초등대수학
초등대수학(Elementary algebra)은 수학의 주요 분야 중 하나인 대수학의 기본 개념 중 일부를 포함한다. 이 학문은 일반적으로 중등 학교 학생들에게 가르치고 산술에 대한 이해를 바탕으로 한다. 산술이 지정된 숫자를 다루는 반면,[1] 대수는 변수로 알려진 고정 값이 없는 양을 도입한다.[2] 이러한 변수의 사용은 대수 표기법의 사용과 산술에 도입된 연산의 일반 규칙에 대한 이해를 수반한다. 추상 대수학과 달리 초등대수학은 실수 및 복소수 영역 밖의 대수 구조와 관련이 없다.
수량을 표시하기 위해 변수를 사용하면 수량 간의 일반적인 관계를 공식적이고 간결하게 표현할 수 있으므로 더 넓은 범위의 문제를 해결할 수 있다. 과학과 수학의 많은 양적 관계는 대수 방정식으로 표현된다.
대수 표기법
[편집]대수 표기법은 수학적 표현을 작성하기 위한 규칙과 관례뿐만 아니라 표현의 일부에 대해 이야기하는 데 사용되는 용어를 설명한다.
계수는 변수를 곱하는 숫자 값 또는 숫자 상수를 나타내는 문자이다(연산자는 생략됨). 항은 더하기 및 빼기 연산자에 의해 다른 항과 분리될 수 있는 계수, 변수, 상수 및 지수를 가리킨다.[3] 문자는 변수와 상수를 나타낸다. 관례에 따라 알파벳 시작 부분의 문자(예: )는 일반적으로 상수를 나타내는 데 사용되며 알파벳의 끝 부분(예: 및 z )는 변수를 나타내는 데 사용된다.[4] 일반적으로 이탤릭체로 작성된다.[5]
대수 연산 은 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 지수와 같은 산술 연산[6]과 같은 방식으로 작동한다.[7] 대수 변수 및 용어에 적용된다. 곱셈 기호는 일반적으로 생략되며 두 변수 또는 항 사이에 공백이 없거나 계수가 사용될 때 암시된다. 예를 들어, 로 쓰여진다 , 그리고 쓰여질 수 있다 .[8]
일반적으로 가장 높은 거듭제곱( 지수 )을 가진 항은 왼쪽에 기록된다. 예를 들어, x 의 왼쪽에 쓴다. 계수가 1이면 일반적으로 생략된다(예: 는 으로 쓴다 ).[9] 마찬가지로 지수(제곱)가 1일 때(예: 는 로 쓴다).[10] 지수가 0이면 결과는 항상 1이다(예: 은 1이다 )로 다시 작성된다.[11] 하지만 , 정의되지 않았으므로 표현식에 나타나지 않아야 하며 변수가 지수에 나타날 수 있는 표현식을 단순화하는 데 주의해야 한다.
대체 표기법
[편집]다른 유형의 표기법은 필요한 형식을 사용할 수 없거나 문자와 기호만 사용할 수 있는 경우와 같이 암시할 수 없는 경우 대수식에 사용된다. 이에 대한 설명으로 지수는 일반적으로 위 첨자를 사용하여 형식이 지정된다. 예: , 일반 텍스트 및 TeX 마크업 언어에서 캐럿 기호 "^"는 지수를 나타낸다. "x^2".,[12][13] 및 Lua와 같은 일부 프로그래밍 언어로 작성된다. Ada,[14] Fortran,[15] Perl,[16] 파이썬[17] 및 Ruby,[18] 같은 프로그래밍 언어에서는 이중 별표가 사용되므로 "x**2"로 작성된다. 많은 프로그래밍 언어와 계산기는 곱셈 기호를 나타내기 위해 단일 별표를 사용한다.[19] 예를 들어 다음과 같이 명시적으로 사용해야 한다. "3*x"로 기록된다.
개념
[편집]변수
[편집]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Pi-equals-circumference-over-diametre.svg/220px-Pi-equals-circumference-over-diametre.svg.png)
초등대수학은 일반(지정되지 않은) 숫자를 나타내는 변수라는 문자를 도입하여 산술[20]을 구축하고 확장한다. 이것은 여러 가지 이유로 유용하다.
- 변수는 값이 아직 알려지지 않은 숫자를 나타낼 수 있다 . 예를 들어, 오늘의 온도 C가 전날의 온도 P보다 20도 높으면 문제는 대수적으로 다음과 같이 설명할 수 있다. .[21]
- 변수를 사용하면 관련된 양의 값을 지정하지 않고[22] 일반적인 문제를 설명할 수 있다. 예를 들어 5분은 다음과 같다고 구체적으로 말할 수 있다. 초. 보다 일반적인(대수적) 설명은 초 수, , 여기서 m은 분 수이다.
- 변수를 사용하면 변할 수 있는 수량 간의 수학적 관계를 설명할 수 있다.[23] 예를 들어, 원의 둘레 c 와 지름 d 사이의 관계는 다음과 같이 설명된다. .
- 변수를 사용하면 몇 가지 수학적 속성을 설명할 수 있다. 예를 들어, 덧셈의 기본 속성은 함께 더해지는 숫자의 순서가 중요하지 않다는 가환성이다. 교환성은 다음과 같이 대수적으로 표현된다. .[24]
표현식 단순화
[편집]산술 연산의 기본 속성( 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 지수 )을 기반으로 대수 표현식을 평가하고 단순화할 수 있다. 예를 들어,
- 추가된 항은 계수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, 다음과 같이 단순화할 수 있다. (여기서 3은 수치 계수임).
- 곱한 항은 지수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, 로 표현된다
- 예를 들어,[25]과 같은 용어가 함께 추가된다. 로 쓰여진다 , 포함하는 용어 때문에 함께 추가되고, 다음을 포함하는 용어 함께 추가된다.
- 대괄호는 분배적 속성을 사용하여 "곱할 수 있다". 예를 들어, 다음과 같이 쓸 수 있다. 다음과 같이 쓸 수 있는
- 표현식을 인수분해할 수 있다. 예를 들어, , 두 항을 다음으로 나누어 다음과 같이 쓸 수 있다.
등식
[편집]등식은 같음 기호 = ( 등호 )를 사용하여 두 식이 같음을 나타낸다.[26] 가장 잘 알려진 등식 중 하나는 직각삼각형의 변의 길이와 관련된 피타고라스의 법칙을 설명한다.[27]
이 방정식은 다음을 나타낸다. 빗변인 변의 길이의 제곱을 나타내는, 직각의 반대 변은 길이가 a 와 b 로 표시되는 다른 두 변의 제곱의 합(덧셈)과 같다.
평등의 속성
[편집]정의에 따르면 평등은 등가 관계이며, 이는 속성이 (a) 재귀적 (즉, ), (b) 대칭 (즉, 그 다음에 ) (c) 타동사 그리고 그 다음에 ).[28] 또한 두 개의 기호가 동일한 것에 사용되면 첫 번째에 대한 참 진술에서 하나의 기호가 다른 것으로 대체될 수 있고 그 진술은 참으로 유지된다는 중요한 속성을 충족한다. 이는 다음 속성을 의미한다.
- 만약 그리고 그 다음에 그리고 ;
- 만약 그 다음에 그리고 ;
- 더 일반적으로, 어떤 함수 f 에 대해, 만약 그 다음에 .
부등식의 속성
[편집]~보다 작은 관계 그리고 ~보다 큰 속성이 있다:[29]
- 만약에 그리고 그 다음에 ;
- 만약에 그리고 그 다음에 ;[30]
- 만약에 그리고 그 다음에 ;
- 만약에 그리고 그 다음에 .
부등식을 반대로 하면, 그리고 예를 들어[31]로 바꿀 수 있다.
- 와 동등하다
치환
[편집]치환은 새 표현식을 만들기 위해 표현식의 용어를 바꾸는 것이다. a a*5 표현식에서 3을 대입하면 15 를 의미하는 새로운 표현식 3*5 가 된다. 진술의 조건을 치환하면 새로운 진술이 된다. 원래의 명제가 항의 값과 관계없이 참이면 치환에 의해 생성된 명제도 참이다. 따라서 정의는 상징적 용어로 만들어지고 치환을 통해 해석될 수 있다.
대수 방정식 풀기
[편집]선형 방정식은 플로팅될 때 직선을 설명하기 때문에 이른바 선형 방정식이다. 풀기 가장 간단한 방정식은 변수가 하나만 있는 선형 방정식이다. 지수가 없는 상수와 단일 변수만 포함한다. 예를 들어 다음을 고려하십시오.
- 단어 문제: 아이의 나이를 두 배로 늘리고 4를 더하면 결과는 12이다. 아이는 몇 살입니까?
- 등가 방정식: 여기서 x 는 어린이의 나이를 나타낸다.
이러한 종류의 방정식을 풀기 위해 방정식의 한 쪽에서 변수를 분리하기 위해 방정식의 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누는 기술이다. 변수가 분리되면 방정식의 다른 쪽은 변수 값이다.[32] 이 문제와 해결 방법은 다음과 같다.
1. 풀이 방정식: | |
2. 양쪽에서 4를 뺀다. | |
3. 이렇게 하면 다음이 간소화된다. | |
4. 양변을 2로 나눈다. | |
5. 이것은 답을 단순화한다. |
즉, 아이는 4 살이다.
두 개의 변수가 있는 선형 방정식
[편집]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Linear-equations-two-unknowns.svg/220px-Linear-equations-two-unknowns.svg.png)
두 개의 변수가 있는 선형 방정식에는 많은(즉, 무한한 수) 해가 있다.[33] 예를 들어:
- 말의 문제: 아버지는 아들보다 22살이 많다. 그들을 몇 살 이니?
- 등가 방정식: 여기서 y 는 아버지의 나이이고 x 는 아들의 나이이다.
그것은 스스로 해결할 수 없다. 아들의 나이가 알려지면 더 이상 두 개의 미지수(변수)가 없을 것이다. 그러면 문제는 위에서 설명한 대로 풀 수 있는 변수가 하나만 있는 선형 방정식이 된다.
두 개의 변수(알 수 없음)가 있는 선형 방정식을 풀려면 두 개의 관련 방정식이 필요하다. 예를 들어 다음과 같은 사실도 밝혀진 경우:
- 단어의 문제
- 10년 후에는 아버지의 나이가 아들의 두 배이다.
- 등가 방정식
이제 두 개의 관련된 선형 방정식이 있다. 각각은 두 개의 미지수를 가지고 있다. 이를 통해 하나의 변수를 다른 변수에서 빼서 선형 방정식을 생성할 수 있다(제거 방법이라고 함).[34]
이차 방정식
[편집]이차 방정식은 지수가 2인 항을 포함하는 방정식이다. 예를 들어, ,[35] 지수가 더 높은 항은 없다. 이름은 정사각형을 의미하는 라틴어 quadrus에서 파생된다.[36] 일반적으로 이차 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다. ,[37] 여기서 a는 0이 아니다(0이면 방정식은 2차가 아니라 선형이 된다). 이 때문에 이차 방정식에는 다음 항이 포함되어야 한다. , 이는 2차 항으로 알려져 있다. 따라서 , 그래서 우리는 방정식을 a 나누고 방정식을 표준 형식으로 재정렬할 수 있다.
어디 그리고 . 이것을 풀기 위한 공식은 다음과 같다.
지수 및 로그 방정식
[편집]지수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖는 방정식이다. (),[38] 풀이는 다음과 같다.
일 때는 그러하다. 기본 대수 기술은 솔루션에 도달하기 전에 위의 방식으로 주어진 방정식을 다시 작성하는 데 사용된다. 예를 들어
그런 다음 방정식의 양변에서 1을 빼고 양변을 3으로 나누면 다음을 얻는다.
어떻게
같이 보기
[편집]각주
[편집]- ↑ H.E. Slaught and N.J. Lennes, Elementary algebra, Publ. Allyn and Bacon, 1915, page 1 (republished by Forgotten Books)
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