Przejdź do zawartości

Macierz: Różnice pomiędzy wersjami

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Holek.Bot (dyskusja | edycje)
m Aktualizacja szablonu cytowania
drobne merytoryczne, drobne redakcyjne, drobne techniczne, kat.
Linia 1: Linia 1:
{{disambigR|pojęcia matematycznego|[[Macierz (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
{{disambigR|pojęcia matematycznego|[[Macierz (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
{{Macierz}}
{{Macierz}}
'''Macierz''' dwuwskaźnikowa – prostokątna tablica danych nazwanych '''elementami''' lub '''współczynnikami''', pogrupowanych w wiersze i kolumny. Dwie macierze są równe, jeżeli mają tyle samo wierszy i kolumn, a odpowiadające sobie współczynniki są równe. Macierz o <math>n</math> wierszach i <math>m</math> kolumnach nazywa się czasami <math>n \times m</math>-macierzą lub macierzą o wymiarze <math>n \times m</math>.
'''Macierz''' dwuwskaźnikowa – prostokątna tablica danych nazwanych '''elementami''' lub '''współczynnikami''', pogrupowanych w wiersze i kolumny. Dwie macierze są równe, jeżeli mają tyle samo wierszy i kolumn, a odpowiadające sobie współczynniki są równe. Macierz o <math>n</math> wierszach i <math>m</math> kolumnach nazywa się czasami <math>n \times m</math>-macierzą lub macierzą typu <math>n \times m</math>.


Słowo "macierz" najczęściej oznacza macierz dwuwskaźnikową, rozważa się również macierze wielowskaźnikowe.
Słowo "macierz" najczęściej oznacza macierz dwuwskaźnikową, rozważa się również macierze wielowskaźnikowe.
Linia 46: Linia 46:
0 & 1 & 0 & -1 \end{Vmatrix}.</math>
0 & 1 & 0 & -1 \end{Vmatrix}.</math>


==Podstawowe własności==
==Podstawowe pojęcia==
Sposób strukturyzacji danych w postaci macierzy pozwala na łatwą organizację i zmianę danych poprzez przestawianie, łączenie, wydzielanie itp. Niech <math>A=(a_{ij})</math> będzie macierzą o <math>n</math> wierszach i <math>m</math> kolumnach:
Sposób strukturyzacji danych w postaci macierzy pozwala na łatwą organizację i zmianę danych poprzez przestawianie, łączenie, wydzielanie itp. Niech <math>A=(a_{ij})</math> będzie macierzą o <math>n</math> wierszach i <math>m</math> kolumnach:
* '''[[Macierz transponowana|Macierzą transponowaną]] (przestawioną)''' do <math>A</math>, oznaczaną <math>A^T</math>, nazywamy macierz o <math>m</math> wierszach i <math>n</math> kolumnach, której wiersze są kolumnami danej macierzy <math>A</math>, a kolumny są wierszami macierzy <math>A</math>. Geometrycznie odpowiada to obrotowi macierzy wokół osi przechodzącej przez lewy górny i prawy dolny róg. Formalnie wzór na macierz przestawioną <math>B</math> do macierzy <math>A</math> przedstawia się następująco:
* '''[[Macierz transponowana|Macierzą transponowaną]] (przestawioną)''' do <math>A</math>, oznaczaną <math>A^T</math>, nazywamy macierz o <math>m</math> wierszach i <math>n</math> kolumnach, której wiersze są kolumnami danej macierzy <math>A</math>, a kolumny są wierszami macierzy <math>A</math>. Geometrycznie odpowiada to obrotowi macierzy wokół osi przechodzącej przez lewy górny i prawy dolny róg. Formalnie wzór na macierz przestawioną <math>B</math> do macierzy <math>A</math> przedstawia się następująco:
*: <math>(b_{ij}) = (a_{ij})^T \iff b_{ij} = a_{ji}</math> dla każdych <math>i, j</math>.
*: <math>(b_{ij}) = (a_{ij})^T \iff b_{ij} = a_{ji}</math> dla każdych <math>i, j</math>.
* Macierz <math>A</math> nazywamy '''kwadratową''', gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli <math>m = n</math>. Zamiast „macierz kwadratowa o <math>n</math> wierszach i <math>n</math> kolumnach” mówi się „macierz kwadratowa '''stopnia''' <math>n</math>”. '''Główną przekątną''' macierzy kwadratowej <math>A</math> nazywamy wektor <math>(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})</math>.
* Macierz <math>A</math> nazywamy '''kwadratową''', gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli <math>m = n</math>. Zamiast „macierz kwadratowa o <math>n</math> wierszach i <math>n</math> kolumnach” mówi się „macierz kwadratowa '''stopnia''' <math>n</math>”. Macierz, która nie jest kwadratową, nazywa się '''prostokątną'''. '''Główną przekątną''' macierzy kwadratowej <math>A</math> nazywamy wektor <math>(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})</math>.
* '''Podmacierz''' macierzy <math>A</math> to dowolna macierz powstająca z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.
* '''Podmacierz''' macierzy <math>A</math> to dowolna macierz powstająca z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.
* '''[[Macierz klatkowa]]''' to macierz z wprowadzonym dodatkowym podziałem wierszy i kolumn na grupy kolejnych wierszy i kolumn. Obrazowo macierz klatkowa to macierz, w której poprowadzono poziome i pionowe linie wzdłuż jej wierszy lub kolumn dzielące ją tym samym na podmacierze nazywane wówczas '''klatkami'''. Dzięki temu podziałowi możliwe jest również rozważanie macierzy, której elementami są podmacierze (klatki).
* '''[[Macierz klatkowa]]''' to macierz z wprowadzonym dodatkowym podziałem wierszy i kolumn na grupy kolejnych wierszy i kolumn. Obrazowo macierz klatkowa to macierz, w której poprowadzono poziome i pionowe linie wzdłuż jej wierszy lub kolumn dzielące ją tym samym na podmacierze nazywane wówczas '''klatkami'''. Dzięki temu podziałowi możliwe jest również rozważanie macierzy, której elementami są podmacierze (klatki).
Linia 113: Linia 113:


==Działania algebraiczne==
==Działania algebraiczne==
Niech zbiór elementów macierzy <math>R</math> będzie [[pierścień przemienny|pierścieniem przemiennym]] z jedynką (w szczególności – [[ciało (matematyka)|ciałem]], takim jak [[liczby rzeczywiste]]), mówimy wtedy o macierzy ''nad'' <math>R</math>. Można wtedy w zbiorze <math>R^m_n = M_{n \times m}(R)</math> wszystkich macierzy o <math>n</math> wierszach, <math>m</math> kolumnach i elementach z pierścienia <math>R</math> określić pewne działania. Dalej będziemy przyjmować, o ile nie powiedziano inaczej, że macierze są określone są właśnie nad tym pierścieniem.

Macierze <math>A = (a_{ij})</math> oraz <math>B = (b_{ij})</math> nazywa się '''równymi''', jeśli mają tę samą liczbę wierszy oraz kolumn oraz odpowiadające sobie elementy są równe, tzn. <math>a_{ij} = b_{ij}</math> dla wszystkich <math>i, j</math>.

'''[[Macierz diagonalna|Macierzą diagonalną]]''' nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie niezerowe elementy znajdują się wyłącznie na głównej przekątnej. Innymi słowy: macierz <math>A = (a_{ij})</math> jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a_{ij} = 0</math> dla <math>i \ne j</math>. Często dla oszczędności miejsca macierz diagonalną stopnia <math>n</math> zapisuje się jako <math>\operatorname{diag}(a_{11},a_{22}, \dots, a_{nn})</math>.

'''Macierz jednostkowa''' <math>I</math> jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej, która na przekątnej ma same jedynki. '''Macierz zerowa''' <math>\Theta</math> to macierz złożona z samych zer. Niekiedy do symbolu tych macierzy w indeksie dolnym dodaje się ich stopień.

===Dodawanie i mnożenie przez skalar===
===Dodawanie i mnożenie przez skalar===
{{main|dodawanie macierzy}}
{{main|dodawanie macierzy}}
Mnożenie macierzy przez stałą (skalar, element pierścienia) oraz dodawanie macierzy definiuje się następująco:
Jeżeli zbiór <math>R</math>, z którego bierze się elementy macierzy, jest [[pierścień przemienny|pierścieniem przemiennym]] z jedynką (mówimy wtedy o macierzach ''nad'' pierścieniem <math>R</math>), to w zbiorze <math>R^m_n = M_{n \times m}(R)</math> wszystkich macierzy o <math>n</math> wierszach, <math>m</math> kolumnach i elementach z pierścienia <math>R</math> określone są działania
*<math>a \cdot (a_{ij}) = (a \cdot a_{ij})</math>
* mnożenia macierzy przez stałą (skalar, element pierścienia) wg wzoru
::<math>a \cdot (a_{ij}) = (a \cdot a_{ij})</math>
*<math>(a_{ij}) + (b_{ij}) = (a_{ij} + b_{ij})</math>.
* dodawania macierzy wg wzoru
::<math>(a_{ij}) + (b_{ij}) = (a_{ij} + b_{ij})</math>.


Słownie: mnożenie macierzy przez skalar polega na wymnożeniu przez niego wszystkich jej elementów, a dodawanie macierzy na dodaniu odpowiadających sobie elementów.
Słownie: mnożenie macierzy przez skalar polega na wymnożeniu przez niego wszystkich jej elementów, a dodawanie macierzy na dodaniu odpowiadających sobie elementów. Analogicznie definiuje się różnicę macierzy.


Zbiór <math>R^m_n</math> z dodawaniem jest [[grupa przemienna|grupą przemienną]]: [[łączność (matematyka)|łączność]] i [[przemienność]] działań w pierścieniu przenosi się na działania na macierzach, [[element neutralny|elementem neutralnym]] jest [[macierz zerowa]] <math>\Theta</math> o elementach równych <math>0 \in R</math>, [[element odwrotny|elementem przeciwnym]] do macierzy <math>A</math> jest macierz <math>-1 \cdot A \overset\underset\mathrm{ozn}\ = -A</math>.
Zbiór <math>R^m_n</math> z dodawaniem jest [[grupa przemienna|grupą przemienną]]: [[łączność (matematyka)|łączność]] i [[przemienność]] działań w pierścieniu przenosi się na działania na macierzach, [[element neutralny|elementem neutralnym]] jest [[macierz zerowa]] <math>\Theta</math> o wszystkich elementach równych <math>0 \in R</math>, [[element odwrotny|elementem przeciwnym]] do macierzy <math>A</math> jest macierz <math>-1 \cdot A \overset\underset\mathrm{ozn}\ = -A</math>, którą nazywa się '''macierzą przeciwną''' do <math>A</math>. Oczywiście jest <math>A - B = A + (-B)</math> o ile macierze te są zgodnego typu.


Mnożenie przez skalar spełnia warunki:
Mnożenie przez skalar spełnia warunki:
Linia 133: Linia 139:


Jeśli pierścień <math>R</math> jest ciałem, to zbiór <math>R^m_n</math> z powyższymi działaniami staje się [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] nad ciałem <math>R</math> o wymiarze <math>nm</math>.
Jeśli pierścień <math>R</math> jest ciałem, to zbiór <math>R^m_n</math> z powyższymi działaniami staje się [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] nad ciałem <math>R</math> o wymiarze <math>nm</math>.

Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnych są macierze postaci <math>a \cdot I_n</math> nazywane '''macierzami skalarnymi'''. W szczególności:
: <math>(a \cdot I_n) \cdot A = a \cdot A = A \cdot (a \cdot I_m).</math>


====Przykład mnożenia przez skalar====
====Przykład mnożenia przez skalar====
Linia 273: Linia 282:
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>.
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>.


Mnożenie macierzy jest jednak [[łączność (matematyka)|łączne]] i lewo- i prawostronnie [[rozdzielność|rozdzielne]] względem dodawania:
Mnożenie macierzy jest jednak [[łączność (matematyka)|łączne]] oraz [[rozdzielność|rozdzielne]] lewo- i prawostronnie względem dodawania:
* <math>(A \cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)</math>
* <math>(A \cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)</math>
* <math>(A + B)\cdot C = A \cdot C + B \cdot C</math> i <math>C \cdot (A+B) = C \cdot A + C \cdot B</math>
* <math>(A + B)\cdot C = A \cdot C + B \cdot C</math> i <math>C \cdot (A+B) = C \cdot A + C \cdot B</math>
Linia 281: Linia 290:
Ponadto:
Ponadto:
* <math>a \cdot (A \cdot B) = (a \cdot A) \cdot B = A \cdot (a \cdot B)</math>
* <math>a \cdot (A \cdot B) = (a \cdot A) \cdot B = A \cdot (a \cdot B)</math>
* <math>(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T</math>.
* <math>(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T</math>.

Powyższe równości należy rozumieć w następujący sposób: jeśli istnieje jedna ze stron, wówczas istnieje druga i są one sobie równe.
Jeśli <math>l_1, l_2, \dots, l_m \in R^1_n</math> są kolumnami macierzy <math>A</math>, to <math>j</math>-tą kolumną macierzy <math>A \cdot B</math> jest <math>b_{1j} \cdot l_1 + b_{2j} \cdot l_2 + b_{mj} \cdot l_m</math>.
Jeśli <math>l_1, l_2, \dots, l_m \in R^1_n</math> są kolumnami macierzy <math>A</math>, to <math>j</math>-tą kolumną macierzy <math>A \cdot B</math> jest <math>b_{1j} \cdot l_1 + b_{2j} \cdot l_2 + b_{mj} \cdot l_m</math>.
Linia 289: Linia 300:
====Potęgowanie macierzy====
====Potęgowanie macierzy====
{{main|potęgowanie macierzy}}
{{main|potęgowanie macierzy}}
Potęgę macierzy kwadratowej o wykładniku wyrażającym się [[liczby naturalne|liczbą naturalną]] określa się w oczywisty sposób, dodatkowo przyjmuje się <math>A^0 = I_n</math> dla każdej macierzy kwadratowej <math>A</math> stopnia <math>n</math>.
Potęgę macierzy kwadratowej o wykładniku wyrażającym się [[liczby naturalne|liczbą naturalną]] ''n'' określa się w zwyczajowo jako ''n''-krotny iloczyn macierzy przez siebie. Z własności mnożenia macierzy wynika, że to działanie jest określone wyłącznie dla macierzy kwadratowych. Jeżeli macierz jest ''[[#Odwracalność i nieosobliwość|odwracalna]]'', rozszerzenie definicji na [[liczby całkowite]] przebiega wg wzoru <math>A^{-p} = (A^{-1})^p</math>. Dodatkowo przyjmuje się <math>A^0 = I</math>.


====Przykład – macierze diagonalne i skalarne====
====Macierze diagonalne i skalarne====
Mnożenie [[#Działania algebraiczne|macierzy diagonalnych]] jest szczególnie proste:
{{main|macierz diagonalna}}
Macierz kwadratową, której wszystkie niezerowe elementy znajdują się wyłącznie na głównej przekątnej nazywamy '''[[macierz diagonalna|macierzą diagonalną]]'''. Innymi słowy: macierz <math>A = (a_{ij})</math> jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a_{ij} = 0</math> dla <math>i \ne j</math>. Macierz jednostkowa jest więc szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej (oczywiście jest nią również macierz zerowa). Często dla oszczędności miejsca macierz diagonalną stopnia <math>n</math> zapisuje się jako <math>\operatorname{diag}(a_{11},a_{22}, \dots, a_{nn})</math>. Mnożenie macierzy diagonalnych jest szczególnie proste:
:<math>\operatorname{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot \operatorname{diag}(b_1, b_2, \dots, b_n) = \operatorname{diag}(a_1 b_1, a_2 b_2, \dots, a_n b_n)</math>.
:<math>\operatorname{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot \operatorname{diag}(b_1, b_2, \dots, b_n) = \operatorname{diag}(a_1 b_1, a_2 b_2, \dots, a_n b_n)</math>.


w szczególności macierze diagonalne są przemienne z macierzami diagonalnymi, ale niekoniecznie z innymi macierzami:
W szczególności macierze diagonalne są przemienne z macierzami diagonalnymi (ale niekoniecznie z innymi macierzami):
: <math>\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} =
: <math>\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}, \qquad
\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}, \qquad
Linia 302: Linia 312:
\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}.</math>
\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}.</math>


Macierz kwadratowa stopnia ''n'' jest przemienna z wszystkimi macierzami kwadratowymi stopnia ''n'' wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[#Dodawanie i mnożenie przez skalar|macierzą skalarną]].
Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnych są macierze postaci <math>a \cdot I_n</math> nazywane '''macierzami skalarnymi'''. W szczególności:
: <math>(a \cdot I_n) \cdot A = a \cdot A = A \cdot (a \cdot I_m).</math>

Macierz kwadratowa stopnia ''n'' jest przemienna z wszystkimi macierzami kwadratowymi stopnia ''n'' wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą skalarną.


====Pierścienie nieprzemienne====
====Pierścienie nieprzemienne====
Mnożenie macierzy nad pierścieniem nieprzemiennym można określić za pomocą dokładnie tego samego wzoru co wyżej, pojawia się jednak wiele subtelności, a jego własności się psują. Mimo to mnożenie takich macierzy nadal jest użyteczne. Przykładem może być [[enumerator]] i [[denumerator]] [[marszruta|marszrut]] w [[graf (matematyka)|grafie]].
Mnożenie macierzy nad pierścieniem nieprzemiennym określa się jak wyżej, pojawia się jednak wiele subtelności, a działanie nie ma tak dobrych własności jak w poprzednim przypadku. Mimo to mnożenie takich macierzy nadal jest użyteczne, czego przykładem mogą być [[enumerator]] i [[denumerator]] [[marszruta|marszrut]] w [[graf (matematyka)|grafie]].


Niech <math>P = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}</math> będzie zbiorem wierzchołków [[graf zorientowany|grafu zorientowanego]], a dla danych <math>i, j</math> przez <math>Q_{ij} = \{q_{ij}(1) ,q_{ij}(2), \dots, q_{ij}(n_{ij})\}</math> oznaczymy zbiór krawędzi z <math>p_i</math> do <math>p_j</math>.
Niech <math>P = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}</math> będzie zbiorem wierzchołków [[graf zorientowany|grafu zorientowanego]], a dla danych <math>i, j</math> przez <math>Q_{ij} = \{q_{ij}(1) ,q_{ij}(2), \dots, q_{ij}(n_{ij})\}</math> oznaczymy zbiór krawędzi z <math>p_i</math> do <math>p_j</math>.
Linia 316: Linia 323:
Jeśli w macierzy <math>A^n</math> każdy symbol <math>q_{ij}(s)</math> zastąpić jedynką, to po wykonaniu działania powstanie macierz mająca w wierszu <math>i</math> i kolumnie <math>j</math> liczbę marszrut długości <math>n</math> z <math>p_i</math> do <math>p_j</math>.
Jeśli w macierzy <math>A^n</math> każdy symbol <math>q_{ij}(s)</math> zastąpić jedynką, to po wykonaniu działania powstanie macierz mająca w wierszu <math>i</math> i kolumnie <math>j</math> liczbę marszrut długości <math>n</math> z <math>p_i</math> do <math>p_j</math>.


===Moduł i norma macierzy===
==Odwracalność i nieosobliwość==
Niech macierze <math>A = (a_{ij}), B = (b_{ij})</math> tego samego typu będą zbudowane nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Nierówność <math>A \le B</math> oznacza, że <math>a_{ij} \le b_{ij}</math>. Wynika stąd, że nie wszystkie macierze można porównywać w ten sposób.
{{main|macierz odwrotna}}


'''Wartością bezwzględną (modułem)''' macierzy <math>A</math> nazywa się macierz <math>|A| = (|a_{ij}|)</math>, gdzie <math>|a_{ij}|</math> są [[wartość bezwzględna|wartościami bezwzględnymi]] ([[moduł liczby zespolonej|modułami]]) elementów. Jeśli dla wspomnianych macierzy operacje dodawania i mnożenia mają sens, to
Niech <math>A</math> będzie [[macierz kwadratowa|macierzą kwadratową]] ustalonego stopnia. Macierz <math>A</math> jest '''odwracalna''', jeśli istnieje taka macierz <math>B</math>, że zachodzi
* <math>|A + B| \le |A| + |B|</math>
* <math>|cA| \le |c| |B|</math>, gdzie <math>c</math> jest skalarem.
* <math>|AB| \le |A| |B|</math>, skąd wynika też <math>|A^n| \le |A|^n,\; n \in N</math>

'''[[Przestrzeń unormowana#Normy macierzowe|Norma macierzy]]''' <math>A</math> to liczba rzeczywista <math>\|A\|</math> taka, dla której spełnione są aksjomaty [[Przestrzeń unormowana|normy]] i <math>B</math> jest macierzą dla której poniższe działania mają sens:
* <math>\|A\| \ge 0,\; |A| = 0 \iff A = 0</math>
* <math>\|cA\| = |c| \|A\|</math>, gdzie <math>c</math> jest skalarem, w szczególności <math>\|-A\| = \|A\|</math>
* <math>\|A + B\| \le \|A\| + \|B\|</math>
* <math>\|AB\| \le \|A\| \|B\|</math>, skąd wynika też <math>\|A^n\| \le \|A\|^n,\; n \in N</math>

Bezpośrednim wnioskiem z powyższych własności jest
* <math>\|A - B\| \ge \bigg|\|B\| - \|A\|\bigg|</math>

Jeśli spełnione są dodatkowe warunki
* <math>|a_{ij}| \le \|A\|</math>, przy czym dla <math>A = (a_{11})</math> jest <math>\|A\| = |a_{11}|</math>
* <math>|A| \le |B| \implies \|A\| \le \|B\|</math>, w szczególności <math>\|A\| = \| |A| \|</math>
to normę macierzy nazywamy '''kanoniczną'''.

==Odwracalność i nieosobliwość==
{{main|macierz odwrotna|wyznacznik}}
Macierz <math>A</math> jest '''odwracalna''', jeśli istnieje taka macierz <math>B</math>, dla której
:<math>AB = BA = I</math>,
:<math>AB = BA = I</math>,
gdzie <math>I</math> jest [[macierz jednostkowa|macierzą jednostkową]].
gdzie <math>I</math> jest [[macierz jednostkowa|macierzą jednostkową]].
Linia 325: Linia 353:
Jeżeli taka macierz <math>B</math> nie istnieje, to macierz <math>A</math> nazywamy '''nieodwracalną''', w przeciwnym wypadku macierz <math>B</math> nazywa się '''[[macierz odwrotna|macierzą odwrotną]]''' do macierzy <math>A</math> i oznacza się ją wówczas przez <math>A^{-1}</math>.
Jeżeli taka macierz <math>B</math> nie istnieje, to macierz <math>A</math> nazywamy '''nieodwracalną''', w przeciwnym wypadku macierz <math>B</math> nazywa się '''[[macierz odwrotna|macierzą odwrotną]]''' do macierzy <math>A</math> i oznacza się ją wówczas przez <math>A^{-1}</math>.


Ponieważ macierze ustalonego stopnia tworzą pierścień (nieprzemienny z jedynką), łatwo widać, że powyższe definicje określają [[element odwracalny]] oraz [[element odwrotny|odwrotny]] w tym pierścieniu.
Powyższe definicje jednoznacznie wyznaczają [[element odwracalny]] oraz [[element odwrotny|odwrotny]] w pierścieniu (nieprzemiennym z jedynką) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia z działaniami dodawania i mnożenia macierzy określonymi wyżej.


Jeżeli pierścień <math>R</math>, nad którym zbudowana jest macierz, jest [[pierścień przemienny|przemienny]], to można zdefiniować dla niego [[wyznacznik]] macierzy kwadratowej<ref>jeśli nie jest przemienny, to w rzadkich przypadkach również można to zrobić, np. [[wyznacznik Dieudonne]] dla [[algebry centralne proste|algebr centralnych prostych]]</ref>. Macierzą '''nieosobliwą''' nazywamy każdą macierz o [[element odwracalny|odwracalnym]] wyznaczniku (jeżeli <math>R</math> jest [[ciało (matematyka)|ciałem]], to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą '''osobliwą (zdegenerowaną)''' nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym).
Jeżeli pierścień <math>R</math>, nad którym zbudowana jest macierz kwadratowa, jest [[pierścień przemienny|przemienny]], to można zdefiniować jej [[wyznacznik]]<ref>w ogólności nie można tego uczynić, jeśli pierścień nie jest przemienny; niekiedy jest to jednak możliwe, np. [[wyznacznik Dieudonne]] dla [[algebry centralne proste|algebr centralnych prostych]]</ref>. Macierzą '''nieosobliwą (niezdegenerowaną)''' nazywamy każdą macierz o [[element odwracalny|odwracalnym]] wyznaczniku (jeżeli <math>R</math> jest [[ciało (matematyka)|ciałem]], to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą '''osobliwą (zdegenerowaną)''' nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (w ciele: zerowym).


Z własności [[macierz dołączona|macierzy dołączonej]] wynika, że macierz kwadratowa <math>A</math> stopnia <math>n</math> nad pierścieniem przemiennym <math>R</math> jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.
Z własności [[macierz dołączona|macierzy dołączonej]] wynika, że macierz kwadratowa <math>A</math> stopnia <math>n</math> nad pierścieniem przemiennym <math>R</math> jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.


==Przekształcenia elementarne i macierze elementarne==
==Przekształcenia i macierze elementarne==
{{main|macierz elementarna}}
[[Macierz elementarna]] to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku ''jednej'' operacji elementarnej na jej wierszach.
'''Przekształceniami elementarnymi''' na wierszach są:

Do operacji elementarnych należą:
* zamiana miejscami dwóch różnych wierszy macierzy,
* zamiana miejscami dwóch różnych wierszy macierzy,
* pomnożenie jednego z wierszy macierzy przez liczbę różną od zera,
* pomnożenie jednego z wierszy macierzy przez liczbę różną od zera,
* dodanie do jednego wiersza macierzy innego wiersza tej samej macierzy.
* dodanie do jednego wiersza macierzy innego wiersza tej samej macierzy.


'''Macierz elementarna''' to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku ''jednego'' przekształcenia elementarnego na jej wierszach. Są one istotne przede wszystkim z tego powodu, iż nie zmieniają [[#Rząd macierzy|rzędu macierzy]]. Ponieważ nie zmieniają one rozwiązywań [[#Układy równań liniowych|układów równań liniowych]], wykorzystywane są one do ich rozwiązywania w [[metoda Gaussa|metodzie Gaussa]]. Za ich pomocą jest też definiowana [[#Elementarna równoważność|elementarna równoważność]].
Operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy. Odgrywają one dużą rolę w [[metoda Gaussa|metodzie Gaussa]] rozwiązywania [[układ równań liniowych|układu równań liniowych]].
Za ich pomocą jest też definiowana [[#Elementarna równoważność|Elementarna równoważność]].


==Algebra liniowa==
==Algebra liniowa==
W tej sekcji rozważać będziemy macierze nad pewnym ciałem <math>K</math>.
W tej sekcji rozważać będziemy macierze nad pewnym ustalonym <math>K</math>.


Pięć podstawowych zastosowań macierzy jest ściśle ze sobą powiązanych, cztery z nich związane są z istnieniem (skończonych) [[Baza (przestrzeń liniowa)|baz]] w [[Przestrzeń liniowa|przestrzeniach liniowych]] skończonego [[Przestrzeń liniowa#Wymiar przestrzeni|wymiaru]]. Mając do dyspozycji bazę uporządkowaną (tzn. bazy z ustaloną kolejnością wektorów) można każdemu wektorowi przyporządkować wzajemnie jednoznacznie ciąg jego współrzędnych względem tej bazy.
Poniższe zastosowania macierzy ściśle ze sobą powiązane, choć niektóre z nich związane są z istnieniem (skończonych) [[Baza (przestrzeń liniowa)|baz]] w [[Przestrzeń liniowa|przestrzeniach liniowych]] skończonego [[Przestrzeń liniowa#Wymiar przestrzeni|wymiaru]]. Należy zauważyć, że każdemu wektorowi przyporządkować wzajemnie jednoznacznie ciąg jego współrzędnych względem bazy uporządkowanej (tzn. bazy z ustaloną kolejnością wektorów).

===Macierz przekształcenia liniowego===
Jeśli <math>\varphi\colon V \to W</math> jest [[przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]] przestrzeni liniowych skończonego wymiaru<ref>ogólniej: [[homomorfizm]]em [[moduł wolny|modułów wolnych]] (nad pierścieniem przemiennym)</ref>, to dla każdej [[Baza (przestrzeń liniowa)|bazy]] uporządkowanej <math>\mathcal B = \begin{pmatrix} v_1, v_2, \dots, v_n\ \end{pmatrix}</math> dziedziny <math>V</math> i każdej bazy uporządkowanej <math>\mathcal C = \begin{pmatrix} w_1, w_2, \dots, w_m \end{pmatrix}</math> przeciwdziedziny <math>W</math> przekształceniu <math>\varphi</math> odpowiada (istnieje między nimi [[izomorfizm]]) macierz <math>A = (a_{ij})</math> o <math>m</math> wierszach i <math>n</math> kolumnach taka, że <math>a_{ij}</math> jest współrzędną wektora <math>\varphi(v_j)</math> przy wektorze <math>w_i</math>, tzn.
:<math>\varphi(v_j) = \sum_{i=1}^m~a_{ij} w_i</math>.

Innymi słowy kolejne kolumny macierzy <math>A</math> są współrzędnymi obrazów za pomocą przekształcenia <math>\varphi</math> w bazie <math>\mathcal C</math> wektorów względem bazy <math>\mathcal B</math>.

Współrzędne <math>y_1, y_2, \dots, y_m</math> obrazu <math>\varphi(v) = \sum_{i=1}^m y_i w_i</math> wektora <math>v = \sum_{j=1}^n x_j v_j</math> wyrażają się przez współrzędne <math>x_1, x_2, \dots, x_n </math> tego wektora wzorem
:<math>\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math>,
własność ta charakteryzuje macierz przekształcenia liniowego. Z tego też powodu istnieje wzajemna jednoznaczność między wektorami <math>K^1_n</math> przestrzeni o ustalonej bazie, a macierzami <math>1 \times n</math>, które zwyczajowo nazywa się '''wektorami kolumnowymi''' (zwykle po prostu wektorami), analogicznie macierze <math>n \times 1</math> nazywa się '''wektorami wierszowymi'''.

W szczególności mnożenie macierzy <math>A</math> o <math>m</math> wierszach i <math>n</math> kolumnach przez inną
:<math>A \cdot\; \colon K^1_n \rightarrow K^1_m, \quad \mathbf x \mapsto A \mathbf x</math>
opisuje przekształcenie liniowe <math>\varphi \circ \cdot</math> przestrzeni <math>K^n \simeq K^1_n</math> w przestrzeń <math>K^m \simeq K^1_m</math>. Jego macierzą względem (naturalnie uporządkowanych) [[Baza (przestrzeń liniowa)|baz kanonicznych]] jest sama macierz <math>A</math>. [[Odwzorowanie tożsamościowe|Przekształceniu identycznościowemu]] odpowiada macierz jednostkowa.

Niech <math>\psi\colon W \to U</math> będzie innym przekształceniem liniowym, zaś <math>\mathcal D</math> bazą uporządkowaną przestrzeni <math>U</math>, a <math>B</math> jest macierzą przekształcenia <math>\psi</math> względem baz uporządkowanych <math>\mathcal C, \mathcal D</math>. Macierzą złożenia <math>\psi \circ \varphi </math> (przekształcenia złożonego, superpozycji) względem baz uporządkowanych <math>\mathcal B, \mathcal D</math> jest macierz <math>BA</math>. Czyli jak już wspomniano wcześniej mnożenie macierzy jest zgodne ze składaniem przekształceń liniowych.


===Zapis układu równań liniowych===
===Układy równań liniowych===
Dla [[układ równań liniowych|układu]] <math>n</math> [[równanie liniowe|równań liniowych]]
{{main|układ równań liniowych}}
====Zapis====
Niech dany będzie układ <math>n</math> [[równanie liniowe|równań liniowych]]
:<math>\begin{cases}
:<math>\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1m}x_m = b_1 \\
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1m}x_m = b_1 \\
Linia 355: Linia 399:
a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nm}x_m = b_n
a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nm}x_m = b_n
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
<math>m</math> zmiennych <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math> o współczynnikach <math>a_{ij}, b_j \in K</math>:
<math>m</math> zmiennych <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math> o współczynnikach <math>a_{ij}, b_j \in K</math>. Wówczas
* '''macierzą układu równań''' nazywamy macierz współczynników <math>A = (a_{ij}) \in K^m_n</math>,
* '''macierzą układu równań''' nazywamy macierz współczynników <math>A = (a_{ij}) \in K^m_n</math>,
* '''kolumną wyrazów wolnych (prawych stron)''' nazywamy macierz
* '''kolumną wyrazów wolnych (prawych stron)''' nazywamy macierz
*: <math>\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} \in K^1_n</math>,
*: <math>\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} \in K^1_n</math>,
* [[układ równań liniowych#Macierz rozszerzona (uzupełniona) układu|'''macierzą uzupełnioną''' albo '''rozszerzoną''']] nazywamy macierz klatkową <math>\begin{pmatrix} A & | & \mathbf b \end{pmatrix}</math>.
* [[układ równań liniowych#Macierz rozszerzona (uzupełniona) układu|'''macierzą uzupełnioną (rozszerzoną)''']] nazywamy macierz klatkową <math>\begin{pmatrix} A & | & \mathbf b \end{pmatrix}</math>.


Jeśli dodatkowo kolumny macierzy <math>A</math> oraz kolumnę zmiennych oznaczyć
Jeśli dodatkowo kolumny macierzy <math>A</math> oraz kolumnę zmiennych oznaczyć
Linia 369: Linia 413:
:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>.
:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>.


Macierz uzupełniona całkowicie określa układ równań, więc przy jego rozwiązywaniu zamiast pisać ciąg równoważnych układów równań można pisać ciąg (równoważnych) macierzy uzupełnionych, oszczędzając wielokrotne pisanie symboli niewiadomych, dodawania i znaków równości.
Macierz uzupełniona jednoznacznie określa układ równań, więc przy jego rozwiązywaniu można operować na krótszych w zapisie macierzach uzupełnionych.


====Interpretacja geometryczna====
===Macierz przekształcenia liniowego===
Układ równań liniowych wyrażający się macierzą <math>A</math> wygodnie czasem jest odczytywać jako problem dotyczący przekształcenia liniowego <math>\mathbf A</math>:
Jeśli <math>\varphi\colon V \to W</math> jest [[przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]] przestrzeni liniowych skończonego wymiaru<ref>ogólniej: [[homomorfizm]]em [[moduł wolny|modułów wolnych]] (nad pierścieniem przemiennym)</ref>, to dla każdej [[Baza (przestrzeń liniowa)|bazy]] uporządkowanej <math>\mathcal B = \begin{pmatrix} v_1, v_2, \dots, v_n\ \end{pmatrix}</math> dziedziny <math>V</math> i każdej bazy uporządkowanej <math>\mathcal C = \begin{pmatrix} w_1, w_2, \dots, w_m \end{pmatrix}</math> przeciwdziedziny <math>W</math> przekształceniu <math>\varphi</math> odpowiada (istnieje między nimi [[izomorfizm]]) macierz <math>A = (a_{ij})</math> o <math>m</math> wierszach i <math>n</math> kolumnach taka, że <math>a_{ij}</math> jest współrzędną wektora <math>\varphi(v_j)</math> przy wektorze <math>w_i</math>, tzn.
* istnienie rozwiązań jest równoważne temu, że wektor prawych stron <math>\mathbf b</math> należy do obrazu przekształcenia <math>\mathbf A</math>,
:<math>\varphi(v_j) = \sum_{i=1}^m~a_{ij} w_i</math>.
* jednoznaczność rozwiązań jest równoważna [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowości]] przekształcenia <math>\mathbf A</math>, czyli znikaniu jego [[jądro (algebra)#Przekształcenie liniowe|jądra]].

Innymi słowy kolejne kolumny macierzy <math>A</math> są współrzędnymi obrazów za pomocą przekształcenia <math>\varphi</math> w bazie <math>\mathcal C</math> wektorów względem bazy <math>\mathcal B</math>.

Współrzędne <math>y_1, y_2, \dots, y_m</math> obrazu <math>\varphi(v) = \sum_{i=1}^m y_i w_i</math> wektora <math>v = \sum_{j=1}^n x_j v_j</math> wyrażają się przez współrzędne <math>x_1, x_2, \dots, x_n </math> tego wektora wzorem
:<math>\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math>,
własność ta charakteryzuje macierz przekształcenia liniowego.

W szczególności mnożenie macierzy <math>A</math> o <math>m</math> wierszach i <math>n</math> kolumnach przez inną
:<math>A \cdot\; \colon K^1_n \rightarrow K^1_m, \quad \mathbf x \mapsto A \mathbf x</math>
opisuje przekształcenie liniowe <math>\nu \circ \cdot</math> przestrzeni <math>K^n \simeq K^1_n</math> w przestrzeń <math>K^m \simeq K^1_m</math>. Jego macierzą względem (naturalnie uporządkowanych) [[Baza (przestrzeń liniowa)|baz kanonicznych]] jest sama macierz <math>A</math>. Trywialnym jest fakt, że [[odwzorowanie tożsamościowe|przekształceniu identycznościowemu]] odpowiada macierz jednostkowa.

Niech <math>\psi\colon W \to U</math> będzie innym przekształceniem liniowym, zaś <math>\mathcal D</math> bazą uporządkowaną przestrzeni <math>U</math>, a <math>B</math> jest macierzą przekształcenia <math>\psi</math> względem baz uporządkowanych <math>\mathcal C, \mathcal D</math>. Macierzą złożenia <math>\psi \circ \varphi </math> (przekształcenia złożonego, superpozycji) względem baz uporządkowanych <math>\mathcal B, \mathcal D</math> jest macierz <math>BA</math>. Czyli jak już wspomniano wcześniej mnożenie macierzy jest zgodne ze składaniem przekształceń liniowych.

====Układy równań liniowych====
Układ równań liniowych wyrażający się macierzą <math>A</math> wygodnie jest odczytywać jako problem dotyczący przekształcenia liniowego <math>\nu \cdot \cdot</math>:
* istnienie rozwiązań jest równoważne temu, że wektor prawych stron <math>\mathbf b</math> należy do obrazu przekształcenia <math>\nu \circ \cdot</math>,
* jednoznaczność rozwiązań jest równoważna [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowości]] przekształcenia <math>\nu \circ \cdot</math>, czyli znikaniu jego [[jądro (algebra)#Przekształcenie liniowe|jądra]].

Inaczej rzecz ujmując rozpatrywanie macierzy układu równań liniowych jako macierzy przekształcenia liniowego pozwala na geometryczne rozwiązywanie układów równań liniowych.


Rozpatrywanie macierzy układu równań liniowych jako macierzy przekształcenia liniowego umożliwia zatem geometryczne rozwiązywanie układów równań liniowych.
Jeśli <math>A \in K^m_n</math> jest macierzą przekształcenia liniowego <math>\varphi\colon V \to W</math> względem pewnych baz uporządkowanych, to dla macierzy <math>B \in K^m_n</math> można wskazać bazy uporządkowane dziedziny i przeciwdziedziny takie, że <math>B</math> będzie macierzą tego samego przekształcenia liniowego w nowych bazach wtedy i tylko wtedy, gdy macierze <math>A</math> i <math>B</math> mają równe [[#Rząd macierzy|rzędy]]. Ten fakt pozostaje prawdziwy dla macierzy nad pierścieniami ideałów głównych, choć definicja rzędu jest nieco bardziej zawiła.


===Macierz przejścia===
===Macierz przejścia===
Ten sam wektor ma z reguły różne współrzędne w różnych [[Baza (przestrzeń liniowa)|bazach]] uporządkowanych. Do tworzenia nowych baz uporządkowanych i zapisu zmian współrzędnych służy '''macierz przejścia''' (macierz zmiany bazy).
Ten sam wektor ma z reguły różne współrzędne w różnych [[Baza (przestrzeń liniowa)|bazach]] uporządkowanych. Podobnie rzecz ma się z macierzami: jeśli <math>A \in K^m_n</math> jest macierzą przekształcenia liniowego <math>\mathrm A\colon V \to W</math> względem pewnych baz uporządkowanych, to dla macierzy <math>B \in K^m_n</math> można wskazać bazy uporządkowane dziedziny i przeciwdziedziny takie, że <math>B</math> będzie macierzą tego samego przekształcenia liniowego w nowych bazach wtedy i tylko wtedy, gdy macierze <math>A</math> i <math>B</math> mają równe [[#Rząd macierzy|rzędy]]<ref>ten fakt pozostaje prawdziwy dla macierzy nad pierścieniami ideałów głównych, choć definicja rzędu jest nieco bardziej zawiła</ref>. Do tworzenia nowych baz uporządkowanych i zapisu zmian współrzędnych służy '''macierz przejścia''' (macierz zmiany bazy).


Niech <math>\mathcal B = \begin{pmatrix} v_1, v_2, \dots, v_n \end{pmatrix}</math> będzie bazą uporządkowaną przestrzeni liniowej <math>V</math>, w tym kontekście nazywaną ''starą'' bazą, a <math>\mathcal B^\prime = \begin{pmatrix} w_1, w_2, \dots, w_n \end{pmatrix}</math> układem (ciągiem) wektorów, to jest on wyznaczony jednoznacznie przez macierz <math>P</math>, której kolumną o numerze <math>j</math> jest kolumna współrzędnych
Niech <math>\mathcal B = \begin{pmatrix} v_1, v_2, \dots, v_n \end{pmatrix}</math> będzie bazą uporządkowaną przestrzeni liniowej <math>V</math>, w tym kontekście nazywaną ''starą'' bazą, a <math>\mathcal B^\prime = \begin{pmatrix} w_1, w_2, \dots, w_n \end{pmatrix}</math> układem wektorów (pionowych), to jest on wyznaczony jednoznacznie przez macierz <math>P</math>, której kolumną o numerze <math>j</math> jest kolumna współrzędnych
:<math>\begin{pmatrix} p_{1j} \\ p_{2j} \\ \vdots \\ p_{nj} \end{pmatrix}</math>
:<math>\begin{pmatrix} p_{1j} \\ p_{2j} \\ \vdots \\ p_{nj} \end{pmatrix}</math>
współrzędnych wektora <math>w_j</math> w bazie <math>\mathcal B</math>:
współrzędnych wektora <math>w_j</math> w bazie <math>\mathcal B</math>:
Linia 406: Linia 432:
; Uwaga : W powyższym wzorze występują dwie macierze o jednym wierszu, których elementami są wektory oraz jedna macierz <math>P</math> nad ciałem.
; Uwaga : W powyższym wzorze występują dwie macierze o jednym wierszu, których elementami są wektory oraz jedna macierz <math>P</math> nad ciałem.


Układ <math>\mathcal B^\prime</math> jest bazą uporządkowaną, nazywaną w tym kontekście ''nową'', wtedy i tylko wtedy, gdy macierz <math>P</math> jest [[macierz odwrotna|odwracalna]], wówczas nazywa się ją '''macierzą przejścia''' (macierzą zmiany bazy) od bazy uporządkowanej <math>\mathcal B</math> do bazy <math>\mathcal B^\prime</math>.
Układ <math>\mathcal B^\prime</math> jest bazą uporządkowaną, nazywaną w tym kontekście ''nową'', wtedy i tylko wtedy, gdy macierz <math>P</math> jest [[macierz odwrotna|odwracalna]]. Wówczas nazywa się ją '''macierzą przejścia''' (macierzą zmiany bazy) od bazy <math>\mathcal B</math> do bazy <math>\mathcal B^\prime</math>.


Dla danej bazy uporządkowanej (''starej'') przestrzeni liniowej każda macierz odwracalna <math>P</math> wyznacza (''nową'') bazę uporządkowaną tej przestrzeni, z kolei każda nowa baza uporządkowana wyznacza „swoją” macierz przejścia względem istniejącej. Wspomniane dwa przyporządkowania:
Dla danej bazy uporządkowanej (''starej'') przestrzeni liniowej każda macierz odwracalna <math>P</math> wyznacza (''nową'') bazę uporządkowaną tej przestrzeni, z kolei każda nowa baza uporządkowana wyznacza „swoją” macierz przejścia względem istniejącej. Wspomniane dwa przyporządkowania:
* macierz odwracalna <math>\mapsto</math> nowa baza,
* macierz odwracalna <math>\mapsto</math> nowa baza,
* nowa baza <math>\mapsto</math> macierz prześcia,
* nowa baza <math>\mapsto</math> macierz przejścia,
są do siebie wzajemnie odwrotne.
są do siebie wzajemnie odwrotne.


Linia 431: Linia 457:


===Macierz endomorfizmu===
===Macierz endomorfizmu===
Endomorfizmem przestrzeni liniowej <math>V</math> nazywamy przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie, tzn. przestrzeń <math>V</math> jest tak dziedziną jak i przeciwdziedziną tego przekształcenia. W związku z tym wystarczy rozważać tylko jedną, wspólną dla nich bazę uporządkowaną. Niech <math>\mathcal B</math> będzie więc bazą uporządkowaną tej przestrzeni.
'''Endomorfizmem''' przestrzeni liniowej <math>V</math> nazywamy przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie, tzn. przestrzeń <math>V</math> jest tak dziedziną jak i przeciwdziedziną tego przekształcenia. W związku z tym wystarczy rozważać tylko jedną, wspólną dla nich bazę uporządkowaną. Niech <math>\mathcal B</math> będzie więc bazą uporządkowaną tej przestrzeni.


Macierzą endomorfizmu <math>\varphi</math> względem <math>\mathcal B</math> jest zatem macierz przekształcenia liniowego <math>\varphi</math> względem tej bazy. Macierze endomorfizmów są kwadratowe.
Macierzą endomorfizmu <math>\varphi</math> względem <math>\mathcal B</math> jest zatem macierz przekształcenia liniowego <math>\varphi</math> względem tej bazy. Macierze endomorfizmów są kwadratowe.
Linia 460: Linia 486:


====Ortogonalność====
====Ortogonalność====
W każdym z tych dwóch przypadków [[relacja (matematyka)|relacja]] [[ortogonalność|ortogonalności]] (prostopadłości) wektorów <math>v \perp w \iff B(v,w) = 0</math> jest [[relacja symetryczna|symetryczna]] (ma sens); w przypadku funkcjonału symetrycznego baza uporządkowana <math>(v_1, v_2, \dots, v_n)</math> jest bazą ortogonalną, gdy macierz <math>G</math> jest diagonalna. Baza uporządkowana jest ortonormalna (prostopadła i unormowana), gdy macierz <math>G</math> jest jednostkowa.
W każdym z powyższych przypadków [[relacja (matematyka)|relacja]] [[ortogonalność|ortogonalności]] (prostopadłości) wektorów <math>v \perp w \iff B(v,w) = 0</math> jest [[relacja symetryczna|symetryczna]] (ma sens); w przypadku funkcjonału symetrycznego baza uporządkowana <math>(v_1, v_2, \dots, v_n)</math> jest bazą ortogonalną (prostopadłą), gdy macierz <math>G</math> jest diagonalna. Baza uporządkowana jest ortonormalna (prostopadła i unormowana), gdy macierz <math>G</math> jest jednostkowa.


; Uwaga! : Przestrzenie na których można określić antysymetryczny funkcjonał dwuliniowy, czyli [[przestrzeń symplektyczna|przestrzenie symplektyczne]] na ogół nie mają baz prostopadłych!
; Uwaga! : Przestrzenie na których można określić antysymetryczny funkcjonał dwuliniowy, czyli [[przestrzeń symplektyczna|przestrzenie symplektyczne]] na ogół nie mają baz prostopadłych!
Linia 480: Linia 506:
: <math>G_B(w_1, w_2, \dots, w_n) = P^T G_B(v_1, v_2, \dots, v_n) P</math>.
: <math>G_B(w_1, w_2, \dots, w_n) = P^T G_B(v_1, v_2, \dots, v_n) P</math>.


===Rząd macierzy===
===Rząd macierzy i jej minory===
Dla danej macierzy <math>A</math> typu <math>n \times m</math> nad ciałem <math>K</math> można wybrać w dowolny sposób ''k'' wierszy i ''k'' kolumn, przy czym <math>k \le \min (m, n)</math>. Wybrane w ten sposób elementy tworzą macierz kwadratową stopnia ''k''. Wyznacznik tej macierzy nazywamy '''[[minor macierzy|minorem]]''' stopnia ''k'' macierzy <math>A</math>. Minory zawierające elementy głównej przekątnej w porządku rosnącym nazywa się '''minorami głównymi'''.
Dla <math>n \times m</math>-macierzy <math>A</math> nad ciałem <math>K</math> rozważa się dwie [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenie liniowe]]:
*podprzestrzeń przestrzeni <math>K^n = K^1_n</math> generowaną przez kolumny macierzy <math>A</math>,
*podprzestrzeń przestrzeni <math>K^m = K^m_1</math> generowaną przez wiersze macierzy <math>A</math>.


Dowodzi się, że ich wymiary równe, a wspólną wartość ich nazywamy '''rzędem''' <math>r(A)</math> macierzy <math>A</math>. Dowodzi się również, że ten wymiar jest stopniem największego niezerowego minora macierzy <math>A</math>; każdy niezerowy minor macierzy <math>A</math> stopnia równego jej rzędowi nazywamy '''minorem bazowym''' tej macierzy. Macierz kwadratowa stopnia <math>n</math> jest '''nieosobliwa''', gdy jej rząd jest równy jej stopniowi. Oczywiście rząd macierzy ''A'' nie przekracza liczby jej wierszy i liczby jej kolumn.
'''Rzędem macierzy''' nazywa się najwyższy spośród stopni niezerowych minorów tej macierzy, czyli macierz ''A'' ma rząd ''r'', jeśli istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia ''r'', a wszystkie minory wyższych stopni są równe zeru. Przyjmuje się, że rząd macierzy zerowej jest równy zeru. Z definicji rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy, czy kolumn. Każdy niezerowy minor macierzy <math>A</math> stopnia równego jej rzędowi nazywamy '''minorem bazowym''' tej macierzy. Macierz kwadratowa stopnia <math>n</math> jest nieosobliwa, gdy jej rząd jest równy jej stopniowi.

Powyższa metoda wyznaczania rzędu okazuje się często kłopotliwa, szczególnie przy dużych macierzach. Można jednak skorzystać z własności przekształceń liniowych, wówczas dla macierzy <math>A</math> rozważa się dwie [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenie liniowe]]:
*podprzestrzeń przestrzeni <math>K^n = K^1_n</math> generowaną przez jej kolumny,
*podprzestrzeń przestrzeni <math>K^m = K^m_1</math> generowaną przez jej wiersze.

Wymiary tych podprzestrzeni są równe (opisują one tą samą przestrzeń zanurzoną w przestrzeniach generowanych przez kolumny lub wiersze). Ich wspólną wartość nazywa się '''rzędem''' macierzy <math>A</math> i oznacza <math>\mathrm{rank}\; A</math> bądź krótko <math>\mathrm r\; A</math>.


====Własności====
====Własności====
Linia 491: Linia 521:


Prawdziwe są jednak poniższe nierówności
Prawdziwe są jednak poniższe nierówności
: <math>r(A + B) \leqslant r\begin{pmatrix}A|B\end{pmatrix} \leqslant r(A) + r(B)</math>,
: <math>\mathrm r(A + B) \leqslant \mathrm r\begin{pmatrix}A|B\end{pmatrix} \leqslant \mathrm r\; A + \mathrm r\; B</math>,
: <math>r(AB) \leqslant r(A)</math> oraz <math>r(AB) \leqslant r(B)</math>.
: <math>\mathrm r(AB) \leqslant \mathrm r\; A</math> oraz <math>\mathrm r(AB) \leqslant \mathrm r\; B</math>.


Jeśli macierz <math>B</math> jest nieosobliwa, to zachodzą równości
Jeśli macierz <math>B</math> jest nieosobliwa, to zachodzą równości
: <math>r(AB) = r(A) = r(BA)</math>.
: <math>\mathrm r(AB) = \mathrm r\; A = \mathrm r(BA)</math>.


====Rząd macierzy nad pierścieniem ideałów głównych====
====Pierścień ideałów głównych====
Nad pierścieniem [[ideał główny|ideałów głównych]] <math>R</math> [[podmoduł]] [[moduł wolny|modułu wolnego]] jest modułem wolnym i jego ranga nie przekracza rangi całego modułu. Dla <math>n \times m</math>-macierzy <math>A</math> nad pierścieniem ideałów głównych <math>R</math> rozważa się dwa podmoduły:
Nad pierścieniem [[ideał główny|ideałów głównych]] <math>R</math> [[podmoduł]] [[moduł wolny|modułu wolnego]] jest modułem wolnym i jego ranga nie przekracza rangi całego modułu. Dla <math>n \times m</math>-macierzy <math>A</math> nad pierścieniem ideałów głównych <math>R</math> rozważa się dwa podmoduły:
*podmoduł modułu wolnego <math>R^n = R^1_n</math> generowany przez kolumny macierzy <math>A</math>,
*podmoduł modułu wolnego <math>R^n = R^1_n</math> generowany przez kolumny macierzy <math>A</math>,
Linia 510: Linia 540:
* Powiemy, że macierze <math>A</math> i <math>B</math> są '''równoważne względem przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach)''' wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy <math>A</math>, których zastosowanie do macierzy <math>A</math> da macierz <math>B</math>. Dla macierzy nad ciałem (nawet nad pierścieniem ideałów głównych) elementarna równoważność pokrywa się z równoważnością.
* Powiemy, że macierze <math>A</math> i <math>B</math> są '''równoważne względem przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach)''' wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy <math>A</math>, których zastosowanie do macierzy <math>A</math> da macierz <math>B</math>. Dla macierzy nad ciałem (nawet nad pierścieniem ideałów głównych) elementarna równoważność pokrywa się z równoważnością.


==Funkcje przestępne macierzy==
==Funkcje macierzy==
===Funkcje wymierne===
Niektóre funkcje przestępne można uogólnić na macierze rzeczywiste. Powiemy, że ciąg
Niech <math>X</math> będzie macierzą kwadratową stopnia <math>n</math>. Definicję [[funkcja wymierna|funkcji wymiernej]] można rozszerzyć na argumenty będące macierzami:
:<math>A_1, A_2, \dots</math>
: <math>P(X) = A_0 X^m + A_1 X^{m-1} + \dots + A_m I</math> nazywa się '''wielomianem prawostronnym''', a
macierzy rzeczywistych jest zbieżny, gdy wszystkie ciągi poszczególnych elementów jego wyrazów są zbieżne.
: <math>\tilde P(X) = X^m A_0 + X^{m-1} A_1 + \dots + I A_m</math> to '''wielomian lewostronny'''.

przy czym <math>A_i\; (i = 0, \dots, m)</math> są macierzami <math>m \times n</math>, bądź odpowiednio <math>n \times m</math>, macierz jednostkowa <math>I</math> jest stopnia <math>n</math>. Na ogół <math>P(X) \ne \tilde P(X)</math>.

Można również określić funkcje ułamkowe definiując je wzorami
: <math>R_1(X) = P(X) (Q(X))^{-1}</math> oraz <math>R_2(X) = (Q(X))^{-1} P(X)</math> ,

gdzie <math>P(X), Q(X)</math> są wielomianami względem macierzy <math>X</math>, a macierz <math>Q</math> jest nieosobliwa.

===Granica ciągu i szeregi===
{{main|granica ciągu|szereg (matematyka)}}
Jeżeli dany jest ciąg macierzy <math>A_k = (a^{(k)}_{ij}),\; k = 1, 2, \dots</math> tego samego typu <math>m \times n</math> (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n), to '''granicą''' ciągu macierzy <math>A_k</math> nazywa się macierz
:<math>A = \lim_{k \to \infty} A_k = (\lim_{k \to \infty} a^{(k)}_{ij})</math>.

Niech <math>\|\cdot\|</math> będzie dowolną normą kanoniczną macierzy. Ciąg <math>A_k</math> posiada granicę <math>A</math>, czyli jest '''zbieżny''', wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\|A - A_k\| \to 0</math> dla <math>k \to \infty</math>. Wtedy <math>\lim_{k \to \infty} \|A_k\| = \|A\|</math>. Ciąg <math>A_k \to \Theta</math> przy <math>k \to \infty</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\lim_{k \to \infty} \|A_k\| = 0</math>.

Granice macierzy mają te same [[Granica ciągu#Własności|własności]], co granice liczbowe, o ile działania na macierzach są wykonalne (przy czym warunek niezerowości przy ilorazie oznacza odwracalność). Obowiązuje również odpowiednio sformułowany [[warunek Cauchy'ego]].

'''Szeregi''' definiuje się analogicznie do szeregów liczbowych,
:<math>\sum^{\infty}_{k=1} A_k = \lim_{N \to \infty} \sum^{N}_{k=1} A_k</math>,
przy czym macierze <math>A_k</math> są tego samego typu. Jeśli powyższa granica istnieje, to nazywa się ją '''sumą szeregu''', a sam szereg macierzowy nazywa się '''zbieżnym''', wtedy też <math>\lim_{k \to \infty} A_k = 0</math>. W przeciwnym wypadku nosi on nazwę '''rozbieżnego''' i nie przypisuje mu się żadnej sumy. Wspomniany szereg nazywa się '''zbieżnym bezwzględnie''', jeżeli zbieżny jest szereg <math>\sum^{\infty}_{k=1} |A_k|</math>, taki szereg jest oczywiście zbieżny. Jeżeli szereg liczbowy <math>\sum^{\infty}_{k=1} \|A_k\|</math>, gdzie <math>\|\cdot\|</math> jest dowolną normą kanoniczną, jest zbieżny, to zbieżny, i to bezwzględnie, jest szereg <math>\sum^{\infty}_{k=1} A_k</math>.

Rozważa się również macierzowe '''szeregi potęgowe''':
* prawostronny: <math>\sum^{\infty}_{k=0} A_k X^k</math>
* lewostronny: <math>\sum^{\infty}_{k=0} X^k A_k</math>
Należy zaznaczyć, że ''X'' jest macierzą kwadratową stopnia ''n''. Od macierzy <math>A_k</math> wymaga się, aby w pierwszym przypadku miały ''n'' kolumn lub były liczbami (dozwolone są także wektory wierszowe), a w drugim ''n'' wierszy lub były skalarami (możliwe jest również użycie wektorów kolumnowych).

Jeżeli ''r'' jest promieniem zbieżności szeregu liczbowego <math>\sum^{\infty}_{k=1} \|A_k\| x^k</math>, gdzie <math>\|\cdot\|</math> jest normą kanoniczną, to lewo- i prawostronne szeregi potęgowe są również zbieżne przy <math>\|X\| < r</math>. W szczególności szereg <math>\sum^{\infty}_{k=0} a_k X^k</math>, gdzie <math>a_k</math> są skalarami jest zbieżny przy <math>\|X\| < r</math>, gdzie ''r'' jest promieniem zbieżności szeregu <math>\sum^{\infty}_{k=0} |a_k| x^k</math>.

===Funkcje przestępne===
Za pomocą szeregów macierzowych można określić [[funkcja przestępna|funkcje przestępne]] macierzy.


Przykładowo przyjmuje się
Szereg
:<math>I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\dots</math>
:<math>e^X = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{X_n}{!n}</math>.
jest zbieżny dla każdej macierzy <math>A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})</math>; jego granicę oznaczamy przez <math>\exp A</math>.
Szereg ten jest zbieżny dla każdej macierzy kwadratowej <math>X</math>.


==Uogólnienia==
==Uogólnienia==

Wersja z 23:47, 2 lut 2008

Macierz dwuwskaźnikowa – prostokątna tablica danych nazwanych elementami lub współczynnikami, pogrupowanych w wiersze i kolumny. Dwie macierze są równe, jeżeli mają tyle samo wierszy i kolumn, a odpowiadające sobie współczynniki są równe. Macierz o wierszach i kolumnach nazywa się czasami -macierzą lub macierzą typu .

Słowo "macierz" najczęściej oznacza macierz dwuwskaźnikową, rozważa się również macierze wielowskaźnikowe.

Zwykle rozważa się macierze o elementach z ustalonego zbioru. Jeżeli na zbiorze tym określona jest pewna struktura algebraiczna, pozwala to wprowadzić działania algebraiczne na macierzach. Najczęściej przyjmuje się, że współczynniki macierzy są elementami pewnego ciała; rzadziej rozważa się macierze nad pierścieniem przemiennym.

Formalnie biorąc, macierz elementów zbioru o wierszach i kolumnach jest funkcją

.

Historia

Pierwszymi macierzami były prawdopodobnie kwadraty magiczne 3×3, które w literaturze chińskiej pojawiają się już ok. 650 p.n.e.[1].

Ważny chiński tekst matematyczny, powstały między III wiekiem p.n.e. a II wiekiem n.e. Dziewięć Rozdziałów o Sztuce Matematyki (Jiu Zhang Suan Shu) jest pierwszym przypadkiem użycia macierzy do rozwiązania układu równań liniowych[2] W rozdziale siódmym, Zbyt dużo i nie wystarczająco po raz pierwszy wprowadzono koncepcję wyznacznika, prawie 2000 lat przed jego publikacją przez japońskiego matematyka Seki Kowa w 1683 i niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza w 1693.

Kwadraty magiczne były znane także arabskim matematykom, prawdopodobnie już w VII wieku, kiedy Arabowie podbili północnozachodnie części subkontynentu indyjskiego i przejęli zdobycze matematyki i astronomii hinduskiej. Być może idea ta dotarła do nich przez Chiny. Pierwsze kwadraty magiczne rzędu 5 i 6 pojawiły się w Encyklopedii Bractwa Czystości (arab. رسائل أخوان الصفا و خلان الوفا) z Bagdadu około 983 roku. Prostsze kwadraty magiczne były znane wielu wcześniejszym matematykom arabskim[1].

Po opracowaniu teorii wyznaczników (dzisiaj mówimy o wyznacznikach macierzy) przez Seki Kowa i Leibniza pod koniec XVII wieku, Cramer rozwinął ją dalej w XVIII wieku, znajdując, w roku 1750, wzory na rozwiązania układów równań liniowych, nazwane później wzorami Cramera. Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan opracowali, na początku XIX wieku, metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną dziś metodą eliminacji Gaussa-Jordana

W XIX wieku znano wyznaczniki i oczywiście kwadraty magiczne, dopiero jednak James Joseph Sylvester i Arthur Cayley wprowadzili macierze dwuwskaźnikowe jako sposób przejrzystego zapisu dużej liczby powiązanych strukturalnie danych – współrzędnych wektorów w ustalonej bazie przestrzeni liniowej czy współczynników układu równań.

Termin "macierz" pojawił się po raz pierwszy w 1848, użyty przez Jamesa J. Sylvestera. Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius i John von Neumann przyczynili się do rozwoju teorii macierzy.

Oznaczenia

kolumny macierzy
wiersze macierzy

Elementy macierzy identyfikuje się przez podanie uporządkowanej pary liczb nazywanej wskaźnikami lub indeksami, kolejno: numer wiersza i numer kolumny[3], na przecięciu których znajduje się dany element.

Macierz oznacza się zwykle wielką literą, a jej elementy małą literą ze wskaźnikami w indeksie dolnym[4], np. macierz ma element (czyt. a-jeden-jeden) w lewym górnym rogu, a element w -tym wierszu i -tej kolumnie.

W informatyce odpowiednikiem macierzy jest tablica dwuwymiarowa. Element tablicy w wierszu i kolumnie oznaczany jest w zależności od języka programowania np. A(i, j); A[i, j]; A[i][j]; A{i, j}.

Spotyka się różne sposoby oznaczania macierzy – przeważnie stosowane są nawiasy okrągłe[5] lub kwadratowe, gdzieniegdzie spotyka się jeszcze [6] zapis w podwójnych pionowych kreskach (co czasem przypomina wartość bezwzględną wyznacznika), np.:

Podstawowe pojęcia

Sposób strukturyzacji danych w postaci macierzy pozwala na łatwą organizację i zmianę danych poprzez przestawianie, łączenie, wydzielanie itp. Niech będzie macierzą o wierszach i kolumnach:

  • Macierzą transponowaną (przestawioną) do , oznaczaną , nazywamy macierz o wierszach i kolumnach, której wiersze są kolumnami danej macierzy , a kolumny są wierszami macierzy . Geometrycznie odpowiada to obrotowi macierzy wokół osi przechodzącej przez lewy górny i prawy dolny róg. Formalnie wzór na macierz przestawioną do macierzy przedstawia się następująco:
    dla każdych .
  • Macierz nazywamy kwadratową, gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli . Zamiast „macierz kwadratowa o wierszach i kolumnach” mówi się „macierz kwadratowa stopnia ”. Macierz, która nie jest kwadratową, nazywa się prostokątną. Główną przekątną macierzy kwadratowej nazywamy wektor .
  • Podmacierz macierzy to dowolna macierz powstająca z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.
  • Macierz klatkowa to macierz z wprowadzonym dodatkowym podziałem wierszy i kolumn na grupy kolejnych wierszy i kolumn. Obrazowo macierz klatkowa to macierz, w której poprowadzono poziome i pionowe linie wzdłuż jej wierszy lub kolumn dzielące ją tym samym na podmacierze nazywane wówczas klatkami. Dzięki temu podziałowi możliwe jest również rozważanie macierzy, której elementami są podmacierze (klatki).
  • Odwrotnie, mając dany zestaw „pasujących” macierzy można zestawiać z nich macierze klatkowe. Jeśli dane są na przykład macierze:
    o wierszach i kolumnach, o wierszach i kolumnach,
    o wierszach i kolumnach i o wierszach i kolumnach,
to można z nich zestawić macierz klatkową
.
Wzór na elementy takiej macierzy jest mniej komunikatywny niż obrazek.

Zastosowania

Matematyka

Fizyka i elektronika

Statystyka

Optymalizacja

Informatyka i telekomunikacja

Pozostałe dziedziny

Kultura popularna

Działania algebraiczne

Niech zbiór elementów macierzy będzie pierścieniem przemiennym z jedynką (w szczególności – ciałem, takim jak liczby rzeczywiste), mówimy wtedy o macierzy nad . Można wtedy w zbiorze wszystkich macierzy o wierszach, kolumnach i elementach z pierścienia określić pewne działania. Dalej będziemy przyjmować, o ile nie powiedziano inaczej, że macierze są określone są właśnie nad tym pierścieniem.

Macierze oraz nazywa się równymi, jeśli mają tę samą liczbę wierszy oraz kolumn oraz odpowiadające sobie elementy są równe, tzn. dla wszystkich .

Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie niezerowe elementy znajdują się wyłącznie na głównej przekątnej. Innymi słowy: macierz jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla . Często dla oszczędności miejsca macierz diagonalną stopnia zapisuje się jako .

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej, która na przekątnej ma same jedynki. Macierz zerowa to macierz złożona z samych zer. Niekiedy do symbolu tych macierzy w indeksie dolnym dodaje się ich stopień.

Dodawanie i mnożenie przez skalar

 Osobny artykuł: dodawanie macierzy.

Mnożenie macierzy przez stałą (skalar, element pierścienia) oraz dodawanie macierzy definiuje się następująco:

  • .

Słownie: mnożenie macierzy przez skalar polega na wymnożeniu przez niego wszystkich jej elementów, a dodawanie macierzy na dodaniu odpowiadających sobie elementów. Analogicznie definiuje się różnicę macierzy.

Zbiór z dodawaniem jest grupą przemienną: łączność i przemienność działań w pierścieniu przenosi się na działania na macierzach, elementem neutralnym jest macierz zerowa o wszystkich elementach równych , elementem przeciwnym do macierzy jest macierz , którą nazywa się macierzą przeciwną do . Oczywiście jest o ile macierze te są zgodnego typu.

Mnożenie przez skalar spełnia warunki:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

zatem zbiór z dodawaniem i mnożeniem przez skalary jest modułem nad pierścieniem . Moduł ten jest wolny rangi

Jeśli pierścień jest ciałem, to zbiór z powyższymi działaniami staje się przestrzenią liniową nad ciałem o wymiarze .

Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnych są macierze postaci nazywane macierzami skalarnymi. W szczególności:

Przykład mnożenia przez skalar

Przykład dodawania macierzy

Mnożenie

 Osobny artykuł: mnożenie macierzy.
Elementy mnożonych macierzy, składające się na wynik w danej komórce

Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, jednak niżej określone, nazywane mnożeniem Cauchy'ego, ma wiele zastosowań w algebrze liniowej, w której macierze służą do zapisu przekształceń liniowych – odpowiada ono ich składaniu. Macierze można również mnożyć używając iloczynu Kroneckera.

Iloczyn macierzy (nazywanej w tym kontekście lewym czynnikiem) i macierzy (prawy czynnik) jest macierzą taką, że

.

W zbiorze macierzy kwadratowych ich mnożenie jest działaniem wewnętrznym.

Przykłady mnożenia macierzy

Własności

Mnożenie ma ciąg częściowych elementów neutralnychmacierzy jednostkowych, czyli macierzy kwadratowych stopnia oznaczanych symbolem , których wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe jedności, a pozostałe zeru. Dla macierzy jest

.

Mnożenie macierzy nie jest przemienne, np.

,

ale z drugiej strony

.

również w przypadku macierzy kwadratowych:

.

Mnożenie macierzy jest jednak łączne oraz rozdzielne lewo- i prawostronnie względem dodawania:

  • i

co oznacza, że zbiór macierzy kwadratowych stopnia tworzy pierścień nieprzemienny.

Ponadto:

  • .

Powyższe równości należy rozumieć w następujący sposób: jeśli istnieje jedna ze stron, wówczas istnieje druga i są one sobie równe.

Jeśli są kolumnami macierzy , to -tą kolumną macierzy jest .

Jeśli są wierszami macierzy , to -tym wierszem macierzy jest .

Potęgowanie macierzy

 Osobny artykuł: potęgowanie macierzy.

Potęgę macierzy kwadratowej o wykładniku wyrażającym się liczbą naturalną n określa się w zwyczajowo jako n-krotny iloczyn macierzy przez siebie. Z własności mnożenia macierzy wynika, że to działanie jest określone wyłącznie dla macierzy kwadratowych. Jeżeli macierz jest odwracalna, rozszerzenie definicji na liczby całkowite przebiega wg wzoru . Dodatkowo przyjmuje się .

Macierze diagonalne i skalarne

Mnożenie macierzy diagonalnych jest szczególnie proste:

.

W szczególności macierze diagonalne są przemienne z macierzami diagonalnymi (ale niekoniecznie z innymi macierzami):

Macierz kwadratowa stopnia n jest przemienna z wszystkimi macierzami kwadratowymi stopnia n wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą skalarną.

Pierścienie nieprzemienne

Mnożenie macierzy nad pierścieniem nieprzemiennym określa się jak wyżej, pojawia się jednak wiele subtelności, a działanie nie ma tak dobrych własności jak w poprzednim przypadku. Mimo to mnożenie takich macierzy nadal jest użyteczne, czego przykładem mogą być enumerator i denumerator marszrut w grafie.

Niech będzie zbiorem wierzchołków grafu zorientowanego, a dla danych przez oznaczymy zbiór krawędzi z do .

Jeśli w zbiorze skończonych ciągów krawędzi określić działanie konkatenacji (czyli dopisywania) jako mnożenie i rozszerzyć je na formalne sumy takich ciągów tak, by było ono rozdzielne względem dodawania (rolę zera pełni ciąg pusty), to dla macierzy , gdzie macierz ma w wierszu i kolumnie sumę wszystkich marszrut długości prowadzących z do .

Jeśli w macierzy każdy symbol zastąpić jedynką, to po wykonaniu działania powstanie macierz mająca w wierszu i kolumnie liczbę marszrut długości z do .

Moduł i norma macierzy

Niech macierze tego samego typu będą zbudowane nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Nierówność oznacza, że . Wynika stąd, że nie wszystkie macierze można porównywać w ten sposób.

Wartością bezwzględną (modułem) macierzy nazywa się macierz , gdzie wartościami bezwzględnymi (modułami) elementów. Jeśli dla wspomnianych macierzy operacje dodawania i mnożenia mają sens, to

  • , gdzie jest skalarem.
  • , skąd wynika też

Norma macierzy to liczba rzeczywista taka, dla której spełnione są aksjomaty normy i jest macierzą dla której poniższe działania mają sens:

  • , gdzie jest skalarem, w szczególności
  • , skąd wynika też

Bezpośrednim wnioskiem z powyższych własności jest

Jeśli spełnione są dodatkowe warunki

  • , przy czym dla jest
  • , w szczególności

to normę macierzy nazywamy kanoniczną.

Odwracalność i nieosobliwość

 Osobne artykuły: macierz odwrotnawyznacznik.

Macierz jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz , dla której

,

gdzie jest macierzą jednostkową.

Jeżeli taka macierz nie istnieje, to macierz nazywamy nieodwracalną, w przeciwnym wypadku macierz nazywa się macierzą odwrotną do macierzy i oznacza się ją wówczas przez .

Powyższe definicje jednoznacznie wyznaczają element odwracalny oraz odwrotny w pierścieniu (nieprzemiennym z jedynką) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia z działaniami dodawania i mnożenia macierzy określonymi wyżej.

Jeżeli pierścień , nad którym zbudowana jest macierz kwadratowa, jest przemienny, to można zdefiniować jej wyznacznik[15]. Macierzą nieosobliwą (niezdegenerowaną) nazywamy każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą (zdegenerowaną) nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (w ciele: zerowym).

Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa stopnia nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Przekształcenia i macierze elementarne

 Osobny artykuł: macierz elementarna.

Przekształceniami elementarnymi na wierszach są:

  • zamiana miejscami dwóch różnych wierszy macierzy,
  • pomnożenie jednego z wierszy macierzy przez liczbę różną od zera,
  • dodanie do jednego wiersza macierzy innego wiersza tej samej macierzy.

Macierz elementarna to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednego przekształcenia elementarnego na jej wierszach. Są one istotne przede wszystkim z tego powodu, iż nie zmieniają rzędu macierzy. Ponieważ nie zmieniają one rozwiązywań układów równań liniowych, wykorzystywane są one do ich rozwiązywania w metodzie Gaussa. Za ich pomocą jest też definiowana elementarna równoważność.

Algebra liniowa

W tej sekcji rozważać będziemy macierze nad pewnym ustalonym .

Poniższe zastosowania macierzy są ściśle ze sobą powiązane, choć niektóre z nich związane są z istnieniem (skończonych) baz w przestrzeniach liniowych skończonego wymiaru. Należy zauważyć, że każdemu wektorowi przyporządkować wzajemnie jednoznacznie ciąg jego współrzędnych względem bazy uporządkowanej (tzn. bazy z ustaloną kolejnością wektorów).

Macierz przekształcenia liniowego

Jeśli jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowych skończonego wymiaru[16], to dla każdej bazy uporządkowanej dziedziny i każdej bazy uporządkowanej przeciwdziedziny przekształceniu odpowiada (istnieje między nimi izomorfizm) macierz o wierszach i kolumnach taka, że jest współrzędną wektora przy wektorze , tzn.

.

Innymi słowy kolejne kolumny macierzy są współrzędnymi obrazów za pomocą przekształcenia w bazie wektorów względem bazy .

Współrzędne obrazu wektora wyrażają się przez współrzędne tego wektora wzorem

,

własność ta charakteryzuje macierz przekształcenia liniowego. Z tego też powodu istnieje wzajemna jednoznaczność między wektorami przestrzeni o ustalonej bazie, a macierzami , które zwyczajowo nazywa się wektorami kolumnowymi (zwykle po prostu wektorami), analogicznie macierze nazywa się wektorami wierszowymi.

W szczególności mnożenie macierzy o wierszach i kolumnach przez inną

opisuje przekształcenie liniowe przestrzeni w przestrzeń . Jego macierzą względem (naturalnie uporządkowanych) baz kanonicznych jest sama macierz . Przekształceniu identycznościowemu odpowiada macierz jednostkowa.

Niech będzie innym przekształceniem liniowym, zaś bazą uporządkowaną przestrzeni , a jest macierzą przekształcenia względem baz uporządkowanych . Macierzą złożenia (przekształcenia złożonego, superpozycji) względem baz uporządkowanych jest macierz . Czyli jak już wspomniano wcześniej mnożenie macierzy jest zgodne ze składaniem przekształceń liniowych.

Układy równań liniowych

 Osobny artykuł: układ równań liniowych.

Zapis

Niech dany będzie układ równań liniowych

zmiennych o współczynnikach . Wówczas

  • macierzą układu równań nazywamy macierz współczynników ,
  • kolumną wyrazów wolnych (prawych stron) nazywamy macierz
    ,
  • macierzą uzupełnioną (rozszerzoną) nazywamy macierz klatkową .

Jeśli dodatkowo kolumny macierzy oraz kolumnę zmiennych oznaczyć

,

to układ równań można zapisać wektorowo:

.

Wówczas powyższy układ można zapisać także macierzowo:

.

Macierz uzupełniona jednoznacznie określa układ równań, więc przy jego rozwiązywaniu można operować na krótszych w zapisie macierzach uzupełnionych.

Interpretacja geometryczna

Układ równań liniowych wyrażający się macierzą wygodnie czasem jest odczytywać jako problem dotyczący przekształcenia liniowego :

  • istnienie rozwiązań jest równoważne temu, że wektor prawych stron należy do obrazu przekształcenia ,
  • jednoznaczność rozwiązań jest równoważna różnowartościowości przekształcenia , czyli znikaniu jego jądra.

Rozpatrywanie macierzy układu równań liniowych jako macierzy przekształcenia liniowego umożliwia zatem geometryczne rozwiązywanie układów równań liniowych.

Macierz przejścia

Ten sam wektor ma z reguły różne współrzędne w różnych bazach uporządkowanych. Podobnie rzecz ma się z macierzami: jeśli jest macierzą przekształcenia liniowego względem pewnych baz uporządkowanych, to dla macierzy można wskazać bazy uporządkowane dziedziny i przeciwdziedziny takie, że będzie macierzą tego samego przekształcenia liniowego w nowych bazach wtedy i tylko wtedy, gdy macierze i mają równe rzędy[17]. Do tworzenia nowych baz uporządkowanych i zapisu zmian współrzędnych służy macierz przejścia (macierz zmiany bazy).

Niech będzie bazą uporządkowaną przestrzeni liniowej , w tym kontekście nazywaną starą bazą, a układem wektorów (pionowych), to jest on wyznaczony jednoznacznie przez macierz , której kolumną o numerze jest kolumna współrzędnych

współrzędnych wektora w bazie :

Uwaga
W powyższym wzorze występują dwie macierze o jednym wierszu, których elementami są wektory oraz jedna macierz nad ciałem.

Układ jest bazą uporządkowaną, nazywaną w tym kontekście nową, wtedy i tylko wtedy, gdy macierz jest odwracalna. Wówczas nazywa się ją macierzą przejścia (macierzą zmiany bazy) od bazy do bazy .

Dla danej bazy uporządkowanej (starej) przestrzeni liniowej każda macierz odwracalna wyznacza (nową) bazę uporządkowaną tej przestrzeni, z kolei każda nowa baza uporządkowana wyznacza „swoją” macierz przejścia względem istniejącej. Wspomniane dwa przyporządkowania:

  • macierz odwracalna nowa baza,
  • nowa baza macierz przejścia,

są do siebie wzajemnie odwrotne.

Macierz przejścia jest macierzą identycznościowego przekształcenia liniowego względem baz uporządkowanych i .

Związek między starymi współrzędnymi

wektora (współrzędnymi wektora względem starej bazy ) a nowymi współrzędnymi

(współrzędnymi tego samego wektora w nowej bazie ) łatwo zapisać za pomocą mnożenia macierzy:

.

Złożenie

Jeśli jest przekształceniem liniowym, a jego macierzą względem baz uporządkowanych i , dodatkowo jest nową bazą uporządkowaną dziedziny osiągalną dzięki macierzy przejścia , a jest nową bazą uporządkowaną przeciwdziedziny z macierzą przejścia , to macierzą przekształcenia względem nowych baz jest .

Rzeczywiście, mnożenie nowych współrzednych wektora przez macierz ma dawać w rezultacie nowe współrzędne wektora , a jeśli ciąg nowych współrzędnych wektora oznaczyć , to:

  • opisuje stare współrzędne wektora ,
  • daje stare współrzędne wektora ,
  • zawiera nowe współrzędne wektora .

Macierz endomorfizmu

Endomorfizmem przestrzeni liniowej nazywamy przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie, tzn. przestrzeń jest tak dziedziną jak i przeciwdziedziną tego przekształcenia. W związku z tym wystarczy rozważać tylko jedną, wspólną dla nich bazę uporządkowaną. Niech będzie więc bazą uporządkowaną tej przestrzeni.

Macierzą endomorfizmu względem jest zatem macierz przekształcenia liniowego względem tej bazy. Macierze endomorfizmów są kwadratowe.

Jeśli wspomniany endomorfizm ma macierz w bazie , a jest macierzą przejścia z tej bazy do nowej bazy uporządkowanej , to macierzą endomorfizmu względem bazy jest macierz .

Endomorfizmom odpowiada dużo mniej macierzy w różnych bazach niż przekształceniom liniowym, których bazy można zmieniać niezależnie od siebie. Dwie macierze tego samego endomorfizmu mają równe wyznaczniki, ślady, ogólnie: równe sumy minorów głównych odpowiednich stopni. Innymi słowy mają równe wielomiany charakterystyczne.

Pochodząca od Frobeniusa metoda pozwala rozeznać, czy dwie macierze kwadratowe tego samego stopnia mogą być macierzami danego endomorfizmu; wykorzystuje ona pojęcia czynnika niezmienniczego i/lub dzielnika elementarnego (macierzy charakterystycznej), a do określenia tych pojęć konieczne są macierze nad pierścieniem wielomianów. Powszechnie znany jest prosty wniosek wynikający z tej metody, który obowiązuje wyłącznie nad ciałami algebraicznie domkniętymi, jest to tzw. twierdzenie Jordana (postać kanoniczna/normalna Jordana) i może być ono dowodzone niezależnie od ogólnej teorii.

Macierz Grama, macierz funkcjonału dwuliniowego

Rozważmy przestrzeń liniową wymiaru nad ciałem i określony w niej funkcjonał dwuliniowy . Każdemu układowi (ciągowi) wektorów można przyporządkować macierz kwadratową stopnia

,

która w -tym wierszu i -tej kolumnie ma wartość funkcjonału na -tym i -tym wektorze. Tą macierz nazywamy macierzą Grama układu wektorów .

Jeśli powyższy układ wektorów jest bazą uporządkowaną, to macierz Grama tego układu nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego względem bazy uporządkowanej .

Z pomocą macierzy funkcjonału dwuliniowego jego wartości wyrażają się przez współrzędne wektorów wzorem:

,

własność ta charakteryzuje macierz funkcjonału dwuliniowego.

W szczególności funkcjonał dwuliniowy jest:

  • symetryczny, gdy jego macierz w pewnej/każdej bazie jest symetryczna,
    ,
  • antysymetryczny, gdy jego macierz w pewnej/każdej bazie jest antysymetryczna,
    .

Ortogonalność

W każdym z powyższych przypadków relacja ortogonalności (prostopadłości) wektorów jest symetryczna (ma sens); w przypadku funkcjonału symetrycznego baza uporządkowana jest bazą ortogonalną (prostopadłą), gdy macierz jest diagonalna. Baza uporządkowana jest ortonormalna (prostopadła i unormowana), gdy macierz jest jednostkowa.

Uwaga!
Przestrzenie na których można określić antysymetryczny funkcjonał dwuliniowy, czyli przestrzenie symplektyczne na ogół nie mają baz prostopadłych!

Przekształcenia liniowe

Macierz funkcjonału dwuliniowego również jest macierzą pewnego przekształcenia liniowego. Mianowicie dla każdego ustalonego wektora każde z wyrażeń jest funkcjonałem liniowym:

.

W ten sposób jeden funkcjonał dwuliniowy wyznacza dwa przekształcenia liniowe przestrzeni w jej przestrzeń sprzężoną :

,
.

Jeśli przyjąć za bazę przestrzeni sprzężonej bazę sprzężoną do bazy przestrzeni , to macierz jest macierzą przekształcenia liniowego względem tych baz, a macierzą przekształcenia liniowego jest macierz transponowana .

Jeśli jest macierzą przejścia do nowej bazy , to

.

Rząd macierzy i jej minory

Dla danej macierzy typu nad ciałem można wybrać w dowolny sposób k wierszy i k kolumn, przy czym . Wybrane w ten sposób elementy tworzą macierz kwadratową stopnia k. Wyznacznik tej macierzy nazywamy minorem stopnia k macierzy . Minory zawierające elementy głównej przekątnej w porządku rosnącym nazywa się minorami głównymi.

Rzędem macierzy nazywa się najwyższy spośród stopni niezerowych minorów tej macierzy, czyli macierz A ma rząd r, jeśli istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia r, a wszystkie minory wyższych stopni są równe zeru. Przyjmuje się, że rząd macierzy zerowej jest równy zeru. Z definicji rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy, czy kolumn. Każdy niezerowy minor macierzy stopnia równego jej rzędowi nazywamy minorem bazowym tej macierzy. Macierz kwadratowa stopnia jest nieosobliwa, gdy jej rząd jest równy jej stopniowi.

Powyższa metoda wyznaczania rzędu okazuje się często kłopotliwa, szczególnie przy dużych macierzach. Można jednak skorzystać z własności przekształceń liniowych, wówczas dla macierzy rozważa się dwie podprzestrzenie liniowe:

  • podprzestrzeń przestrzeni generowaną przez jej kolumny,
  • podprzestrzeń przestrzeni generowaną przez jej wiersze.

Wymiary tych podprzestrzeni są równe (opisują one tą samą przestrzeń zanurzoną w przestrzeniach generowanych przez kolumny lub wiersze). Ich wspólną wartość nazywa się rzędem macierzy i oznacza bądź krótko .

Własności

Działania algebraiczne na ogół znacznie zmieniają rząd. Dla nieosobliwej macierzy kwadratowej , macierz również jest nieosobliwa, jednakże ich suma ma rząd równy zeru.

Prawdziwe są jednak poniższe nierówności

,
oraz .

Jeśli macierz jest nieosobliwa, to zachodzą równości

.

Pierścień ideałów głównych

Nad pierścieniem ideałów głównych podmoduł modułu wolnego jest modułem wolnym i jego ranga nie przekracza rangi całego modułu. Dla -macierzy nad pierścieniem ideałów głównych rozważa się dwa podmoduły:

  • podmoduł modułu wolnego generowany przez kolumny macierzy ,
  • podmoduł modułu wolnego generowany przez wiersze macierzy .

Dowodzi się, że te dwa podmoduły mają równe rangi i wspólną wartość ich rangi nazywa się rzędem macierzy . Rząd macierzy jest równy największemu stopniowi jej niezerowego minora i jest równy rzędowi tej samej macierzy nad ciałem ułamków pierścienia ; rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy i kolumn.

Podstawowe relacje między macierzami

  • Powiemy, że macierze kwadratowe i podobne, co oznaczamy , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna spełniająca równość .
  • Powiemy, że macierze symetryczne (lub antysymetryczne) i kongruentne albo sprzężone, co oznaczamy , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna taka, że .
  • Powiemy, że macierze i równoważne, co oznaczamy , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją macierze odwracalne takie, że . Dwie macierze są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich rzędy są równe.
  • Powiemy, że macierze i równoważne względem przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba przekształceń elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy , których zastosowanie do macierzy da macierz . Dla macierzy nad ciałem (nawet nad pierścieniem ideałów głównych) elementarna równoważność pokrywa się z równoważnością.

Funkcje macierzy

Funkcje wymierne

Niech będzie macierzą kwadratową stopnia . Definicję funkcji wymiernej można rozszerzyć na argumenty będące macierzami:

nazywa się wielomianem prawostronnym, a
to wielomian lewostronny.

przy czym są macierzami , bądź odpowiednio , macierz jednostkowa jest stopnia . Na ogół .

Można również określić funkcje ułamkowe definiując je wzorami

oraz ,

gdzie są wielomianami względem macierzy , a macierz jest nieosobliwa.

Granica ciągu i szeregi

 Osobne artykuły: granica ciąguszereg (matematyka).

Jeżeli dany jest ciąg macierzy tego samego typu (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n), to granicą ciągu macierzy nazywa się macierz

.

Niech będzie dowolną normą kanoniczną macierzy. Ciąg posiada granicę , czyli jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy dla . Wtedy . Ciąg przy wtedy i tylko wtedy, gdy .

Granice macierzy mają te same własności, co granice liczbowe, o ile działania na macierzach są wykonalne (przy czym warunek niezerowości przy ilorazie oznacza odwracalność). Obowiązuje również odpowiednio sformułowany warunek Cauchy'ego.

Szeregi definiuje się analogicznie do szeregów liczbowych,

,

przy czym macierze są tego samego typu. Jeśli powyższa granica istnieje, to nazywa się ją sumą szeregu, a sam szereg macierzowy nazywa się zbieżnym, wtedy też . W przeciwnym wypadku nosi on nazwę rozbieżnego i nie przypisuje mu się żadnej sumy. Wspomniany szereg nazywa się zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg , taki szereg jest oczywiście zbieżny. Jeżeli szereg liczbowy , gdzie jest dowolną normą kanoniczną, jest zbieżny, to zbieżny, i to bezwzględnie, jest szereg .

Rozważa się również macierzowe szeregi potęgowe:

  • prawostronny:
  • lewostronny:

Należy zaznaczyć, że X jest macierzą kwadratową stopnia n. Od macierzy wymaga się, aby w pierwszym przypadku miały n kolumn lub były liczbami (dozwolone są także wektory wierszowe), a w drugim n wierszy lub były skalarami (możliwe jest również użycie wektorów kolumnowych).

Jeżeli r jest promieniem zbieżności szeregu liczbowego , gdzie jest normą kanoniczną, to lewo- i prawostronne szeregi potęgowe są również zbieżne przy . W szczególności szereg , gdzie są skalarami jest zbieżny przy , gdzie r jest promieniem zbieżności szeregu .

Funkcje przestępne

Za pomocą szeregów macierzowych można określić funkcje przestępne macierzy.

Przykładowo przyjmuje się

.

Szereg ten jest zbieżny dla każdej macierzy kwadratowej .

Uogólnienia

Rozważa się różne modyfikacje i uogólnienia, np.

  • macierze ze zmienionymi zasadami np. mnożenia (krakowian)
  • macierze z nieskończoną liczbą wierszy i/lub kolumn,
  • macierze wielowskaźnikowe: macierze jednowskaźnikowe to wektory, macierze dwuwskaźnikowe to macierze opisane powyżej, macierze trójwskaźnikowe to dane uszeregowane w kratkach prostopadłościanu, ogólnie macierz -wskaźnikowa elementów zbioru to funkcja
.
  1. a b Swaney, Mark. History of Magic Squares
  2. Shen Kangshen et al. (ed.): Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary. Oxford University Press, 1999. cytowane przez Otto Bretscher: Linear Algebra with Applications. Wyd. 3. Prentice-Hall, 2005, s. 1.
  3. spotyka się też odwrotny porządek, szczególnie w zastosowaniach informatycznych (grafika komputerowa)
  4. czasami dwoma w indeksie górnym albo po jednym w każdym z indeksów
  5. za A. Cayley A Memoir on the Theory of Matrices (1855) w formacie .pdf
  6. za A. Cayley Mémoire sur les Hyperdéterminants, Crelle Journal 30 (1846) w formacie .pdf
  7. więcej o macierzach w teorii grafów: http://ltcconline.net/greenl/courses/203/MatricesApps/graphTheory.htm
  8. http://ltcconline.net/greenl/courses/203/MatricesApps/electricalCircuits.htm
  9. zob. en:Piezoelectricity#Mathematical description
  10. [1], [2]
  11. http://ltcconline.net/greenl/courses/203/MatricesApps/wavelets.htm
  12. en:Z-matrix (chemistry)
  13. en:Stoichiometry#Stoichiometry Matrix
  14. en:Voting system#The single-winner revival
  15. w ogólności nie można tego uczynić, jeśli pierścień nie jest przemienny; niekiedy jest to jednak możliwe, np. wyznacznik Dieudonne dla algebr centralnych prostych
  16. ogólniej: homomorfizmem modułów wolnych (nad pierścieniem przemiennym)
  17. ten fakt pozostaje prawdziwy dla macierzy nad pierścieniami ideałów głównych, choć definicja rzędu jest nieco bardziej zawiła

Bibliografia

  • Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. I. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2.
  • Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. II. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2693-6.
  • Israïl Moiseevich Gelfand: Wykłady z algebry liniowej. PWN, 1974.
  • J. Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. PWN, 1978.
  • Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra liniowa. PWN, 1975.
  • Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra wyższa. PWN, 1974.

Zobacz też

Linki zewnętrzne