Faculteit (wiskunde)

wiskundige functie
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000

De faculteit van een natuurlijk getal , genoteerd als (n faculteit), is het product van de getallen tot en met :

Recursief geldt dus voor de faculteit:

Voor bijvoorbeeld is:

In overeenstemming met de definitie van het lege product is afgesproken dat

De faculteitsfunctie groeit snel, zelfs sneller dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden, met nul, staan hiernaast. Het aantal decimalen van n! , met n > 1 , is gelijk aan 10log 1 + ... + 10log n naar boven afgerond.

Voor n = 1000 komt het aantal decimalen op 2568.

Toepassing

bewerken

Een belangrijke toepassing van de faculteit is in de combinatoriek, als antwoord op de vraag op hoeveel manieren   elementen kunnen worden gerangschikt. Zo'n rangschikking heet een permutatie en daarvan zijn er  . Met behulp van dit resultaat worden ook de aantallen variaties en combinaties afgeleid.

Benadering

bewerken

Voor grote waarden van   kan de faculteit van dat getal benaderd worden met de formule van Stirling:

 

Voor kleine waarden van   is de benadering slecht; voor n=1 geldt bijvoorbeeld  , maar  

De formule wordt veelvuldig toegepast in de statistische fysica, waar   gegeven wordt door het aantal deeltjes, en de discrepantie tussen de echte waarde en Stirlings benadering verwaarloosbaar is.

De onderstaande tabel geeft voor een aantal waarden van   de bijhorende waarde voor   en de benadering volgens Stirling:

    benadering door Stirling
10 3 628 800 3 598 695,624
20 0,24329 · 1019 0,2422 · 1019
30 0,26525 · 1033 0,2645 · 1033
40 0,8159 · 1048 0,8142 · 1048
50 0,3041 · 1065 0,3036 · 1065
100 0,9333 · 10158 0,9325 · 10158
1000 4,024 · 102567 4,024 · 102567
10 000 2,846 · 1035 659 2,846 · 1035 659

Gammafunctie

bewerken
 
Grafiek van de Gammafunctie

De gammafunctie

 

is, voor gehele getallen, een verschoven versie van de faculteitsfunctie:

 

De gammafunctie is voor alle complexe getallen gedefinieerd, met uitzondering van de negatieve gehele getallen  .

Algoritme

bewerken

Het onderstaande algoritme geschreven in Python berekent van een ingevoerd getal de faculteit.

getal = int(input())
fac = getal
while (getal > 2):
    getal -= 1 #getal = getal -1
    fac *= getal #fac = fac * getal

print("De faculteit van het ingevoerde getal is: ",fac)

Zie ook

bewerken