Laplace-operator

De laplace-operator, ook wel laplaciaan genoemd, is een differentiaaloperator genoemd naar de Franse wiskundige Pierre-Simon Laplace en aangeduid door het symbool ∆. In de natuurkunde vindt de operator toepassing bij de beschrijving van voortplanting van golven (golfvergelijking), bij warmtetransport en in de elektrostatica in de laplace-vergelijking. In de kwantummechanica stelt de laplace-operator de kinetische energie voor in de schrödingervergelijking. De functies waarvoor de laplaciaan gelijk is aan nul, worden in de wiskunde harmonische functies genoemd.

Voor een scalaire functie $f$ op een $n$-dimensionale euclidische ruimte is de laplace-operator gedefinieerd door:

$\Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}$

Hierin staat ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$ voor de tweede partiële afgeleide naar de variabele $x_{i}$.

Als operator schrijft men daarom wel:

$\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$.

Alternatief kan men schrijven:

$\Delta f=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)$

Ook kan de laplace-operator (in rechthoekige coördinaten) uitgedrukt worden in de operator nabla (∇):

$\Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla$

Laplaciaan in drie dimensies

In cartesische coördinaten,

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

In cilindercoördinaten:

$\Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}$

In bolcoördinaten:

$\Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}$

Voorbeeld

Zij $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ de functie gedefinieerd door

$f(x,y,z)=x^{2}+yz^{2}$

Dan geldt:

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=2+0+2y=2+2y$

Laplace-operator voor een vectorveld

Voor een vectorveld $A$ is de laplace-operator gedefinieerd als:

$\Delta A=\nabla (\nabla \cdot A)-\nabla \times (\nabla \times A)=\operatorname {grad} (\operatorname {div} A)-\operatorname {rot} (\operatorname {rot} A)$

In gewone cartesische coördinaten is het het vectorveld met als componenten de laplaciaan van de componenten van $A,$ dus:

$\Delta A=\Delta {\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Delta A_{x}\\\Delta A_{y}\\\Delta A_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}}$

Unicode

De laplace-operator is opgenomen in Unicode als U+2206.