Macierz

Macierz dwuwskaźnikowa – prostokątna tablica danych nazwanych elementami lub współczynnikami, pogrupowanych w wiersze i kolumny. Dwie macierze są równe, jeżeli mają tyle samo wierszy i kolumn, a odpowiadające sobie współczynniki są równe. Macierz o $n$ wierszach i $m$ kolumnach nazywa się czasami $n\times m$-macierzą lub macierzą typu $n\times m$.

Słowo "macierz" najczęściej oznacza macierz dwuwskaźnikową, rozważa się również macierze wielowskaźnikowe.

Zwykle rozważa się macierze o elementach z ustalonego zbioru. Jeżeli na zbiorze tym określona jest pewna struktura algebraiczna, pozwala to wprowadzić działania algebraiczne na macierzach. Najczęściej przyjmuje się, że współczynniki macierzy są elementami pewnego ciała; rzadziej rozważa się macierze nad pierścieniem przemiennym.

Formalnie biorąc, macierz $A$ elementów zbioru $X$ o $n$ wierszach i $m$ kolumnach jest funkcją

$A\colon \{1,2,\dots ,n\}\times \{1,2,\dots ,m\}\to X$.

Historia

Pierwszymi macierzami były prawdopodobnie kwadraty magiczne 3×3, które w literaturze chińskiej pojawiają się już ok. 650 p.n.e..

Ważny chiński tekst matematyczny, powstały między III wiekiem p.n.e. a II wiekiem n.e. Dziewięć Rozdziałów o Sztuce Matematyki (Jiu Zhang Suan Shu) jest pierwszym przypadkiem użycia macierzy do rozwiązania układu równań liniowych W rozdziale siódmym, Zbyt dużo i nie wystarczająco po raz pierwszy wprowadzono koncepcję wyznacznika, prawie 2000 lat przed jego publikacją przez japońskiego matematyka Seki Kowa w 1683 i niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza w 1693.

Kwadraty magiczne były znane także arabskim matematykom, prawdopodobnie już w VII wieku, kiedy Arabowie podbili północnozachodnie części subkontynentu indyjskiego i przejęli zdobycze matematyki i astronomii hinduskiej. Być może idea ta dotarła do nich przez Chiny. Pierwsze kwadraty magiczne rzędu 5 i 6 pojawiły się w Encyklopedii Bractwa Czystości (arab. رسائل أخوان الصفا و خلان الوفا) z Bagdadu około 983 roku. Prostsze kwadraty magiczne były znane wielu wcześniejszym matematykom arabskim.

Po opracowaniu teorii wyznaczników (dzisiaj mówimy o wyznacznikach macierzy) przez Seki Kowa i Leibniza pod koniec XVII wieku, Cramer rozwinął ją dalej w XVIII wieku, znajdując, w roku 1750, wzory na rozwiązania układów równań liniowych, nazwane później wzorami Cramera. Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan opracowali, na początku XIX wieku, metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną dziś metodą eliminacji Gaussa-Jordana

W XIX wieku znano wyznaczniki i oczywiście kwadraty magiczne, dopiero jednak James Joseph Sylvester i Arthur Cayley wprowadzili macierze dwuwskaźnikowe jako sposób przejrzystego zapisu dużej liczby powiązanych strukturalnie danych – współrzędnych wektorów w ustalonej bazie przestrzeni liniowej czy współczynników układu równań.

Termin "macierz" pojawił się po raz pierwszy w 1848, użyty przez Jamesa J. Sylvestera. Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius i John von Neumann przyczynili się do rozwoju teorii macierzy.

Oznaczenia

kolumny macierzy

wiersze macierzy

Elementy macierzy identyfikuje się przez podanie uporządkowanej pary liczb nazywanej wskaźnikami lub indeksami, kolejno: numer wiersza i numer kolumny, na przecięciu których znajduje się dany element.

Macierz oznacza się zwykle wielką literą, a jej elementy małą literą ze wskaźnikami w indeksie dolnym, np. macierz $A=(a_{ij})$ ma element $a_{11}$ (czyt. a-jeden-jeden) w lewym górnym rogu, a element $a_{r,s}$ w $r$-tym wierszu i $s$-tej kolumnie.

W informatyce odpowiednikiem macierzy jest tablica dwuwymiarowa. Element tablicy $A$ w wierszu $i$ i kolumnie $j$ oznaczany jest w zależności od języka programowania np. A(i, j); A[i, j]; A[i][j]; A{i, j}.

Spotyka się różne sposoby oznaczania macierzy – przeważnie stosowane są nawiasy okrągłe lub kwadratowe, gdzieniegdzie spotyka się jeszcze zapis w podwójnych pionowych kreskach (co czasem przypomina wartość bezwzględną wyznacznika), np.:

${\begin{pmatrix}0&0&1&-1\\1&0&0&-1\\0&1&0&-1\end{pmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1&-1\\1&0&0&-1\\0&1&0&-1\end{bmatrix}},\qquad {\begin{Vmatrix}0&0&1&-1\\1&0&0&-1\\0&1&0&-1\end{Vmatrix}}.$

Podstawowe pojęcia

Sposób strukturyzacji danych w postaci macierzy pozwala na łatwą organizację i zmianę danych poprzez przestawianie, łączenie, wydzielanie itp. Niech $A=(a_{ij})$ będzie macierzą o $n$ wierszach i $m$ kolumnach:

• Macierzą transponowaną (przestawioną) do $A$, oznaczaną $A^{T}$, nazywamy macierz o $m$ wierszach i $n$ kolumnach, której wiersze są kolumnami danej macierzy $A$, a kolumny są wierszami macierzy $A$. Geometrycznie odpowiada to obrotowi macierzy wokół osi przechodzącej przez lewy górny i prawy dolny róg. Formalnie wzór na macierz przestawioną $B$ do macierzy $A$ przedstawia się następująco:

  $(b_{ij})=(a_{ij})^{T}\iff b_{ij}=a_{ji}$ dla każdych $i,j$.

• Macierz $A$ nazywamy kwadratową, gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli $m=n$. Zamiast „macierz kwadratowa o $n$ wierszach i $n$ kolumnach” mówi się „macierz kwadratowa stopnia $n$”. Macierz, która nie jest kwadratową, nazywa się prostokątną. Główną przekątną macierzy kwadratowej $A$ nazywamy wektor $(a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn})$.
• Podmacierz macierzy $A$ to dowolna macierz powstająca z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.
• Macierz klatkowa to macierz z wprowadzonym dodatkowym podziałem wierszy i kolumn na grupy kolejnych wierszy i kolumn. Obrazowo macierz klatkowa to macierz, w której poprowadzono poziome i pionowe linie wzdłuż jej wierszy lub kolumn dzielące ją tym samym na podmacierze nazywane wówczas klatkami. Dzięki temu podziałowi możliwe jest również rozważanie macierzy, której elementami są podmacierze (klatki).
• Odwrotnie, mając dany zestaw „pasujących” macierzy można zestawiać z nich macierze klatkowe. Jeśli dane są na przykład macierze:

  $A$ o $n$ wierszach i $m$ kolumnach, $B$ o $n$ wierszach i $k$ kolumnach,

  $C$ o $l$ wierszach i $m$ kolumnach i $D$ o $l$ wierszach i $k$ kolumnach,

to można z nich zestawić macierz klatkową

${\begin{pmatrix}{\frac {A\,|\,B}{C\,|\,D}}\end{pmatrix}}$.

Wzór na elementy takiej macierzy jest mniej komunikatywny niż obrazek.

Zastosowania

Matematyka

• Relację $\varrho$ między elementami zbiorów $P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}$ oraz $Q=\{q_{1},q_{2},\dots ,q_{m}\}$ wygodnie jest określać za pomocą macierzy incydencji $A=(a_{i,j})$, gdzie $a_{ij}$ jest wartością logiczną zdania $p_{i}\ \varrho \ q_{j}$.
• Jeżeli wyżej określony zbiór $P$ jest zbiorem wierzchołków grafu niezorientowanego, to kwadratowa macierz incydencji $A$, gdzie $a_{ij}$ jest liczbą krawędzi łączących wierzchołki $p_{i}$ i $p_{j}$ jest symetryczna, czyli $A=A^{T}$.
• Jeżeli $P$ opisuje graf zorientowany, to $a_{ij}$ jest liczbą krawędzi z wierzchołka $p_{i}$ do wierzchołka $p_{j}$.
• W algebrze liniowej macierze służą do reprezentacji przekształceń liniowych i funkcjonałów dwuliniowych oraz rozwiązywania układów równań liniowych.
• Macierz Jacobiego (jakobian) stosowana jest przy całkowaniu przez podstawienie.
• Macierze Wrońskiego i ich wyznaczniki (wrońskiany) są używane przy rozwiązywaniu niektórych typów równań różniczkowych oraz sprawdzaniu liniowej niezależności funkcji.
• W geometrii stosowane są macierze przekształcenia, opisujące przekształcenia afiniczne.

Fizyka i elektronika

• We współczesnej elektronice praktycznie każdy nowy układ elektroniczny jest najpierw przeliczany na komputerze (programy w rodzaju PSpice). Stosowana wówczas teoria obwodów wymaga rozwiązywania dużych układów równań, w czym pomagają macierze.
• W elektronice stosowane są również macierze niewynikające z twierdzeń czysto matematycznych, np. macierze immitancji i transmitancji.
• Szczególnym przypadkiem macierzy są wektory, które stały się jednym z podstawowych pojęć fizyki.
• Macierze są często używane w mechanice kwantowej, której sformułowanie w języku macierzy zwane jest mechaniką macierzową.
• Także ogólna teoria względności wyrażona jest w języku tensorów (np. tensor napięć-energii) do zapisu których stosowane są m.in. macierze.
• Zaawansowane obliczenia z dziedziny fizyki i nauk pokrewnych (mechanika płynów, meteorologia, odkształcenia materiałów, elektromagnetyzm) często sprowadzają się do metody elementów skończonych, która posługuje się macierzami.
• Zjawisko piezoelektryczne wygodnie opisać za pomocą macierzy.

Statystyka

• Kwadraty łacińskie, kwadraty greckie i kwadraty grecko-łacińskie są przydatne przy planowaniu eksperymentów w każdej dziedzinie nauki – dzięki nim za pomocą minimalnej liczby eksperymentów możemy uzyskać dobrą statystycznie informację o wpływie każdego z kilku różnych czynników na obserwowaną zmienną.
• Macierz danych jest standardowym zapisem wyników eksperymentu w statystyce. Statystyka stosuje też wiele innych macierzy, m.in. macierz stochastyczną, macierz korelacji, macierz wariancji-kowariancji, kontyngencji.
• Macierze w statystyce są też oczywiście wykorzystywane w metodach bazujących na przestrzeniach liniowych, jak m.in. wielowymiarowa regresja liniowa, analiza czynnikowa, analiza składowych głównych, analiza odpowiedniości.

Optymalizacja

• Macierze używane są w zagadnieniach optymalizacyjnych, szczególnie w programowaniu liniowym.
• Optymalizacja sprowadza się często do szukania ekstremów funkcji wielu zmiennych. Pomagają w tym macierze Hessego (hesjany).

Informatyka i telekomunikacja

• W językach programowania jednym z podstawowych typów danych jest tablica dwuwymiarowa, będąca informatycznym odpowiednikiem macierzy.
• W teorii kodowania w telekomunikacji stosowane są macierze.
• Macierze są wykorzystywane we współczesnej kryptografii (zobacz np. AES).
• W cyfrowym przetwarzaniu obrazów filtry stosowane do obrazów są często wyrażone za pomocą średniej ważonej z sąsiednich pikseli obrazu. Wagi tworzą wówczas macierz. Filtry takie mogą służyć m.in. do wygładzania albo wykrywania krawędzi (np. algorytm prewitt).
• Tzw. macierze widoku stosowane są w grafice trójwymiarowej do łatwego formalizowania położenia i kierunku patrzenia kamery.
• Tzw. macierz fundamentalna 3×3 rzędu 2 jest w grafice 3D używana do generowania obrazów stereoskopowych.
• W teorii sygnałów oraz przy kompresji obrazu stosowane są tzw. falki. Można je wyliczać z wykorzystaniem macierzy.

Pozostałe dziedziny

• Macierz Z jest stosowanym w chemii sposobem zapisu budowy cząsteczki.
• W stechiometrii stosowane są macierze stechiometryczne
• Olga Taussky-Todd używała teorii macierzy do badania zjawisk aerodynamicznych, zwanych flatterem i aeroelastycznością, podczas II wojny światowej.
• Macierzowe równania stanu są jednym z postawowych pojęć automatyki – pozwalają one na matematyczną reprezentację układu dynamicznego, w tym układu automatyki.
• W robotyce stosowane są elementarne macierze transformacji pozwalające opisywać matematycznie ruchy ramion robota. Macierze (Grama, Kalmana oraz tzw. nawiasy Liego) są też stosowane do sprawdzania czy robot mobilny jest układem sterowalnym. W modelu manipulatora robotycznego używana jest też macierz pseudoinercji, macierz bezwładności, macierz Coriolisa i macierz grawitacji.
• W spektrofotometrii używana jest macierz widm (wartości absorbancji; porównaj LBOZ).
• W bioinformatyce macierze stosowane są w algorytmie uliniowiania do porównywania sekwencji pierwszorzędowej DNA, RNA bądź białek w celu identyfikacji regionów podobnych.
• W teorii gier do opisu prostych gier zwykle stosuje się tzw macierz wypłat. Wraz z teorią gier mają one zastosowanie także np. w etologii czy taktyce wojskowej.

Kultura popularna

• Kwadraty magiczne, które formalnie były najstarszymi znanymi macierzami, choć oczywiście były (i są) wykorzystywane jako talizmany, a nie obiekty matematyczne.
• Formę macierzy mają także diagramy sudoku.
• Autor Alicji w Krainie Czarów, matematyk Charles Dodgson (Lewis Carroll) jako pierwszy stosował macierze w teorii głosowań.

Działania algebraiczne

Niech zbiór elementów macierzy $R$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką (w szczególności – ciałem, takim jak liczby rzeczywiste), mówimy wtedy o macierzy nad $R$. Można wtedy w zbiorze $R_{n}^{m}=M_{n\times m}(R)$ wszystkich macierzy o $n$ wierszach, $m$ kolumnach i elementach z pierścienia $R$ określić pewne działania. Dalej będziemy przyjmować, o ile nie powiedziano inaczej, że macierze są określone są właśnie nad tym pierścieniem.

Macierze $A=(a_{ij})$ oraz $B=(b_{ij})$ nazywa się równymi, jeśli mają tę samą liczbę wierszy oraz kolumn oraz odpowiadające sobie elementy są równe, tzn. $a_{ij}=b_{ij}$ dla wszystkich $i,j$.

Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie niezerowe elementy znajdują się wyłącznie na głównej przekątnej. Innymi słowy: macierz $A=(a_{ij})$ jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{ij}=0$ dla $i\neq j$. Często dla oszczędności miejsca macierz diagonalną stopnia $n$ zapisuje się jako $\operatorname {diag} (a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn})$.

Macierz jednostkowa $I$ jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej, która na przekątnej ma same jedynki. Macierz zerowa $\Theta$ to macierz złożona z samych zer. Niekiedy do symbolu tych macierzy w indeksie dolnym dodaje się ich stopień.

Dodawanie i mnożenie przez skalar

Mnożenie macierzy przez stałą (skalar, element pierścienia) oraz dodawanie macierzy definiuje się następująco:

• $a\cdot (a_{ij})=(a\cdot a_{ij})$
• $(a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij})$.

Słownie: mnożenie macierzy przez skalar polega na wymnożeniu przez niego wszystkich jej elementów, a dodawanie macierzy na dodaniu odpowiadających sobie elementów. Analogicznie definiuje się różnicę macierzy.

Zbiór $R_{n}^{m}$ z dodawaniem jest grupą przemienną: łączność i przemienność działań w pierścieniu przenosi się na działania na macierzach, elementem neutralnym jest macierz zerowa $\Theta$ o wszystkich elementach równych $0\in R$, elementem przeciwnym do macierzy $A$ jest macierz $-1\cdot A{\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{\ }}{=}}-A$, którą nazywa się macierzą przeciwną do $A$. Oczywiście jest $A-B=A+(-B)$ o ile macierze te są zgodnego typu.

Mnożenie przez skalar spełnia warunki:

• $(a+b)\cdot A=a\cdot A+b\cdot A$,
• $a\cdot (A+B)=a\cdot A+a\cdot B$,
• $(ab)\cdot A=a\cdot (b\cdot A)$,
• $1\cdot A=A$,

zatem zbiór $R_{n}^{m}$ z dodawaniem i mnożeniem przez skalary jest modułem nad pierścieniem $R$. Moduł ten jest wolny rangi $mn$

Jeśli pierścień $R$ jest ciałem, to zbiór $R_{n}^{m}$ z powyższymi działaniami staje się przestrzenią liniową nad ciałem $R$ o wymiarze $nm$.

Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnych są macierze postaci $a\cdot I_{n}$ nazywane macierzami skalarnymi. W szczególności:

$(a\cdot I_{n})\cdot A=a\cdot A=A\cdot (a\cdot I_{m}).$

Przykład mnożenia przez skalar

$3\cdot {\begin{bmatrix}1&2&0\\-1&-4&9\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 1&3\cdot 2&3\cdot 0\\3\cdot (-1)&3\cdot (-4)&3\cdot 9\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&6&0\\-3&-12&27\end{bmatrix}}$

Przykład dodawania macierzy

${\begin{bmatrix}1,3&2&3\\1&2&9\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1,2&2&11\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2,5&4&14\\4&-2&16\end{bmatrix}}$

Mnożenie

Elementy mnożonych macierzy, składające się na wynik w danej komórce

Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, jednak niżej określone, nazywane mnożeniem Cauchy'ego, ma wiele zastosowań w algebrze liniowej, w której macierze służą do zapisu przekształceń liniowych – odpowiada ono ich składaniu. Macierze można również mnożyć używając iloczynu Kroneckera.

Iloczyn $\cdot \ \colon R_{n}^{m}\times R_{m}^{k}\to R_{n}^{k}$ macierzy $A=(a_{ij})\in R_{n}^{m}$ (nazywanej w tym kontekście lewym czynnikiem) i macierzy $B=(b_{ij})\in R_{m}^{k}$ (prawy czynnik) jest macierzą $C=(c_{ij})\in R_{n}^{k}$ taką, że

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots +a_{im}b_{mj}$.

W zbiorze $R_{n}^{n}$ macierzy kwadratowych ich mnożenie jest działaniem wewnętrznym.

Przykłady mnożenia macierzy

${\begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}g&i&k\\h&j&l\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a\cdot g+d\cdot h)&(a\cdot i+d\cdot j)&(a\cdot k+d\cdot l)\\(b\cdot g+e\cdot h)&(b\cdot i+e\cdot j)&(b\cdot k+e\cdot l)\\(c\cdot g+f\cdot h)&(c\cdot i+f\cdot j)&(c\cdot k+f\cdot l)\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\(-1\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&(-1\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 1+1\cdot (-1))&(3\cdot 0+1\cdot 3)&(3\cdot 2+1\cdot 1)\\(2\cdot 1+1\cdot (-1))&(2\cdot 0+1\cdot 3)&(2\cdot 2+1\cdot 1)\\(1\cdot 1+0\cdot (-1))&(1\cdot 0+0\cdot 3)&(1\cdot 2+0\cdot 1)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&7\\1&3&5\\1&0&2\\\end{bmatrix}}$

Własności

Mnożenie ma ciąg częściowych elementów neutralnych – macierzy jednostkowych, czyli macierzy kwadratowych stopnia $k$ oznaczanych symbolem $I_{k}$, których wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe jedności, a pozostałe zeru. Dla macierzy $A\in R_{n}^{m}$ jest

$I_{n}\cdot A=A,\qquad A\cdot I_{m}=A$.

Mnożenie macierzy nie jest przemienne, np.

${\begin{pmatrix}1&0&2&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot a+0\cdot b+2\cdot c+3\cdot d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+2c+3d\end{pmatrix}}\in R_{1}^{1}$,

ale z drugiej strony

${\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\cdot 1&a\cdot 0&a\cdot 2&a\cdot 3\\b\cdot 1&b\cdot 0&b\cdot 2&b\cdot 3\\c\cdot 1&c\cdot 0&c\cdot 2&c\cdot 3\\d\cdot 1&d\cdot 0&d\cdot 2&d\cdot 3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0&2a&3a\\b&0&2b&3b\\c&0&2c&3c\\d&0&2d&3d\end{pmatrix}}\in R_{4}^{4}$.

również w przypadku macierzy kwadratowych:

${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\qquad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$.

Mnożenie macierzy jest jednak łączne oraz rozdzielne lewo- i prawostronnie względem dodawania:

• $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$
• $(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ i $C\cdot (A+B)=C\cdot A+C\cdot B$

co oznacza, że zbiór macierzy kwadratowych stopnia $n$ tworzy pierścień nieprzemienny.

Ponadto:

• $a\cdot (A\cdot B)=(a\cdot A)\cdot B=A\cdot (a\cdot B)$
• $(A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}$.

Powyższe równości należy rozumieć w następujący sposób: jeśli istnieje jedna ze stron, wówczas istnieje druga i są one sobie równe.

Jeśli $l_{1},l_{2},\dots ,l_{m}\in R_{n}^{1}$ są kolumnami macierzy $A$, to $j$-tą kolumną macierzy $A\cdot B$ jest $b_{1j}\cdot l_{1}+b_{2j}\cdot l_{2}+b_{mj}\cdot l_{m}$.

Jeśli $w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}\in R_{1}^{k}$ są wierszami macierzy $B$, to $i$ -tym wierszem macierzy $A\cdot B$ jest $a_{i1}\cdot w_{1}+a_{i2}\cdot w_{2}+\dots +a_{im}\cdot w_{m}$.

Potęgowanie macierzy

Potęgę macierzy kwadratowej o wykładniku wyrażającym się liczbą naturalną n określa się w zwyczajowo jako n-krotny iloczyn macierzy przez siebie. Z własności mnożenia macierzy wynika, że to działanie jest określone wyłącznie dla macierzy kwadratowych. Jeżeli macierz jest odwracalna, rozszerzenie definicji na liczby całkowite przebiega wg wzoru $A^{-p}=(A^{-1})^{p}$. Dodatkowo przyjmuje się $A^{0}=I$.

Macierze diagonalne i skalarne

Mnożenie macierzy diagonalnych jest szczególnie proste:

$\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n})$.

W szczególności macierze diagonalne są przemienne z macierzami diagonalnymi (ale niekoniecznie z innymi macierzami):

${\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2\\-3&0\end{pmatrix}},\qquad {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3\\-2&0\end{pmatrix}}.$

Macierz kwadratowa stopnia n jest przemienna z wszystkimi macierzami kwadratowymi stopnia n wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą skalarną.

Pierścienie nieprzemienne

Mnożenie macierzy nad pierścieniem nieprzemiennym określa się jak wyżej, pojawia się jednak wiele subtelności, a działanie nie ma tak dobrych własności jak w poprzednim przypadku. Mimo to mnożenie takich macierzy nadal jest użyteczne, czego przykładem mogą być enumerator i denumerator marszrut w grafie.

Niech $P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}$ będzie zbiorem wierzchołków grafu zorientowanego, a dla danych $i,j$ przez $Q_{ij}=\{q_{ij}(1),q_{ij}(2),\dots ,q_{ij}(n_{ij})\}$ oznaczymy zbiór krawędzi z $p_{i}$ do $p_{j}$.

Jeśli w zbiorze skończonych ciągów krawędzi określić działanie konkatenacji (czyli dopisywania) jako mnożenie i rozszerzyć je na formalne sumy takich ciągów tak, by było ono rozdzielne względem dodawania (rolę zera pełni ciąg pusty), to dla macierzy $A=(a_{ij})$, gdzie $a_{ij}=q_{ij}(1)+q_{ij}(2)+\ldots +q_{ij}(n_{ij})$ macierz $A^{n}$ ma w wierszu $i$ i kolumnie $j$ sumę wszystkich marszrut długości $n$ prowadzących z $p_{i}$ do $p_{j}$.

Jeśli w macierzy $A^{n}$ każdy symbol $q_{ij}(s)$ zastąpić jedynką, to po wykonaniu działania powstanie macierz mająca w wierszu $i$ i kolumnie $j$ liczbę marszrut długości $n$ z $p_{i}$ do $p_{j}$.

Moduł i norma macierzy

Niech macierze $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ tego samego typu będą zbudowane nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Nierówność $A\leq B$ oznacza, że $a_{ij}\leq b_{ij}$. Wynika stąd, że nie wszystkie macierze można porównywać w ten sposób.

Wartością bezwzględną (modułem) macierzy $A$ nazywa się macierz $|A|=(|a_{ij}|)$, gdzie $|a_{ij}|$ są wartościami bezwzględnymi (modułami) elementów. Jeśli dla wspomnianych macierzy operacje dodawania i mnożenia mają sens, to

• $|A+B|\leq |A|+|B|$
• $|cA|\leq |c||B|$, gdzie $c$ jest skalarem.
• $|AB|\leq |A||B|$, skąd wynika też $|A^{n}|\leq |A|^{n},\;n\in N$

Norma macierzy $A$ to liczba rzeczywista $\|A\|$ taka, dla której spełnione są aksjomaty normy i $B$ jest macierzą dla której poniższe działania mają sens:

• $\|A\|\geq 0,\;|A|=0\iff A=0$
• $\|cA\|=|c|\|A\|$, gdzie $c$ jest skalarem, w szczególności $\|-A\|=\|A\|$
• $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$
• $\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$, skąd wynika też $\|A^{n}\|\leq \|A\|^{n},\;n\in N$

Bezpośrednim wnioskiem z powyższych własności jest

• $\|A-B\|\geq {\bigg |}\|B\|-\|A\|{\bigg |}$

Jeśli spełnione są dodatkowe warunki

• $|a_{ij}|\leq \|A\|$, przy czym dla $A=(a_{11})$ jest $\|A\|=|a_{11}|$
• $|A|\leq |B|\implies \|A\|\leq \|B\|$, w szczególności $\|A\|=\||A|\|$

to normę macierzy nazywamy kanoniczną.

Odwracalność i nieosobliwość

Macierz $A$ jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz $B$, dla której

$AB=BA=I$,

gdzie $I$ jest macierzą jednostkową.

Jeżeli taka macierz $B$ nie istnieje, to macierz $A$ nazywamy nieodwracalną, w przeciwnym wypadku macierz $B$ nazywa się macierzą odwrotną do macierzy $A$ i oznacza się ją wówczas przez $A^{-1}$.

Powyższe definicje jednoznacznie wyznaczają element odwracalny oraz odwrotny w pierścieniu (nieprzemiennym z jedynką) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia z działaniami dodawania i mnożenia macierzy określonymi wyżej.

Jeżeli pierścień $R$, nad którym zbudowana jest macierz kwadratowa, jest przemienny, to można zdefiniować jej wyznacznik. Macierzą nieosobliwą (niezdegenerowaną) nazywamy każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli $R$ jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą (zdegenerowaną) nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (w ciele: zerowym).

Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa $A$ stopnia $n$ nad pierścieniem przemiennym $R$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Przekształcenia i macierze elementarne

Przekształceniami elementarnymi na wierszach są:

• zamiana miejscami dwóch różnych wierszy macierzy,
• pomnożenie jednego z wierszy macierzy przez liczbę różną od zera,
• dodanie do jednego wiersza macierzy innego wiersza tej samej macierzy.

Macierz elementarna to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednego przekształcenia elementarnego na jej wierszach. Są one istotne przede wszystkim z tego powodu, iż nie zmieniają rzędu macierzy. Ponieważ nie zmieniają one rozwiązywań układów równań liniowych, wykorzystywane są one do ich rozwiązywania w metodzie Gaussa. Za ich pomocą jest też definiowana elementarna równoważność.

Algebra liniowa

W tej sekcji rozważać będziemy macierze nad pewnym ustalonym $K$.

Poniższe zastosowania macierzy są ściśle ze sobą powiązane, choć niektóre z nich związane są z istnieniem (skończonych) baz w przestrzeniach liniowych skończonego wymiaru. Należy zauważyć, że każdemu wektorowi przyporządkować wzajemnie jednoznacznie ciąg jego współrzędnych względem bazy uporządkowanej (tzn. bazy z ustaloną kolejnością wektorów).

Macierz przekształcenia liniowego

Jeśli $\varphi \colon V\to W$ jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, to dla każdej bazy uporządkowanej ${\mathcal {B}}={\begin{pmatrix}v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\ \end{pmatrix}}$ dziedziny $V$ i każdej bazy uporządkowanej ${\mathcal {C}}={\begin{pmatrix}w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}\end{pmatrix}}$ przeciwdziedziny $W$ przekształceniu $\varphi$ odpowiada (istnieje między nimi izomorfizm) macierz $A=(a_{ij})$ o $m$ wierszach i $n$ kolumnach taka, że $a_{ij}$ jest współrzędną wektora $\varphi (v_{j})$ przy wektorze $w_{i}$, tzn.

$\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{m}~a_{ij}w_{i}$.

Innymi słowy kolejne kolumny macierzy $A$ są współrzędnymi obrazów za pomocą przekształcenia $\varphi$ w bazie ${\mathcal {C}}$ wektorów względem bazy ${\mathcal {B}}$.

Współrzędne $y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}$ obrazu $\varphi (v)=\sum _{i=1}^{m}y_{i}w_{i}$ wektora $v=\sum _{j=1}^{n}x_{j}v_{j}$ wyrażają się przez współrzędne $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ tego wektora wzorem

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$,

własność ta charakteryzuje macierz przekształcenia liniowego. Z tego też powodu istnieje wzajemna jednoznaczność między wektorami $K_{n}^{1}$ przestrzeni o ustalonej bazie, a macierzami $1\times n$, które zwyczajowo nazywa się wektorami kolumnowymi (zwykle po prostu wektorami), analogicznie macierze $n\times 1$ nazywa się wektorami wierszowymi.

W szczególności mnożenie macierzy $A$ o $m$ wierszach i $n$ kolumnach przez inną

$A\cdot \;\colon K_{n}^{1}\rightarrow K_{m}^{1},\quad \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x}$

opisuje przekształcenie liniowe $\varphi \circ \cdot$ przestrzeni $K^{n}\simeq K_{n}^{1}$ w przestrzeń $K^{m}\simeq K_{m}^{1}$. Jego macierzą względem (naturalnie uporządkowanych) baz kanonicznych jest sama macierz $A$. Przekształceniu identycznościowemu odpowiada macierz jednostkowa.

Niech $\psi \colon W\to U$ będzie innym przekształceniem liniowym, zaś ${\mathcal {D}}$ bazą uporządkowaną przestrzeni $U$, a $B$ jest macierzą przekształcenia $\psi$ względem baz uporządkowanych ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$. Macierzą złożenia $\psi \circ \varphi$ (przekształcenia złożonego, superpozycji) względem baz uporządkowanych ${\mathcal {B}},{\mathcal {D}}$ jest macierz $BA$. Czyli jak już wspomniano wcześniej mnożenie macierzy jest zgodne ze składaniem przekształceń liniowych.

Układy równań liniowych

Zapis

Niech dany będzie układ $n$ równań liniowych

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1m}x_{m}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2m}x_{m}=b_{2}\\\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nm}x_{m}=b_{n}\end{cases}}$

$m$ zmiennych $x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}$ o współczynnikach $a_{ij},b_{j}\in K$. Wówczas

• macierzą układu równań nazywamy macierz współczynników $A=(a_{ij})\in K_{n}^{m}$,
• kolumną wyrazów wolnych (prawych stron) nazywamy macierz

  $\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\in K_{n}^{1}$,

• macierzą uzupełnioną (rozszerzoną) nazywamy macierz klatkową ${\begin{pmatrix}A&|&\mathbf {b} \end{pmatrix}}$.

Jeśli dodatkowo kolumny macierzy $A$ oraz kolumnę zmiennych oznaczyć

$\mathbf {a} _{j}={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{nj}\end{pmatrix}}\in K_{n}^{1},\qquad \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}\in K_{n}^{1}$,

to układ równań można zapisać wektorowo:

$x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+\cdots +x_{m}\mathbf {a} _{m}=\mathbf {b}$.

Wówczas powyższy układ można zapisać także macierzowo:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$.

Macierz uzupełniona jednoznacznie określa układ równań, więc przy jego rozwiązywaniu można operować na krótszych w zapisie macierzach uzupełnionych.

Interpretacja geometryczna

Układ równań liniowych wyrażający się macierzą $A$ wygodnie czasem jest odczytywać jako problem dotyczący przekształcenia liniowego $\mathbf {A}$:

• istnienie rozwiązań jest równoważne temu, że wektor prawych stron $\mathbf {b}$ należy do obrazu przekształcenia $\mathbf {A}$,
• jednoznaczność rozwiązań jest równoważna różnowartościowości przekształcenia $\mathbf {A}$, czyli znikaniu jego jądra.

Rozpatrywanie macierzy układu równań liniowych jako macierzy przekształcenia liniowego umożliwia zatem geometryczne rozwiązywanie układów równań liniowych.

Macierz przejścia

Ten sam wektor ma z reguły różne współrzędne w różnych bazach uporządkowanych. Podobnie rzecz ma się z macierzami: jeśli $A\in K_{n}^{m}$ jest macierzą przekształcenia liniowego $\mathrm {A} \colon V\to W$ względem pewnych baz uporządkowanych, to dla macierzy $B\in K_{n}^{m}$ można wskazać bazy uporządkowane dziedziny i przeciwdziedziny takie, że $B$ będzie macierzą tego samego przekształcenia liniowego w nowych bazach wtedy i tylko wtedy, gdy macierze $A$ i $B$ mają równe rzędy. Do tworzenia nowych baz uporządkowanych i zapisu zmian współrzędnych służy macierz przejścia (macierz zmiany bazy).

Niech ${\mathcal {B}}={\begin{pmatrix}v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\end{pmatrix}}$ będzie bazą uporządkowaną przestrzeni liniowej $V$, w tym kontekście nazywaną starą bazą, a ${\mathcal {B}}^{\prime }={\begin{pmatrix}w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\end{pmatrix}}$ układem wektorów (pionowych), to jest on wyznaczony jednoznacznie przez macierz $P$, której kolumną o numerze $j$ jest kolumna współrzędnych

${\begin{pmatrix}p_{1j}\\p_{2j}\\\vdots \\p_{nj}\end{pmatrix}}$

współrzędnych wektora $w_{j}$ w bazie ${\mathcal {B}}$:

${\begin{pmatrix}w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\end{pmatrix}}P.$

Uwaga

W powyższym wzorze występują dwie macierze o jednym wierszu, których elementami są wektory oraz jedna macierz $P$ nad ciałem.

Układ ${\mathcal {B}}^{\prime }$ jest bazą uporządkowaną, nazywaną w tym kontekście nową, wtedy i tylko wtedy, gdy macierz $P$ jest odwracalna. Wówczas nazywa się ją macierzą przejścia (macierzą zmiany bazy) od bazy ${\mathcal {B}}$ do bazy ${\mathcal {B}}^{\prime }$.

Dla danej bazy uporządkowanej (starej) przestrzeni liniowej każda macierz odwracalna $P$ wyznacza (nową) bazę uporządkowaną tej przestrzeni, z kolei każda nowa baza uporządkowana wyznacza „swoją” macierz przejścia względem istniejącej. Wspomniane dwa przyporządkowania:

• macierz odwracalna $\mapsto$ nowa baza,
• nowa baza $\mapsto$ macierz przejścia,

są do siebie wzajemnie odwrotne.

Macierz przejścia $P$ jest macierzą identycznościowego przekształcenia liniowego $\operatorname {Id} _{V}\colon V\to V,\quad \operatorname {Id} _{V}(v)=v$ względem baz uporządkowanych ${\mathcal {B}}^{\prime }$ i ${\mathcal {B}}$.

Związek między starymi współrzędnymi

$\mathrm {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

wektora $v$ (współrzędnymi wektora $v$ względem starej bazy ${\mathcal {B}}$) a nowymi współrzędnymi

$\mathrm {x} ^{\prime }={\begin{pmatrix}x_{1}^{\prime }\\x_{2}^{\prime }\\\vdots \\x_{n}^{\prime }\end{pmatrix}}$

(współrzędnymi tego samego wektora $v$ w nowej bazie ${\mathcal {B}}^{\prime }$) łatwo zapisać za pomocą mnożenia macierzy:

$\mathrm {x} =P\mathrm {x} ^{\prime },\quad \mathrm {x} ^{\prime }=P^{-1}\mathrm {x}$.

Złożenie

Jeśli $\varphi \colon V\to W$ jest przekształceniem liniowym, a $A$ jego macierzą względem baz uporządkowanych ${\mathcal {B}}$ i ${\mathcal {C}}$, dodatkowo ${\mathcal {B}}^{\prime }$ jest nową bazą uporządkowaną dziedziny $V$ osiągalną dzięki macierzy przejścia $P$, a ${\mathcal {C}}^{\prime }$ jest nową bazą uporządkowaną przeciwdziedziny $W$ z macierzą przejścia $Q$, to macierzą przekształcenia $\varphi$ względem nowych baz jest $B=Q^{-1}AP$.

Rzeczywiście, mnożenie nowych współrzednych wektora $v$ przez macierz $B$ ma dawać w rezultacie nowe współrzędne wektora $\varphi (v)$, a jeśli ciąg nowych współrzędnych wektora $v$ oznaczyć $\mathbf {x}$, to:

• $P\mathbf {x}$ opisuje stare współrzędne wektora $v$,
• $AP\mathbf {x}$ daje stare współrzędne wektora $\varphi (v)$,
• $B\mathbf {x} =Q^{-1}AP\mathbf {x}$ zawiera nowe współrzędne wektora $\varphi (v)$.

Macierz endomorfizmu

Endomorfizmem przestrzeni liniowej $V$ nazywamy przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie, tzn. przestrzeń $V$ jest tak dziedziną jak i przeciwdziedziną tego przekształcenia. W związku z tym wystarczy rozważać tylko jedną, wspólną dla nich bazę uporządkowaną. Niech ${\mathcal {B}}$ będzie więc bazą uporządkowaną tej przestrzeni.

Macierzą endomorfizmu $\varphi$ względem ${\mathcal {B}}$ jest zatem macierz przekształcenia liniowego $\varphi$ względem tej bazy. Macierze endomorfizmów są kwadratowe.

Jeśli wspomniany endomorfizm $\varphi$ ma macierz $A$ w bazie ${\mathcal {B}}$, a $P$ jest macierzą przejścia z tej bazy do nowej bazy uporządkowanej ${\mathcal {B}}^{\prime }$, to macierzą endomorfizmu $\varphi$ względem bazy ${\mathcal {B}}^{\prime }$ jest macierz $B=P^{-1}AP$.

Endomorfizmom odpowiada dużo mniej macierzy w różnych bazach niż przekształceniom liniowym, których bazy można zmieniać niezależnie od siebie. Dwie macierze tego samego endomorfizmu mają równe wyznaczniki, ślady, ogólnie: równe sumy minorów głównych odpowiednich stopni. Innymi słowy mają równe wielomiany charakterystyczne.

Pochodząca od Frobeniusa metoda pozwala rozeznać, czy dwie macierze kwadratowe tego samego stopnia mogą być macierzami danego endomorfizmu; wykorzystuje ona pojęcia czynnika niezmienniczego i/lub dzielnika elementarnego (macierzy charakterystycznej), a do określenia tych pojęć konieczne są macierze nad pierścieniem wielomianów. Powszechnie znany jest prosty wniosek wynikający z tej metody, który obowiązuje wyłącznie nad ciałami algebraicznie domkniętymi, jest to tzw. twierdzenie Jordana (postać kanoniczna/normalna Jordana) i może być ono dowodzone niezależnie od ogólnej teorii.

Macierz Grama, macierz funkcjonału dwuliniowego

Rozważmy przestrzeń liniową $V$ wymiaru $n$ nad ciałem $K$ i określony w niej funkcjonał dwuliniowy $B\colon V\times V\to K$. Każdemu układowi (ciągowi) wektorów $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{k})$ można przyporządkować macierz kwadratową stopnia $k$

$G_{B}(v_{1},v_{2},\dots ,v_{k})=\left(B(v_{i},v_{j})\right)$,

która w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie ma wartość $B(v_{i},v_{j})$ funkcjonału na $i$-tym i $j$-tym wektorze. Tą macierz nazywamy macierzą Grama układu wektorów $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{k})$.

Jeśli powyższy układ wektorów jest bazą uporządkowaną, to macierz Grama tego układu nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego $B$ względem bazy uporządkowanej $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$.

Z pomocą macierzy $G=G_{B}(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ funkcjonału dwuliniowego jego wartości wyrażają się przez współrzędne wektorów wzorem:

$B\left(\sum _{i=1}^{n}~x_{i}v_{i},\sum _{i=1}^{n}~y_{i}v_{i}\right)=\mathrm {x} ^{T}G\mathrm {y}$,

własność ta charakteryzuje macierz funkcjonału dwuliniowego.

W szczególności funkcjonał dwuliniowy $B$ jest:

• symetryczny, gdy jego macierz w pewnej/każdej bazie jest symetryczna,

  $B(v,w)=B(w,v)\iff G^{T}=G$,

• antysymetryczny, gdy jego macierz w pewnej/każdej bazie jest antysymetryczna,

  $B(v,w)=-B(w,v)\iff G^{T}=-G$.

Ortogonalność

W każdym z powyższych przypadków relacja ortogonalności (prostopadłości) wektorów $v\perp w\iff B(v,w)=0$ jest symetryczna (ma sens); w przypadku funkcjonału symetrycznego baza uporządkowana $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ jest bazą ortogonalną (prostopadłą), gdy macierz $G$ jest diagonalna. Baza uporządkowana jest ortonormalna (prostopadła i unormowana), gdy macierz $G$ jest jednostkowa.

Uwaga!

Przestrzenie na których można określić antysymetryczny funkcjonał dwuliniowy, czyli przestrzenie symplektyczne na ogół nie mają baz prostopadłych!

Przekształcenia liniowe

Macierz funkcjonału dwuliniowego również jest macierzą pewnego przekształcenia liniowego. Mianowicie dla każdego ustalonego wektora $v\in V$ każde z wyrażeń $B(\cdot ,v),\;B(v,\cdot )$ jest funkcjonałem liniowym:

$B(\cdot ,v)(w)=B(w,v),\quad B(v,\cdot )(w)=B(v,w)$.

W ten sposób jeden funkcjonał dwuliniowy $B$ wyznacza dwa przekształcenia liniowe przestrzeni $V$ w jej przestrzeń sprzężoną $V^{*}$:

$B^{\prime }\colon V\to V^{*},\quad B^{\prime }(v)=B(v,\cdot )$,

$B^{\prime \prime }\colon V\to V^{*},\quad B^{\prime \prime }(v)=B(\cdot ,v)$.

Jeśli przyjąć za bazę przestrzeni sprzężonej $V^{*}$ bazę sprzężoną $(v_{1}^{*},v_{2}^{*},\dots ,v_{n}^{*})$ do bazy $(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ przestrzeni $V$, to macierz $G=G_{B}(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ jest macierzą przekształcenia liniowego $B^{\prime \prime }$ względem tych baz, a macierzą przekształcenia liniowego $B^{\prime }$ jest macierz transponowana $G^{T}$.

Jeśli $P$ jest macierzą przejścia do nowej bazy $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$, to

$G_{B}(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})=P^{T}G_{B}(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})P$.

Rząd macierzy i jej minory

Dla danej macierzy $A$ typu $n\times m$ nad ciałem $K$ można wybrać w dowolny sposób k wierszy i k kolumn, przy czym $k\leq \min(m,n)$. Wybrane w ten sposób elementy tworzą macierz kwadratową stopnia k. Wyznacznik tej macierzy nazywamy minorem stopnia k macierzy $A$. Minory zawierające elementy głównej przekątnej w porządku rosnącym nazywa się minorami głównymi.

Rzędem macierzy nazywa się najwyższy spośród stopni niezerowych minorów tej macierzy, czyli macierz A ma rząd r, jeśli istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia r, a wszystkie minory wyższych stopni są równe zeru. Przyjmuje się, że rząd macierzy zerowej jest równy zeru. Z definicji rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy, czy kolumn. Każdy niezerowy minor macierzy $A$ stopnia równego jej rzędowi nazywamy minorem bazowym tej macierzy. Macierz kwadratowa stopnia $n$ jest nieosobliwa, gdy jej rząd jest równy jej stopniowi.

Powyższa metoda wyznaczania rzędu okazuje się często kłopotliwa, szczególnie przy dużych macierzach. Można jednak skorzystać z własności przekształceń liniowych, wówczas dla macierzy $A$ rozważa się dwie podprzestrzenie liniowe:

• podprzestrzeń przestrzeni $K^{n}=K_{n}^{1}$ generowaną przez jej kolumny,
• podprzestrzeń przestrzeni $K^{m}=K_{1}^{m}$ generowaną przez jej wiersze.

Wymiary tych podprzestrzeni są równe (opisują one tą samą przestrzeń zanurzoną w przestrzeniach generowanych przez kolumny lub wiersze). Ich wspólną wartość nazywa się rzędem macierzy $A$ i oznacza $\mathrm {rank} \;A$ bądź krótko $\mathrm {r} \;A$.

Własności

Działania algebraiczne na ogół znacznie zmieniają rząd. Dla nieosobliwej macierzy kwadratowej $A$, macierz $-A$ również jest nieosobliwa, jednakże ich suma $A+(-A)$ ma rząd równy zeru.

Prawdziwe są jednak poniższe nierówności

$\mathrm {r} (A+B)\leqslant \mathrm {r} {\begin{pmatrix}A|B\end{pmatrix}}\leqslant \mathrm {r} \;A+\mathrm {r} \;B$,

$\mathrm {r} (AB)\leqslant \mathrm {r} \;A$ oraz $\mathrm {r} (AB)\leqslant \mathrm {r} \;B$.

Jeśli macierz $B$ jest nieosobliwa, to zachodzą równości

$\mathrm {r} (AB)=\mathrm {r} \;A=\mathrm {r} (BA)$.

Pierścień ideałów głównych

Nad pierścieniem ideałów głównych $R$ podmoduł modułu wolnego jest modułem wolnym i jego ranga nie przekracza rangi całego modułu. Dla $n\times m$-macierzy $A$ nad pierścieniem ideałów głównych $R$ rozważa się dwa podmoduły:

• podmoduł modułu wolnego $R^{n}=R_{n}^{1}$ generowany przez kolumny macierzy $A$,
• podmoduł modułu wolnego $R^{m}=R_{1}^{m}$ generowany przez wiersze macierzy $A$.

Dowodzi się, że te dwa podmoduły mają równe rangi i wspólną wartość ich rangi nazywa się rzędem macierzy $A$. Rząd macierzy $A$ jest równy największemu stopniowi jej niezerowego minora i jest równy rzędowi tej samej macierzy nad ciałem ułamków pierścienia $R$; rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy i kolumn.

Podstawowe relacje między macierzami

• Powiemy, że macierze kwadratowe $A$ i $B$ są podobne, co oznaczamy $A\approx B$, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna $P$ spełniająca równość $P^{-1}AP=B$.
• Powiemy, że macierze symetryczne (lub antysymetryczne) $A$ i $B$ są kongruentne albo sprzężone, co oznaczamy $A\cong B$, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna $P$ taka, że $P^{T}AP=B$.
• Powiemy, że macierze $A$ i $B$ są równoważne, co oznaczamy $A\equiv B$, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją macierze odwracalne $P,\ Q$ takie, że $P^{-1}AQ=B$. Dwie macierze są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich rzędy są równe.
• Powiemy, że macierze $A$ i $B$ są równoważne względem przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy $A$, których zastosowanie do macierzy $A$ da macierz $B$. Dla macierzy nad ciałem (nawet nad pierścieniem ideałów głównych) elementarna równoważność pokrywa się z równoważnością.

Funkcje macierzy

Funkcje wymierne

Niech $X$ będzie macierzą kwadratową stopnia $n$. Definicję funkcji wymiernej można rozszerzyć na argumenty będące macierzami:

$P(X)=A_{0}X^{m}+A_{1}X^{m-1}+\dots +A_{m}I$ nazywa się wielomianem prawostronnym, a

${\tilde {P}}(X)=X^{m}A_{0}+X^{m-1}A_{1}+\dots +IA_{m}$ to wielomian lewostronny.

przy czym $A_{i}\;(i=0,\dots ,m)$ są macierzami $m\times n$, bądź odpowiednio $n\times m$, macierz jednostkowa $I$ jest stopnia $n$. Na ogół $P(X)\neq {\tilde {P}}(X)$.

Można również określić funkcje ułamkowe definiując je wzorami

$R_{1}(X)=P(X)(Q(X))^{-1}$ oraz $R_{2}(X)=(Q(X))^{-1}P(X)$ ,

gdzie $P(X),Q(X)$ są wielomianami względem macierzy $X$, a macierz $Q$ jest nieosobliwa.

Granica ciągu i szeregi

Jeżeli dany jest ciąg macierzy $A_{k}=(a_{ij}^{(k)}),\;k=1,2,\dots$ tego samego typu $m\times n$ (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n), to granicą ciągu macierzy $A_{k}$ nazywa się macierz

$A=\lim _{k\to \infty }A_{k}=(\lim _{k\to \infty }a_{ij}^{(k)})$.

Niech $\|\cdot \|$ będzie dowolną normą kanoniczną macierzy. Ciąg $A_{k}$ posiada granicę $A$, czyli jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy $\|A-A_{k}\|\to 0$ dla $k\to \infty$. Wtedy $\lim _{k\to \infty }\|A_{k}\|=\|A\|$. Ciąg $A_{k}\to \Theta$ przy $k\to \infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim _{k\to \infty }\|A_{k}\|=0$.

Granice macierzy mają te same własności, co granice liczbowe, o ile działania na macierzach są wykonalne (przy czym warunek niezerowości przy ilorazie oznacza odwracalność). Obowiązuje również odpowiednio sformułowany warunek Cauchy'ego.

Szeregi definiuje się analogicznie do szeregów liczbowych,

$\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}=\lim _{N\to \infty }\sum _{k=1}^{N}A_{k}$,

przy czym macierze $A_{k}$ są tego samego typu. Jeśli powyższa granica istnieje, to nazywa się ją sumą szeregu, a sam szereg macierzowy nazywa się zbieżnym, wtedy też $\lim _{k\to \infty }A_{k}=0$. W przeciwnym wypadku nosi on nazwę rozbieżnego i nie przypisuje mu się żadnej sumy. Wspomniany szereg nazywa się zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg $\sum _{k=1}^{\infty }|A_{k}|$, taki szereg jest oczywiście zbieżny. Jeżeli szereg liczbowy $\sum _{k=1}^{\infty }\|A_{k}\|$, gdzie $\|\cdot \|$ jest dowolną normą kanoniczną, jest zbieżny, to zbieżny, i to bezwzględnie, jest szereg $\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}$.

Rozważa się również macierzowe szeregi potęgowe:

• prawostronny: $\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}X^{k}$
• lewostronny: $\sum _{k=0}^{\infty }X^{k}A_{k}$

Należy zaznaczyć, że X jest macierzą kwadratową stopnia n. Od macierzy $A_{k}$ wymaga się, aby w pierwszym przypadku miały n kolumn lub były liczbami (dozwolone są także wektory wierszowe), a w drugim n wierszy lub były skalarami (możliwe jest również użycie wektorów kolumnowych).

Jeżeli r jest promieniem zbieżności szeregu liczbowego $\sum _{k=1}^{\infty }\|A_{k}\|x^{k}$, gdzie $\|\cdot \|$ jest normą kanoniczną, to lewo- i prawostronne szeregi potęgowe są również zbieżne przy $\|X\|<r$. W szczególności szereg $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}$, gdzie $a_{k}$ są skalarami jest zbieżny przy $\|X\|<r$, gdzie r jest promieniem zbieżności szeregu $\sum _{k=0}^{\infty }|a_{k}|x^{k}$.

Funkcje przestępne

Za pomocą szeregów macierzowych można określić funkcje przestępne macierzy.

Przykładowo przyjmuje się

$e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X_{n}}{!n}}$.

Szereg ten jest zbieżny dla każdej macierzy kwadratowej $X$.

Uogólnienia

Rozważa się różne modyfikacje i uogólnienia, np.

• macierze ze zmienionymi zasadami np. mnożenia (krakowian)
• macierze z nieskończoną liczbą wierszy i/lub kolumn,
• macierze wielowskaźnikowe: macierze jednowskaźnikowe to wektory, macierze dwuwskaźnikowe to macierze opisane powyżej, macierze trójwskaźnikowe to dane uszeregowane w kratkach prostopadłościanu, ogólnie macierz $r$-wskaźnikowa elementów zbioru $X$ to funkcja

$A:\{1,2,\ldots n_{1}\}\times \cdots \times \{1,2,\ldots ,n_{r}\}\rightarrow X$.

Bibliografia

• Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. I. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2. Brak numerów stron w książce
• Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. II. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2693-6. Brak numerów stron w książce
• Israïl Moiseevich Gelfand: Wykłady z algebry liniowej. PWN, 1974.{{Cytuj książkę}} Nieznane pola: "tłumacz". Brak numerów stron w książce
• J. Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. PWN, 1978. Brak numerów stron w książce
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra liniowa. PWN, 1975. Brak numerów stron w książce
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra wyższa. PWN, 1974. Brak numerów stron w książce

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• schemat Sarrusa,
• wyznacznik macierzy kwadratowej,
• permanent,
• rozkład macierzy,
• metoda LU,
• diagonalizacja,
• wartości własne,
• wektory własne,
• tensor,
• krakowian.

Linki zewnętrzne

• Zbiór tożsamości związanych z macierzami