Susunan padat sfera-sfera sama

Susunan padat hcp dan fcc

Dalam geometri, susunan padat sfera-sfera sama ialah susunan pada sfera-sfera kongruen dalam susunan seragam dan tidak terhingga (atau kekisi). Carl Friedrich Gauss telah membuktikan bahawa kepadatan purata tertinggi – yakni, pecahan terbesar ruang yang diduduki oleh sfera – yang boleh dicapai oleh kekisi seragam ialah

${\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\simeq 0.74048.$

Kepadatan susunan yang sama boleh dicapai dengan menyusun satah-satah yang terdiri daripada sfera-sfera susunan rapat secara berselang-seli, termasuk struktur yang tak berkala dalam arah susunan. Konjektur Kepler mengatakan cara susunan ini dapat mencapai kepadatan sfera tertinggi berbanding susunan-susunan sfera lain, sama ada seragam atau tidak. Konjektur ini secara meluas dianggap telah dibuktikan oleh T. C. Hales.

Banyak jenis kristal berdasarkan susunan padat atom-atom sejenis, atau susunan rapat ion-ion besar dengan ion-ion yang lebih kecil mengisi ruang di antaranya. Susunan heksagon dan kiub dari segi tenaganya sangat serupa antara satu sama lain, dan ia boleh jadi sukar untuk meramal bentuk apa yang diutamakan daripada pandangan pertama.

Kekisi fcc dan hcp

Terdapat dua kekisi seragam ringkas yang mencapai kepadatan purata tertinggi yang dinamakan kiub berpusatkan muka (fcc, face-centered cubic) (juga dinamakan kiub tersusun rapat) dan susunan rapat heksagon (hcp, hexagonal close-packed) berdasarkan simetrinya. Kedua-duanya berdasarkan lapisan-lapisan sfera yang disusun pada bucu-bucu jubin segi tiga; kedua-dua susunan ini dibezakan mengikut cara lapisan-lapisan ini disusun di atas satu sama lain. Kekisi fcc juga dikenali dalam kalangan ahli matematik sebagai kekisi yang dihasilkan oleh sistem akar A₃.

Masalah peluru meriam

Peluru-peluru meriam ditimbun di atas tapak segi tiga (hadapan) dan segi empat tepat (belakang), kedua-duanya kekisi fcc.

Masalah susunan rapat sfera-sfera pertama kali dianalisa secara matematik oleh Thomas Harriot sekitar tahun 1587, selepas satu soalan berkenaan penimbunan peluru-peluru meriam dikemukakan kepadanya oleh Sir Walter Raleigh dalam ekspedisi mereka ke Amerika. Peluru meriam biasanya ditimbun dalam rangka kayu segi empat atau segi tiga dan membentuk piramid tiga atau empat sisi. Kedua-dua susunan menghasilkan kekisi kiub berpusatkan muka – dengan orientasi berbeza ke arah tanah.

Tataatur dan penjarakan

Dalam kedua-dua susunan fcc dan hcp, setiap sfera mempunyai dua belas jiran. Bagi setiap sfera terdapat satu sela yang dikelilingi oleh enam sfera (oktahedral) dan dua sela yang lebih kecil yang dikelilingi oleh empat sfera (tetrahedral). Jarak daripada sela-sela ini dari pusat sfera di sekelilingnya ialah $\scriptstyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}$ bagi tetrahedral dan $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ bagi oktahedral, jika jejari sfera itu ialah 1.

Relatif pada lapisan rujukan dengan tataatur A, dua lagi tataletak B dan C boleh terjadi. Setiap urutan A, B dan C tanpa pengulangan serta-merta lapisan yang sama boleh dilakukan dan menghasilkan susunan sama padat sfera dengan jejari tertentu.

Susunan yang paling seragam ialah:

• fcc = ABCABCA (setiap lapisan ketiga sama)
• hcp = ABABABA (setiap lapisan berselang sama)