Bio-Savaro dėsnis – vienas svarbiausių elektromagnetizmo dėsnių, naudojamas bet kokios formos laidininko kuriamo magnetinio lauko indukcijai apskaičiuoti:
d
B
→
=
μ
0
I
(
d
l
→
×
r
→
)
4
π
r
3
{\displaystyle {\mbox{d}}{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I\left({\mbox{d}}{\vec {l}}\times {\vec {r}}\right)}{4\pi {r^{3}}}}}
Dažniausiai reikia rasti indukcijos modulį
d
B
=
μ
0
I
sin
α
d
l
4
π
r
2
{\displaystyle {\mbox{d}}{B}={\frac {\mu _{0}I\sin {\alpha }{\mbox{d}}l}{4\pi {r^{2}}}}}
Tiesus ilgas plonas laidas, kuriuo teka stiprio I srovė. Pasirinktas bet kuris taškas A , nutolęs nuo laidininko atstumu R . Atstumu l nuo statmens, išvesto iš taško A į tiesę, kurioje yra laidininkas, išskirta trumpa ilgio dl laidininko atkarpa.
Pagal pateiktą brėžinį galima užrašyti:
l
=
R
c
t
g
α
d
l
=
−
R
d
α
sin
2
α
r
=
R
sin
α
{\displaystyle {\begin{aligned}l&=R\operatorname {ctg{\alpha }} \\{\mbox{d}}l&=-{\frac {R{\mbox{d}}\alpha }{\sin ^{2}{\alpha }}}\\r&={\frac {R}{\sin {\alpha }}}\\\end{aligned}}}
Integruojama nuo
α
1
{\displaystyle \alpha _{1}\;}
iki
α
2
{\displaystyle \alpha _{2}\;}
. Kadangi laidininkas be galo ilgas, tai
α
1
→
0
{\displaystyle \alpha _{1}\to 0}
, o
α
2
→
π
{\displaystyle \alpha _{2}\to \pi }
; gaunama, kad
B
=
|
−
μ
0
I
4
π
R
∫
0
π
sin
α
d
α
|
=
μ
0
I
2
π
R
{\displaystyle B=\left|-{\frac {\mu _{0}I}{4\pi {R}}}\int _{0}^{\pi }\sin {\alpha }{\mbox{d}}\alpha \right|={\frac {\mu _{0}I}{2\pi {R}}}}
Plonas žiedas (apvija), kuriuo teka stiprio I srovė. Pasirinktas per apskritimo centrą einančios statmenos apskritimo plokštumai tiesės taškas A , nutolęs nuo laidininko atstumu h . Išskirta trumpa ilgio dl laidininko atkarpa.
Pagal pateiktą brėžinį galima užrašyti:
r
=
h
2
+
R
2
sin
α
=
R
h
2
+
R
2
{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {h^{2}+R^{2}}}\\\sin {\alpha }&={\frac {R}{\sqrt {h^{2}+R^{2}}}}\\\end{aligned}}}
Suintegravus gaunama, kad
B
=
|
μ
0
I
R
4
π
⋅
2
∫
0
π
R
d
l
(
h
2
+
R
2
)
3
/
2
|
=
μ
0
I
R
2
2
(
h
2
+
R
2
)
3
/
2
=
=
μ
0
I
sin
3
α
2
R
{\displaystyle {\begin{aligned}B&=\left|{\frac {\mu _{0}IR}{4\pi }}\cdot 2\int _{0}^{\pi {R}}{\frac {{\mbox{d}}l}{\left(h^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}\right|={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2\left({h^{2}+R^{2}}\right)^{3/2}}}=\\&={\frac {\mu _{0}I\sin ^{3}{\alpha }}{2R}}\end{aligned}}}
Pastaba: kadangi apeinant visą ploną ilgio
l
=
2
π
R
{\displaystyle l=2\pi {R}\;}
žiedą atstumas
r
{\displaystyle r\;}
nekinta, tai integravimas yra tik formalumas, nes pakanka gautąją Bio-Savaro dėsnio išraišką padauginti iš
2
π
R
{\displaystyle 2\pi {R}\;}
.
Be galo ilgo solenoido, sudaryto iš N antrame pavyzdyje išnagrinėtų spindulio R apvijų, l ilgio fragmentas. Jo apvijomis teka stiprio I srovė. Pasirinktas per apskritimo centrą einančios statmenos apskritimo plokštumai tiesės taškas C , esantis toli nuo solenoido galų. Atstumu CM=h nuo jo išskirta trumpa ilgio dh solenoido dalis.
Laikoma, kad solenoidą sudaro apvijos, priglaustos viena prie kitos, bet ne ištisinis spirale susuktas laidas. Pažymėta
∠
N
C
A
=
α
{\displaystyle \angle {NCA}=\alpha }
,
∠
D
C
A
=
α
1
{\displaystyle \angle {DCA}=\alpha _{1}}
,
∠
B
C
A
=
α
2
{\displaystyle \angle {BCA}=\alpha _{2}}
.
Viena apvija kuria indukciją
d
B
0
=
μ
0
I
sin
3
α
2
R
{\displaystyle {\mbox{d}}B_{0}={\frac {\mu _{0}I\sin ^{3}{\alpha }}{2R}}}
l
{\displaystyle l\;}
ilgio fragmento dalis
d
h
{\displaystyle {\mbox{d}}h\;}
taške C kuria indukciją. Ji priklauso nuo toje dalyje esančių apvijų skaičiaus
d
N
=
N
l
⋅
d
h
{\displaystyle {\mbox{d}}N={\frac {N}{l}}\cdot {\mbox{d}}h}
Todėl dalis
d
h
{\displaystyle {\mbox{d}}h\;}
kuria indukciją
d
B
=
μ
0
I
N
sin
3
α
2
l
R
d
h
{\displaystyle {\mbox{d}}B={\frac {\mu _{0}IN\sin ^{3}{\alpha }}{2lR}}{\mbox{d}}h}
Pagal pateiktą brėžinį galima užrašyti:
h
=
R
c
t
g
α
d
h
=
−
R
d
α
sin
2
α
{\displaystyle {\begin{aligned}h&=R\operatorname {ctg{\alpha }} \\{\mbox{d}}h&=-{\frac {R{\mbox{d}}\alpha }{\sin ^{2}{\alpha }}}\end{aligned}}}
Integruojama nuo
α
1
{\displaystyle \alpha _{1}\;}
iki
α
2
{\displaystyle \alpha _{2}\;}
. Kadangi solenoidas be galo ilgas, tai
α
1
→
0
{\displaystyle \alpha _{1}\to 0}
, o
α
2
→
π
{\displaystyle \alpha _{2}\to \pi }
; gaunama, kad
B
=
|
−
μ
0
I
N
2
l
∫
0
π
sin
α
d
α
|
=
μ
0
I
N
l
=
μ
0
I
n
{\displaystyle B=\left|-{\frac {\mu _{0}IN}{2l}}\int _{0}^{\pi }\sin {\alpha }{\mbox{d}}\alpha \right|={\frac {\mu _{0}IN}{l}}=\mu _{0}In}
kur
n
{\displaystyle n\;}
– solenoido apvijų skaičius ilgio vienete
Pastaba: šioje formulėje nėra dydžio
h
{\displaystyle h\;}
, o tai reiškia, kad ilgos ritės dalyse, esančiose toli nuo jos galų, magnetinė indukcija nekinta einant tiese CA . Sudėtingesni skaičiavimai rodo, kad indukcija tose dalyse nekinta ir einant skersai ritės. Vadinasi, šiose dalyse sukuriamas vienalytis magnetinis laukas.
Šias formules taip pat galima gauti ir naudojantis Ampero dėsniu , kuris taip pat naudojamas bet kokios formos laidininko kuriamo magnetinio lauko indukcijai nustatyti.