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푸앵카레 군

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푸앵카레 군(Poincaré群, Poincaré group)은 민코프스키 공간의 대칭군이다. 공간 회전 3방향과 로런츠 변환 3방향, 공간 병진 3방향과 시간 병진 1방향으로 총 10차원의 리 군을 이룬다. 앙리 푸앵카레의 이름을 땄다. 기호로는 보통 ISO(3,1)을 쓴다. "ISO"는 "inhomogeneous special orthogonal group"의 약자로, 즉 로런츠 군 SO(3,1)에다 병진군 를 추가한 군이다.

정의

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d 차원 푸앵카레 군병진 변환아벨 군 로런츠 군 반직접곱이다. 즉,

이다. 이때 사용되는 작용은 의 행렬로서의 자연스런 작용이다. 즉, 에 대한 작용

이며, 행렬로서의 곱셈이다.

성질

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d차원 민코프스키 공간에서의 푸앵카레 군의 차원은

이다. 특히, 4차원 푸앵카레 변환은 10차원의 리 군을 이룬다.

푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 사차원 벡터 에 다음과 같이 작용한다.

.

여기서 는 임의의 로런츠 변환이고, 는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환(translation)의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 푸앵카레 대칭성을 지닌다고 한다.

푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적

을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(Euclidean group, 유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.

푸앵카레 변환 가운데 인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군로런츠 군(Lorentz group, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 로런츠 대칭성(Lorentz symmetry)이라고 한다.

앞의 변환 의 연산자를 라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.

푸앵카레 군의 군 표현론위그너 분류라고 불린다.

리 대수

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푸앵카레 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.

이것은 등각 대칭이다.

역사

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헤르만 민코프스키가 1908년에 도입하였다.[1][2] 앙리 푸앵카레는 사실 푸앵카레 군에 대해 논하지 않았으나, 푸앵카레는 1905년에 로런츠 군을 이룬다는 사실을 보였고,[3] 푸앵카레의 이름을 따 명명되었다.

같이 보기

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각주

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  1. Minkowski, Hermann (1908). “Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern”. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse》 (독일어): 53–111. JFM 39.0909.02. 
  2. Minkowski, Hermann (1909). “Raum und Zeit”. 《Physikalische Zeitschrift》 (독일어) 10: 75–88. 
  3. Poincaré, Henri (1906). “Sur la dynamique de l’électron”. 《Rendiconti del Circolo matematico di Palermo》 (프랑스어) 21: 129–176. JFM 37.0886.01. 

외부 링크

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