Elementær algebra

Elementær algebra er en grunnleggende og relativt enkel form for algebra undervist til studenter som antas å ha liten eller ingen formell kunnskap om matematikk utover aritmetikk. Det er vanligvis undervist i videregående skole under betegnelsen «algebra». Den største forskjellen mellom algebra og aritmetikk er inkluderingen av variabler. Mens man i aritmetikk bare anvender tall og aritmetiske operasjoner (for eksempel +, -, ×, ÷), bruker man i algebra også variabler, som x og y.

Aspekter ved algebra

Variabler

Hensikten med å bruke variabler, symboler som betegner tall, er å tillate inngåelse av generaliseringer i matematikk. Dette er nyttig fordi:

• Det muliggjør at aritmetiske ligninger (og ulikheter ) kan oppgis som lover (slik som a + b = b + a for alle a og b), og er dermed et første skritt til systematisk studie av egenskapene til det reelle tallsystemet.
• Det tillater henvisning til tall som ikke er kjent. I forbindelse med et problem, kan en variabel representere en viss verdi som ennå ikke er kjent, men som kan bli funnet gjennom utforming og manipulering av likninger.
• Det åpner for utforskningen av matematiske sammenhenger mellom mengder («slik som hvis du selger x billetter, så din fortjeneste vil være 3x – 10 dollar»).

Uttrykk

I elementær algebra kan et uttrykk inneholde tall, variabler og aritmetiske operasjoner. Disse blir vanligvis skrevet med leddet med høyest grad til venstre (se polynom), noen få eksempler er:

$x+3\,$

$y^{2}+2x-3\,$

$z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,$

I mer avansert algebra, kan et uttrykk også omfatte elementære funksjoner .

Operasjoner

Egenskaper til operasjoner

Operasjon	Er skrevet	Kommutativitet	Assosiativitet	Identitetselement	Invers funksjon
Addisjon	a + b	a + b = b + a	(a + b) + c = a + (b + c)	0, som bevarer tall: a + 0 = a	Subtraksjon (-)
Multiplikasjon	a × b eller a • b	a × b = b × a	(a × b) × c = a × (b × c)	1, som bevarer tall: a × 1 = a	Divisjon (/)
Potens	ab eller a ^ b	Ikke kommutativ ab ≠ ba	Ikke assosiativ	1, som bevarer tall: a1 = a	Logaritme (Log)

• Driften av Addisjon ...
  • betyr gjentatte tillegg av dem: n = 1 + 1 +...+ 1 (n antall ganger);
  • har en invers operasjon kalt subtraksjon: (a + b) - b = a, som er det samme som å legge et negativt tall, a - b = a + (- b);
• Driften av multiplikasjon ...
  • betyr gjentatte tillegg: a × n = a + a +...+ a (n antall ganger);
  • har en invers operasjon kalt divisjon, som er definert for nummerover null: (ab) / b = a, som er det samme som å multiplisere med en gjensidig , a / b = a' (1 / b);
  • distribuerer i løpet tillegg: (a + b) c = ac + bc;
  • er forkortet av sammenstillingen: a × b ≡ ab;
• Driften av potens ...
  • betyr gjentatt multiplikasjon: aⁿ = a × a ×...× a (n antall ganger);
  • har en invers operasjon, kalt logaritmen : a^log_ab = b = log_aa^b;
  • distribuerer mer enn multiplikasjon: (ab)^c = a^cb^c;
  • kan skrives i form av n-te røtter: a^m/n ≡ (ⁿ√a)^m og dermed enda røtter av negative tall ikke eksisterer i den virkelige tallsystem. (Se: komplekse tallsystem)
  • har eiendommen: a^ba^c = a^{b + c};
  • har egenskapen: (a^b)^c = a^bc.
  • generelt a^b ≠ b^a and (a^b)^c ≠ a^(bc);