Epitrokoide

En epitrokoide er en trokoide hvor den bevegelige sirkelen ruller utenpå en annen, stasjonær sirkel. Hvis denne har radius R og den rullende sirkelen har radius r, er kurven gitt ved den komplekse koordinaten

z(\theta )=(R+r)e^{i\theta }-se^{i(1+R/r)\theta }

hvor vinkelen 0 < θ ≤ 2π og lengden s angir avstanden fra senter i den bevegelige sirkelen til punktet som beskriver kurven.

Spesielle epitrokoider er Pascals snegle der R = r og episykloide når s = r.

Den rullende sirkelen ble i gresk astronomi omtalt som en episykel og benyttet til å forklare planetenes bevegelse i det geosentriske verdensbildet. Hvis man antar at planetene beveger seg langs sirkler i samme plan om Solen, vil hver av planetene observert fra Jorden følge en epitrokoide.

Forbrenningskammeret til en Wankelmotor er utformet som en epitrokoide.

Matematisk beskrivelse

En rotasjon av et punkt z' i det komplekse planet, vil føre punktet over til et punkt med den komplekse koordinaten z = z' e^iθ der θ er rotasjonsvinkelen. Det tilsvarer bruk av fasevektorer for periodiske bevegelser. Hvis man nå betrakter senteret til en sirkel med radius r som ruller utenpå en sirkel med radius R med senter i origo, har dette avstanden R + r til origo. Et punkt med avstand s fra senteret vil da ha en koordinat z' = R + r - se^iα hvor vinkelen α angir hvor mye dette punktet har rotert i et koordinatsystem som følger med den rullende sirkelen. Her er antatt at punktet tidligere har ligget på forbindelseslinjen mellom det bevegelige senteret og origo. Har senteret beveget seg en vinkel θ, vil man da ha sammenhengen αr = θR da rullingen antas å skje uten at glidning.^[1]

I det stasjonære koordinatsystemet hvor senteret for den rullende sirkelen beveger seg, vil det beskrivende punktet ha koordinaten z = z' e^iθ eller

z(\theta )=(R+r)e^{i\theta }-se^{i(1+R/r)\theta }

Da z = x + iy kombinert med Eulers formel $e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$ , kan de reelle koordinatene (x,y) til punktet på epitrokoiden finnes og blir

x(\theta )=(R+r)\cos \theta -s\cos(1+R/r)\theta

y(\theta )=(R+r)\sin \theta \;-s\sin(1+R/r)\theta

Samme formler kan utledes ved geometriske betraktninger som benyttes til å finne de tilsvarende ligningene for en episykloide. I det spesielle tilfellet er s = r som tilsvarer at det beskrivende punktet ligger på periferien til den rullende sirkelen.

Episykler

En epitrokoide med s > r kan forklare at en planet noen ganger synes å ha en retrograd bevegelse om Jorden plassert i origo.

I det moderne verdensbildet der Jorden beveger seg om Solen sammen med de andre planetene, kan man med en viss nøyaktighet anta at de går i sirkler og i samme plan. Ved å bruke kompleks notasjon er da posisjonen til Jorden med Solen i origo gitt som $z_{0}=r_{0}e^{i\omega _{0}t}$ der r₀ er radius til banen og vinkelhastigheten ω₀ = 2π /T₀ når omløpstiden i denne banen er T₀. På samme måte er den komplekse koordinaten for en planet $z_{1}=r_{1}e^{i\omega _{1}t}$ når man regner tiden fra et tidspunkt at den var på samme linje gjennom Solen og Jorden. Avstanden mellom dem er da r₁ - r₀.

På et senere tidspunkt når planeten observeres fra den bevegelig Jorden, vil dens posisjon være gitt ved den relative koordinaten

z=z_{1}-z_{0}=r_{1}e^{i\omega _{1}t}-r_{0}e^{i\omega _{0}t}

Dette uttrykket beskriver en epitrokoide som er generert av to sirkler med radier R og r hvis relative størrelse kan beregnes fra forholdet ω₁/ω₀. Den absolutte størrelsen er da bestemt fra R + r = r₁, mens lengden s kan identifiseres med r₀. Avhengig av de numeriske verdiene til disse størrelsene, kan dette forklare at planeten synes å ha en tilsynelatende retrograd bevegelse ved bestemte tidspunkt.

For en ytre planet som Jupiter ville man i gresk astronomi forklare denne bevegelsen ved at planeten beveget på en episykel med radius r₀ samtidig med at senteret til denne sirkelen beveget seg i samme retning langs en sirkulær deferent med radius r₁. Fra de observerte omløpstidene og lengden til den retrograde bevegelsen kunne Ptolemaios ha beregnet forholdet mellom radiene r₁/r₀ med god nøyaktighet for de forskjellige planetene. Han ville da ha visst deres avstand fra Solen uttrykt ved Jordens avstand til samme, heliosentriske referansepunkt.^[2]

Referanser

^ C.G. Gibson, Elementary Geometry of Differentiable Curves, Cambridge University Press, England (2001). ISBN 0-521-01107-8.
^ A. Aaboe, Episodes from the Early History of Astronomy, Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-95136-9.

Litteratur

J.D. Lawrence, A catalog of special plane curves, Dover Publications, New York (1972). ISBN 0-486-60288-5.

[Gibson-1] C.G. Gibson, Elementary Geometry of Differentiable Curves, Cambridge University Press, England (2001). ISBN 0-521-01107-8.

[Aaboe-2] A. Aaboe, Episodes from the Early History of Astronomy, Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-95136-9.

[1]

[2]