Elliptisk geometri

Et elliptisk plan kan tenkes som halvparten av en kuleflate hvor diametralt motsatte punkt som A og A'  identifiseres.

Elliptisk geometri er en ikke-euklidsk geometri der parallellpostulatet om at det gjennom hvert punkt kun går en linje som er parallell med en annen linje, ikke er oppfylt. I elliptisk geometri finnes ingen parallelle linjer da alle skjærer hverandre på samme måte som i sfærisk geometri. Dette er i motsetning til hyperbolsk geometri hvor det gjennom hvert punkt utenfor en linje går uendelig mange parallelle linjer.

En karakteristisk egenskap ved ikke-euklidske geometrier er summen av hjørnevinklene i en trekant. I elliptisk geometri er denne større enn 180° på samme måte som for en sfærisk trekant. I hyperbolsk geometri er summen derimot mindre enn 180°. På lignende vis er krumningen til et elliptisk plan konstant og positiv, mens et hyperbolsk plan har konstant negativ krumning.

Forståelsen av ikke-euklidske geometrier ble etablert på 1800-tallet. Etter at Bolyai og Lobatjevskij hadde oppdaget hyperbolsk geometri, viste Klein hvordan den passer inn i den mer generelle, projektive plangeometrien. I denne sammenhengen etablerte han også elliptisk geometri og innførte navnene hyperbolsk og elliptisk ut fra egenskaper ved den projektive beskrivelsen.

Da hadde allerede Riemann stilt opp en mye mer generell differensialgeometri hvor både elliptisk og hyperbolsk geometri opptrer som spesielle tilfeller karakterisert ved at krumningen er den samme overalt. Etter dette gjennombruddet til Riemann ble det klart at disse todimensjonale geometriene kan generaliseres til rom med høyere dimensjoner hvor de samme betegnelsene fortsatt blir brukt når deres krumning er konstant positiv eller negativ. Slike symmetriske geometrier spiller i dag en stor rolle i moderne kosmologi basert på Einsteins generelle relativitetsteori.

Definerende egenskaper

Først etter at hyperbolsk geometri var etablert på midten av 1800-tallet ble studiet av elliptiske geometrier mer systematisk igangsatt. I utgangspunktet var de definerte ved at euklidsk geometri er gyldig bortsett fra parallellpostulatet som må erstattes med kravet at det ikke finnes parallelle linjer. Det tilsvarer at når en linje forlenges, vil den ha minst ett skjæringspunkt med enhver annen linje.

For å få en konsistent formulering av elliptisk geometri ble det snart klart at man også måtte modifisere mer av euklidsk geometri. Det andre postulatet sier at en linje kan forlenges i begge retninger så langt man ønsker, noe som tilsier at den er uendelig lang. Istedet måtte dette kravet reformuleres til å si at hver linje kan forlenges uten at man kommer til noe endepunkt. Den må i så fall være lukket med en endelig lengde.

Ut fra slike betraktninger endte man opp med å erstatte det andre postulatet med de to kravene

1. To forskjellige punkt ligger kun på én linje
2. En linje i planet deler dette i to

som hver definerer en forskjellig, elliptisk plangeometri. Når det første kravet er oppfylt, men ikke det andre, sier man at man har en enkeltelliptisk geometri. Dette er hva som vanligvis menes med en elliptisk geometri. Det motsatte tilfellet der kun det andre kravet er oppfylt, kaller man det en dobbeltelliptisk geometri og er det samme som sfærisk geometri.

Elliptiske plan

En sfærisk trekant hvor summen av de indre vinklene er 270°. Punktet C er polen til linjen gjennom A og B.

I vårt tredimensjonale rom er det bare mulig å betrakte et dobbeltelliptisk plan. Dette utgjøres av en todimensjonal sfære eller kuleflate S². Som i andre ikke-euklidske geometrier er linjer definert som geodetiske kurver som gir den korteste forbindelsen mellom to punkt. På sfæren blir det deler av storsirkler som kan forlenges til lukkede kurver med endelig lengde. Hver av dem vil da dele dette planet i to halvsfærer. To slike linjer gjennom et punkt vil alltid skjære hverandre igjen i et annet, polart motpunkt når de forlenges. Et velkjent eksempel er Jordens overflate hvor ekvator utgjør en linje. Dette er den eneste breddegrad som er oppfyller kravet til å være en hel linje, mens alle lengdegrader er det da de går gjennom Nordpolen og Sydpolen som er motsatte poler.

To punkter på en sfære definerer alltid en slik lukket linje. Derimot går det uendelig mange linjer gjennom to punkt som er hverandres antipoder. Dette er forbundet med at i denne geometrien kan også pol og polare defineres der polarene er linjer som hver har to poler, noe som er avspeilt i navnet dobbeltelliptisk.

Det enkeltelliptiske planet

Når to vilkårlige punkt ligger kun på én linje, er geometrien enkelelliptisk og er det som definerer elliptisk geometri i vanlig forstand. Et slikt plan er det ikke mulig for oss å forestille seg i sin helhet selv om små deler av det har samme egenskaper som en tilsvarende, liten del av en kuleflate.

En grafisk fremstilling av det enkeltelliptiske planet.

En måte å tenke seg denne flaten er å ta utgangspunkt i en vanlig sfære som er kuttet langs en storsirkel som man kan kalle ekvator. Punkter på den ene halvdelen kan nå betraktes å være i et enkeltelliptisk plan. Her kan to vilkårlige punkt forbindes med en entydig linje som er en del av en storsirkel. Men forlenges dette linjestykket ut fra disse to endepunktene, vil man komme til to motsatte punkt på ekvator. Disse to punktene defineres nå å være ett og det samme punkt. Dermed får en lukket linje i dette planet bare halvparten av den lengden den ville ha hatt på hele sfæren.

Hvert punkt på ekvator identifiseres på denne måten med sin motpol i det motsatte punktet på ekvator. Hvordan den resulterende flaten dermed vil bli seende ut, er vanskelig å forestille seg. Den vender seg på et vis inn i seg selv når man tenker på den i det tredimensjonale rommet.

Dette problemet tilsvarer den forestillingen man har av en torus. Vanligvis tenker man seg denne som overflaten til en smultring som har en krumning som varierer fra punkt til punkt. Men matematisk er den definert som det direkte produktet S¹× S¹ av to sirkler. Den er en todimensjonal flate med null krumning som man bare kan forestille seg hvis den skulle befinne seg i et firedimensjonalt rom. På samme måte må man tenke seg at det enkeltelliptiske planet befinner seg i et rom med flere enn tre dimensjoner hvor det har en konstant, positiv krumning.

Metriske egenskaper

På samme måte som euklidsk geometri er også elliptisk geometri metrisk ved at lengden til linjestykker og størrelse av areal kan bestemmes. Det kan gjøres på flere forskjellige måter, men i Riemanns differensialgeometri er det formalisert i den metriske tensoren som er ekvivalent med et kvadrert linjeelement. Ved bruk av kulekoordinater (θ,φ) på en sfære med radius a er dette

$ds^{2}=a^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta d\phi ^{2})$

der den asimutale vinkelen φ tar verdier fra 0 til 2π . I dobbeltelliptisk eller sfærisk geometri varierer den polare vinkelen θ mellom 0 og π . Lengden av en full storsirkel blir dermed 2π a, mens arealet til hele kuleflaten er 4π a².

I hvert lite område er de metriske egenskapene til både den enkeltelliptiske og dobbeltelliptiske geometrien den samme. De er derfor beskrevet ved den samme, metriske tensoren. Men det enkeltelliptiske rommet tilsvarer bare halvparten av en full sfære der punktene langs ekvator er identifiserte med hverandre. Forskjellen mellom de to geometriene opptrer dermed først over store avstander. Dette er matematisk beskrevet ved at den polare vinkelen θ kun tar verdier i intervallet mellom 0 og π /2 i denne elliptiske geometrien. En lukket linje i planet har derfor lengden π a, mens dets areal er 2π a². På tross av disse enkle resultatene er det likevel nesten umulig å forestille seg et slikt elliptisk plan.

Projektivt plan

Kunstnerisk fremstilling av det projektive planet.

Definisjon av projektiv geometri gjøres enklest ved at den betraktes i et rom med en dimensjon ekstra. Slik kan et projektivt plan som er todimensjonalt, beskrives ved rette linjer som går gjennom origo i et tredimensjonalt, euklidsk rom R³. Hver linje tilsvarer et punkt i det projektive planet og er gitt ved en retningsvektor r = (x,y,z). Disse komponentene kan derfor brukes som koordinater for punkter i planet. Da det kun er retningen til linjen som er bestemmende og ikke dens lengde, vil vektoren x og λx der λ er en konstant, tilsvare samme punkt. Disse retningene er derfor homogene koordinater i denne todimensjonale geometrien.

Dette kan synliggjøres ved å tenke seg et plan lagt inn R³. Punktene til det projektive planet tilsvarer da de punkter hvor linjene gjennom origo treffer dette ekstra planet. Linjer som er parallelle med det, vil ikke gi opphav til noe skjæringspunkt og sies å ligge uendelig lang borte i denne fremstillingen. Men de kan tas med ved å velge et annet slikt hjelpeplan.

For elliptiske geometrier kan man i stedet for et slikt ekstra hjelpeplan, legge inn en vanlig sfære i det tredimensjonale rommet R³. Punkt i det projektive planet angir da punkt på kuleflaten. Men da det kun er retningen til linjene gjennom origo som er avgjørende, vil to diametralt motsatte punkt på kuleflaten tilsvare samme punkt i det projektive planet. På den måten er denne projektive geometrien tett knyttet til den for det enkeltelliptiske planet.

Cayley-Klein-metrikk

En projektiv geometri har i utgangspunktet ingen metriske egenskaper. Men på midten av 1800-tallet viste Arthur Cayley at dette kan realiseres ved at man tenker seg at det projektive planet inneholder et absolutt kjeglesnitt bestående av ikke-tilgjengelige eller ideelle punkt. Da en linje i planet vil skjære denne kurven i to punkt, kan avstanden mellom to andre punkt på samme linje bestemmes ut fra dobbeltforholdet til disse fire punktene.

Noen år senere benyttet Felix Klein denne innsikten til gi en ny beskrivelse av hyperbolsk geometri. På enkleste form er da det absolutte kjeglesnittet gitt ved ligningen

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

I et hjelpeplan z = 1 tilsvarer det en sirkel om origo. Alle punktene i denne plangeometrien ligger nå innenfor denne sirkelen. Deres metriske egenskaper kan da beregnes og er gitt med Cayley-Klein-metrikken. Den stemmer overens med hva som ble tidligere funnet av Bolyai og Lobatjevskij.

Den andre typen av kjeglesnitt i planet er av formen

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$

som ikke inneholder noen vanlige, reelle punkt. Men likevel gir den en reell Cayley-Klein-metrikk for det elliptiske planet i overenstemmelse med hva som var etablert på andre måter.

Elliptiske rom

Selv om projektiv geometri kan benyttes til å etablere elliptisk geometri i rom med høyere dimensjoner enn to, kan det gjøres mer direkte innen mer moderne differensialgeometri. Elliptiske rom har konstant krumning og har derfor maksimal symmetry. Det invariante linjeelementet kan da generelt skrives som

$ds^{2}=a^{2}{\Big [}d\mathbf {x} ^{2}+{(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2} \over 1-\mathbf {x} ^{2}}{\Big ]}$

der a er en generalisert radius a. Hvis rommet har n dimensjoner, er dette også antall komponenter til posisjonsvektoren x som tilhører et euklidsk rom Eⁿ med et standard indreprodukt. Med disse koordinatene eksisterer hele det elliptiske rommet innenfor den n-dimensjonale kuleflaten x² < 1. I andre koordinatsystem kan det se ganske annerledes ut.

I tre dimensjoner kan man benytte utvidete kulekoordinater (χ,θ,φ) med en ekstra, polar vinkel χ som varierer fra 0 til π /2 eller π avhengig av om rommet er enkelt eller dobbeltelliptisk. Linjelementet tar da formen

$ds^{2}=a^{2}[d\chi ^{2}+\sin ^{2}\!\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta d\phi ^{2})]$

Når vinkelen 0 < χ ≤ π , er dette metrikken for det dobbeltelliptiske rommet med tre dimensjoner. Vanligvis omtales dette som en hypersfære eller tredimensjonal kuleflate S³. Den har et endelig volum 2π a³. Går man ut fra et bestemt punkt og fortsetter hele tiden i samme retning, vil man komme tilbake til begynnelsespunktet etter å ha reist langs en lukket linje med lengde 2π a. Det var metrikken til dette krumme rommet som Einstein brukte i sin første kosmologiske modell.

Det samme linjeelementet beskriver også et enkeltelliptisk rom når den polare vinkelen kun tar verdier i intervallet 0 < χ ≤ π /2. Dette rommet har et halvert volum π a³, og en lukket rundreise ville være redusert med den samme faktor til π a. Hvis dette hadde dette vært en realistisk, kosmologisk modell, ville spørsmålet om hva slags elliptisk univers vi virkelig lever i, måtte avgjøres ved observasjoner over meget store avstander.