호모토피

대수적 위상수학에서 호모토피(영어: homotopy) 또는 연속 변형 함수(連續變形函數)는 어떤 위상 공간을 공역으로 하는 특정한 연속 함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.

정의

고전적 정의

위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 두 연속 함수

f\colon X\to Y

g\colon X\to Y

사이의 호모토피는 다음과 같은 성질을 만족시키는 연속 함수 $H\colon X\times [0,1]\to Y$ 이다.

$f=H(-,0)$
$g=H(-,1)$

두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로 호모토픽(영어: homotopic) 또는 연속 변형적(連續變形的)이라 하며 $f\simeq g$ 와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류를 호모토피류(homotopy類, 영어: homotopy class)라고 한다.^[1]^:158–159 연속 함수 $f$ 의 호모토피류는 보통 $[f]$ 라고 쓴다.

구 위의 대원은 널호모토픽하다.

상수 함수에 호모토픽한 함수를 널호모토픽(null-homotopic) 또는 영연속 변형적(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를 널호모토피(null-homotopy) 또는 영연속 변형 함수(零連續變形函數)라 한다.^[2]^:323

모든 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 는 데카르트 닫힌 범주가 아니다. 그러나 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간을 포함하는 데카르트 닫힌 범주를 정의할 수 있다. (예를 들어, 콤팩트 생성 공간의 범주 $\operatorname {CGTop}$ 나 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 $\operatorname {CGWH}$ 가 있다.) $\operatorname {CGTop}$ 에서는 지수 대상의 법칙

Y^{X\times [0,1]}\cong (Y^{[0,1]})^{X}\cong (Y^{X})^{[0,1]}

이 성립한다. 여기서 $\times$ 는 콤팩트 생성 공간의 범주론적 곱이다. $(-)^{(-)}$ 는 콤팩트 생성 공간에서의 지수 대상이며, 집합으로서 이는 연속 함수의 집합이다. 따라서, $\operatorname {CGTop}$ 에서는 호모토피를 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 서로 동치이다.

연속 함수 공간 $Y^{X}$ 에서의 경로 $h\colon [0,1]\to Y^{X}$ . 이는 가장 직관적인 정의이며, 위상 공간 위의 풍성한 범주에서 직접적으로 일반화할 수 있다.
$X\times [0,1]$ $X\times [0,1]$ 에서 $Y$ $Y$ 로 가는 연속 함수 $h\colon X\times [0,1]\to Y$ $h\colon X\times [0,1]\to Y$ . 이는 고전적인 정의이다. 이 정의는 임의의 모형 범주에서 왼쪽 호모토피(영어: left homotopy)라는 이름으로 일반화된다.
- 일반적으로 $\operatorname {CGTop}$ 에서의 곱은 곱공간보다 더 섬세한 위상을 가진다. 그러나 구간 $[0,1]$ 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, 만약 $X$ 가 콤팩트 생성 공간이라면 $X\times [0,1]$ 의 위상은 곱공간 위상과 일치한다. 따라서, 콤팩트 생성 공간 사이의 연속 함수의 호모토피의 정의는 $\operatorname {Top}$ 을 사용하든, $\operatorname {CGTop}$ 을 사용하든 상관이 없다.
$X$ 에서 경로 공간 $Y^{[0,1]}$ 으로 가는 연속 함수 $h\colon X\to Y^{[0,1]}$ . 이는 임의의 모형 범주에서 오른쪽 호모토피(영어: right homotopy)라는 이름으로 일반화된다.

풍성한 범주에서의 정의

위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 는 데카르트 모노이드 범주를 이룬다. 그 위의 풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$ 가 주어졌다고 하자. 즉, 임의의 두 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, 그 사이의 사상 집합 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 는 사실 단순한 집합이 아니라, 위상 공간의 구조가 갖추어져 있다고 하자.

같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 이 주어졌다고 하자. 이는 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 속의 두 점

f,g\in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)

을 이룬다. 이 경우, $f$ 와 $g$ 사이의 호모토피는 $f$ 와 $g$ 를 잇는, $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 속의 경로이다. 이는 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 위의 동치 관계를 이룬다. 호모토피류는 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 의 경로 연결 성분이다.

고전적으로, 모든 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 그러나 $\operatorname {CGTop}$ 등 위상 공간으로 구성된 데카르트 닫힌 범주를 사용하면, 이는 스스로 위의 풍성한 범주를 이루며, 이 경우 고전적인 정의는 풍성한 범주에서의 정의의 특수한 경우가 된다.

보다 일반적으로, 위상 공간 대신 "연결 성분"의 개념을 정의할 수 있는 다른 범주, 예를 들어 단체 집합의 범주 $\operatorname {sSet}$ 를 사용할 수도 있다.

모형 범주에서의 정의

호모토피 이론은 추상적으로 임의의 모형 범주 위에서 전개될 수 있다. 위상 공간의 범주(또는 콤팩트 생성 공간의 범주 등)는 모형 범주의 구조를 가지며, 호모토피의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.^[3]^:§14.3 이 경우, 왼쪽 호모토피(영어: left homotopy)와 오른쪽 호모토피(영어: right homotopy)라는, 서로 쌍대적인 두 개념이 존재하며, 이 두 개념은 적절한 경우 (정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상인 경우) 서로 동치이다.

편의상, 올뭉치는 $\twoheadrightarrow$ 로, 쌍대올뭉치는 $\hookrightarrow$ 로, 약한 동치는 ${\xrightarrow {\sim }}$ 로 표기하자.

왼쪽 호모토피

임의의 유한 쌍대 완비 범주에서, 다음과 같은 쌍대 대각 사상이 존재한다.

X\sqcup X\to X

여기서 $\sqcup$ 은 쌍대곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 분리합집합이다). 모형 범주 $({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})$ 에서, 대상 $X$ 의 기둥 대상(영어: cylinder object) $\operatorname {Cyl} X$ 는 쌍대 대각 사상 $X\sqcup X\to X$ 의 다음과 같은 분해이다.

X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X{\xrightarrow {\sim }}X

이는 위상 공간의 범주에서의 "기둥" $X\times [0,1]$ 의 일반화이다. 기둥 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.^[3]^{:280, Definition 14.3.1}

만약 $X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X$ 가 쌍대올뭉치라면, 이를 좋은 기둥 대상(영어: good cylinder object)이라고 한다.
만약 $X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X$ 가 쌍대올뭉치이며, $\operatorname {Cyl} X{\xrightarrow {\sim }}X$ 가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 매우 좋은 기둥 대상(영어: very good cylinder object)이라고 한다.

모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조(영어: Quillen model structure)를 준 경우 $X\times [0,1]$ 는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조(영어: Hurewicz model structure)에서 $X\times [0,1]$ 는 매우 좋은 기둥 대상이다.

두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 사이의 왼쪽 호모토피(영어: left homotopy)는 어떤 기둥 대상 $\operatorname {Cyl} X$ 에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 $h\colon \operatorname {Cyl} X\to Y$ 이다.

{\begin{matrix}X\sqcup X&\hookrightarrow &\operatorname {Cyl} X\\&{\scriptstyle f\sqcup g}\searrow &\downarrow \scriptstyle h\\&&Y\end{matrix}}

이 기둥 대상을 (매우) 좋은 기둥 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 (매우) 좋은 왼쪽 호모토피(영어: (very) good left homotopy)라고 한다.

같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[3]^{:282, Proposition 14.3.9(i), (ii)}

$f$ 와 $g$ 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 $f$ 와 $g$ 사이에 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.
만약 $Y$ 가 올대상이라면, $f$ 와 $g$ 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 $f$ 와 $g$ 사이에 매우 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.

왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다.^[3]^:281 그러나 만약 정의역 $X$ 가 쌍대올대상일 경우, 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 동치 관계를 이루며,^[3]^{:282, Proposition 14.3.9(iv)} 이 경우 두 사상이 서로 왼쪽 호모토픽(영어: left-homotopic)하다고 한다.

오른쪽 호모토피

임의의 유한 완비 범주에서, 다음과 같은 대각 사상이 존재한다.

X\to X\times X

여기서 $\times$ 은 범주론적 곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 곱공간이며, 콤팩트 생성 공간의 경우 곱공간의 콤팩트 생성화이다). 모형 범주 $({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})$ 에서, 대상 $X$ 의 경로 공간 대상(영어: path space object) $\operatorname {Path} X$ 는 대각 사상 $X\to X\times X$ 의 다음과 같은 분해이다.

X{\xrightarrow {\sim }}\operatorname {Path} X\to X\times X

이는 위상 공간의 범주에서의 경로 공간 $X^{[0,1]}$ 의 일반화이다. 경로 공간 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.^[3]^{:281, Definition 14.3.4}

만약 $\operatorname {Path} X\to X\times X$ 가 쌍대올뭉치라면, 이를 좋은 경로 공간 대상(영어: good path space object)이라고 한다.
만약 $\operatorname {Path} X\to X\times X$ 가 쌍대올뭉치이며, $X{\xrightarrow {\sim }}\operatorname {Path} X$ 가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 매우 좋은 경로 공간 대상(영어: very good path space object)이라고 한다.

모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 경로 공간 대상이 항상 존재한다.

두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 사이의 오른쪽 호모토피(영어: right homotopy)는 어떤 경로 공간 대상 $\operatorname {Path} X$ 에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 $h\colon X\to \operatorname {Path} Y$ 이다.

{\begin{matrix}X\\{\scriptstyle h}\downarrow &\searrow \scriptstyle f\times g\\\operatorname {Path} Y&\twoheadrightarrow &Y\times Y\end{matrix}}

이 경로 공간 대상을 (매우) 좋은 경로 공간 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 (매우) 좋은 오른쪽 호모토피(영어: (very) good right homotopy)라고 한다.

같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[3]^{:282, Proposition 14.3.9(i), (ii)}

$f$ 와 $g$ 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 $f$ 와 $g$ 사이에 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.
만약 $X$ 가 쌍대올대상이라면, $f$ 와 $g$ 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 $f$ 와 $g$ 사이에 매우 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.

마찬가지로, 오른쪽 호모토피의 존재는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약 공역 $Y$ 가 올대상이라면, 오른쪽 호모토피의 존재는 동치 관계를 이루며,^[3]^{:282, Proposition 14.3.9(iv)} 이 경우 두 사상이 서로 오른쪽 호모토픽(영어: right-homotopic)하다고 한다.

왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피의 관계

왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피는 다음과 같이 호환된다. 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[3]^{:284, Proposition 14.3.11}

만약 $X$ 가 쌍대올대상이며, 왼쪽 호모토피 $f\Rightarrow g$ 가 존재한다면, 오른쪽 호모토피 $f\Rightarrow g$ 역시 존재한다.
만약 $Y$ 가 올대상이며, 오른쪽 호모토피 $f\Rightarrow g$ 가 존재한다면, 왼쪽 호모토피 $f\Rightarrow g$ 역시 존재한다.

따라서, 정의역이 쌍대올대상이고 공역이 올대상인 경우, 왼쪽 호모토피 · 좋은 왼쪽 호모토피 · 매우 좋은 왼쪽 호모토피 · 오른쪽 호모토피 · 좋은 오른쪽 호모토피 · 매우 좋은 오른쪽 호모토피는 서로 동일한 동치 관계를 정의한다. 이 경우 두 사상이 단순히 서로 호모토픽하다고 한다.

또한, 주어진 쌍대올대상 $X$ 에 대하여, 임의의 올대상 $Y$ 으로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, $Y$ 에 의존하지 않는) 좋은 기둥 대상에 대한 왼쪽 호모토피로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 주어진 올대상 $Y$ 에 대하여, 임의의 쌍대올대상 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, $X$ 에 의존하지 않는) 좋은 경로 공간 대상 $\operatorname {Path} Y$ 에 대한 오른쪽 호모토피로 나타낼 수 있다.^[3]^{:285, Corollary 14.3.13}

고전적 정의와의 관계

위상 공간의 범주 또는 콤팩트 생성 공간의 범주에 퀼런 모형 구조를 주자. 이 경우, 모든 위상 공간은 올대상이며, 모든 CW 복합체는 쌍대올대상이다.

또한, 이 경우 고전적 기둥 $X\times [0,1]$ 은 (만약 $X$ 가 쌍대올대상이라면) 좋은 기둥 대상을 이루며, 만약 콤팩트 생성 공간을 사용한다면 고전적 경로 공간 $X^{[0,1]}$ 은 (모든 공간이 올대상이므로) 좋은 경로 공간 대상을 이룬다. 따라서, 공역이 CW 복합체인 경우 모형 범주 이론에서의 호모토피류는 고전적 호모토피류와 일치한다.

종류

다음과 같은 특별한 호모토피(류)의 개념이 존재한다.

부분 공간을 고정한 호모토피

위상 공간 $X$ , $Y$ 및 $X$ 의 부분 공간 $X'$ 이 주어졌을 때, 두 연속 함수 $f,g\colon X\to Y$ 사이의 호모토피 $H\colon X\times [0,1]\to Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $H$ 를 $X'$ 에서 고정된 호모토피(영어: homotopy relative to $X'$ )라고 한다.^[1]^:158–159

임의의 $(x',t)\in X'\times [0,1]$ 에 대하여, $H(x',t)=f(x')=g(x')$

$f$ 와 $g$ 가 $X'$ 을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다.

f\simeq g\;\operatorname {rel} X'

부분 공간을 고정한 호모토피 역시 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류 역시 정의할 수 있다.

이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간 $Y$ 위의 경로 $f,g\colon [0,1]\to Y$ 에 대하여, $\{0,1\}\subset [0,1]$ 을 고정한 호모토피를 경로 호모토피(영어: path homotopy)라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통 $\simeq _{\text{p}}$ 로 쓴다.^[2]^:323

아이소토피

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 두 매장 $f,g\colon X\to Y$ 사이의 호모토피 $H\colon X\times [0,1]\to Y$ 가 다음 조건을 만족시킬 경우, $H$ 를 아이소토피(영어: isotopy) 또는 동위(同位)라고 한다.

모든 $t\in [0,1]$ 에 대하여, $H(-,t)\colon X\to Y$ 는 매장이다.

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 곽진호; 이재운 (2007). 《조합적 곡면위상론》. 경문사.
↑ ^가 ^나 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 May, Peter; Ponto, Kathleen (2012년 2월). 《More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories》 (PDF). Chicago Lectures in Mathematics (영어). University of Chicago Press. ISBN 978-022651178-8. 2017년 7월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 2월 12일에 확인함.

Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001.
May, J. Peter (1999년 9월). 《A concise course in algebraic topology》 (PDF) (영어). Chicago Lectures in Mathematics. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-02-2651-183-2.

외부 링크

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호모토피

“Homotopy”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Isotopy (in topology)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Homotopy”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Homotopic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Homotopy class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Isotopy”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Homotopy”. 《nLab》 (영어).
- “Cylinder object”. 《nLab》 (영어).
- “Path object”. 《nLab》 (영어).
- “Cylinder functor”. 《nLab》 (영어).

[곽진호-1] 가 ^나 곽진호; 이재운 (2007). 《조합적 곡면위상론》. 경문사.

[Munkres-2] 가 ^나 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.

[MP-3] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 May, Peter; Ponto, Kathleen (2012년 2월). 《More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories》 (PDF). Chicago Lectures in Mathematics (영어). University of Chicago Press. ISBN 978-022651178-8. 2017년 7월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 2월 12일에 확인함.

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