasem błędnie nazywany wzorem Bode’a	${\frac {2\,h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8\,h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )$

Wykładnik o kroku $h$ w wyrazie błędu pokazuje szybkość zmniejszania się błędu przybliżenia. Pochodna $f$ w wyrazie błędu pokazuje który wielomian może być scałkowany dokładnie (tzn. z błędem równym 0). Można zauważyć, że stopień pochodnej $f$ w oszacowaniu błędu wzrasta o 2 dla co drugiego wzoru. Liczba $\xi$ leży pomiędzy $a$ i $b.$

W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu otwartego.

Rząd	Tradycyjna nazwa	Wzór	Błąd
0	wzór prostokątów	$2hf_{1}$	${\frac {h^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )$
1		${\frac {3\,h}{2}}(f_{1}+f_{2})$	${\frac {h^{3}}{4}}\,f^{(2)}(\xi )$
2		${\frac {4\,h}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {28\,h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )$
3		${\frac {5\,h}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95\,h^{5}}{144}}\,f^{(4)}(\xi )$

Warto zwrócić uwagę, że aby wzór dawał dobre przybliżenie, krok $h$ musi być mały, co oznacza, że przedział całkowania $[a,b]$ również musi być mały, co zazwyczaj nie jest spełnione. Z tego powodu dzielimy przedział na mniejsze podprzedziały i stosujemy metodę Newtona-Cotesa na każdym z tych podprzedziałów, a następnie dodając wyniki. Jest to metoda złożona.

Zobacz też

• analiza numeryczna
• metoda numeryczna

Bibliografia

• J. i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Warszawa, 1981. (See Section 4.5)
• M. Abramowitz, I.A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Newton-Cotes Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).